第4章關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)

第4章關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)

4.1關(guān)系模型及其定義4.1.1關(guān)系數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)4.1.2關(guān)系操作概述

4.1.3關(guān)系的完整性

4.2關(guān)系代數(shù)4.2.1傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

4.2.2專(zhuān)門(mén)的關(guān)系運(yùn)算

4.2.3用關(guān)系代數(shù)表示檢索的例子

4.1關(guān)系模型及其定義

4.1.1關(guān)系數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1.關(guān)系的數(shù)學(xué)定義1)域的定義：域是一組具有相同數(shù)據(jù)類(lèi)型的值的集合。2)笛卡兒積（CartesianProduct）的定義：給定一組域D1，D2，…，Dn，這些域中可以有相同的部分，則笛卡兒積為：

D1×D2×…×Dn={（d1，d2，…dn）｜di∈Di，i＝1，2，…，n}.其中：每一個(gè)元素（d1，d2，…，dn

）稱(chēng)為一個(gè)n元組，簡(jiǎn)稱(chēng)元組。元素中的每一個(gè)值di稱(chēng)作一個(gè)分量）。

例如給出三個(gè)域：D1=姓名={王平，李麗，張曉剛}(cāng)；D2=性別={男，女}；D3=年齡={19，20}.則D1，D2，D3的笛卡兒積為D1×D2×D3

姓名性別年齡王平男19王平男20王平女19王平女20李麗男19李麗男20李麗女19李麗女20張曉剛男19張曉剛男20張曉剛女19張曉剛女201.關(guān)系的數(shù)學(xué)定義3)關(guān)系（Relation）的定義：D1×D2×…×Dn的子集稱(chēng)作在域D1，D2，…，Dn上的關(guān)系，表示為：R（D1，D2，…，Dn）.

這里：R表示關(guān)系的名字，n是關(guān)系的目或度。從D1×D2×D3中取出有用的元組，所構(gòu)造的學(xué)生關(guān)系如表所示姓名性別年齡王平男20李麗女20張曉剛男192.關(guān)系中的基本名詞

1)元組：關(guān)系表中的每一橫行稱(chēng)作一個(gè)元組，組成元組的元素為分量。

2)屬性：關(guān)系中的每一列稱(chēng)為一個(gè)屬性。

3)候選碼、主碼：若關(guān)系中的某一屬性組（或單個(gè)屬性）的值能惟一地標(biāo)識(shí)一個(gè)元組，則稱(chēng)該屬性組（或?qū)傩裕楹蜻x碼。若關(guān)系的候選碼中只包含一個(gè)屬性，則稱(chēng)它為單屬性碼；若候選碼是由多個(gè)屬性構(gòu)成的，則稱(chēng)為它為多屬性碼。當(dāng)一個(gè)關(guān)系有多個(gè)候選碼時(shí)，應(yīng)選定其中的一個(gè)候選碼為主碼。（如課程名，課程號(hào)在課程表中都是候選碼）4)全碼:若關(guān)系中只有一個(gè)候選碼，且這個(gè)候選碼中包括全部屬性，則這種候選碼為全碼。

5)主屬性和非主屬性：關(guān)系中，候選碼中的屬性稱(chēng)為主屬性，不包含在任何候選碼中的屬性稱(chēng)為非主屬性。

3.數(shù)據(jù)庫(kù)中關(guān)系的類(lèi)型

1)基本表：關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)中實(shí)際存在的表，是實(shí)際存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的邏輯表示。

2)視圖表：視圖表是由基本表或其他視圖表導(dǎo)出的表。

3)查詢(xún)表：查詢(xún)表是指查詢(xún)結(jié)果表或查詢(xún)中生成的臨時(shí)表。

4.數(shù)據(jù)庫(kù)中基本關(guān)系的性質(zhì)

1)同一屬性的數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性.

2)同一關(guān)系的屬性名具有不能重復(fù)性。

3)關(guān)系中的列位置具有順序無(wú)關(guān)性。

4)關(guān)系具有元組無(wú)冗余性。

5)關(guān)系中的元組位置具有順序無(wú)關(guān)性。

6)關(guān)系中每一個(gè)分量都必須是不可分的數(shù)據(jù)項(xiàng)。5.關(guān)系模式的定義

形式化地表示為：R（U，D，Dom，F(xiàn)）

其中：R為關(guān)系名，它是關(guān)系的形式化表示；U為組成該關(guān)系的屬性集合；D為屬性組U中屬性所來(lái)自的域；Dom為屬性向域的映象的集合；F為屬性間數(shù)據(jù)的依賴(lài)關(guān)系集合。

關(guān)系模式通?？梢院?jiǎn)單記為：

R（U）或R（A1，A2，…，An）.

其中：R為關(guān)系名，A1，A2，…，An為屬性名。6.關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)

在某一應(yīng)用領(lǐng)域中，所有實(shí)體集及實(shí)體之間聯(lián)系所形成關(guān)系的集合就構(gòu)成了一個(gè)關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)。

4.1.2關(guān)系操作概述關(guān)系操作的基本內(nèi)容

關(guān)系操作包括數(shù)據(jù)查詢(xún)、數(shù)據(jù)維護(hù)和數(shù)據(jù)控制三大功能.

關(guān)系操作的數(shù)據(jù)查詢(xún)和數(shù)據(jù)維護(hù)功能使用關(guān)系代數(shù)中的選擇(Select)、投影(Project)、連接（Join）、除(Divide）、并（Union）、交（Intersection）、差（Difference）以及廣義笛卡兒積(ExtendedCartesianProduct）8種操作。2.關(guān)系操作的特點(diǎn)(1)關(guān)系操作語(yǔ)言操作一體化關(guān)系語(yǔ)言具有數(shù)據(jù)定義、查詢(xún)、更新、控制一體化的特點(diǎn)。(2)關(guān)系操作的方式是一次一集合方式(3)關(guān)系操作語(yǔ)言是高度非過(guò)程化的語(yǔ)言

3.關(guān)系操作語(yǔ)言的種類(lèi)(1)關(guān)系代數(shù)語(yǔ)言

用對(duì)關(guān)系的運(yùn)算來(lái)表達(dá)查詢(xún)要求的語(yǔ)言。(2)關(guān)系演算語(yǔ)言

用查詢(xún)得到的元組應(yīng)滿(mǎn)足的謂詞條件來(lái)表達(dá)查詢(xún)要求的語(yǔ)言。關(guān)系演算語(yǔ)言又可以分為元組演算語(yǔ)言和域演算語(yǔ)言?xún)煞N：元組演算語(yǔ)言的謂詞變?cè)幕緦?duì)象是元組變量，例如APLHA語(yǔ)言；域演算語(yǔ)言的謂詞變?cè)幕緦?duì)象是域變量，QBE（QueryByExample）是典型的域演算語(yǔ)言。(3)基于映象的語(yǔ)言

具有關(guān)系代數(shù)和關(guān)系演算雙重特點(diǎn)的語(yǔ)言。SQL是基于映象的語(yǔ)言。SQL包括數(shù)據(jù)定義、數(shù)據(jù)操作和數(shù)據(jù)控制三種功能，具有語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，易學(xué)易用的特點(diǎn)，它是關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言和主流語(yǔ)言。4.1.3關(guān)系的完整性1.關(guān)系模型的實(shí)體完整性（EntityIntegrity）

若屬性A是基本關(guān)系R的主屬性，則屬性A的值(各分量)不能為空值。

說(shuō)明如下：

1)實(shí)體完整性能夠保證實(shí)體的唯一性。

2)實(shí)體完整性能夠保證實(shí)體的可區(qū)分性?，F(xiàn)有如下關(guān)系S（學(xué)號(hào)，姓名，性別，專(zhuān)業(yè)號(hào)，年齡）C（課程號(hào)，課程名，學(xué)分）；SC（學(xué)號(hào)，課程號(hào)，成績(jī)）.

現(xiàn)有用戶(hù)向數(shù)據(jù)庫(kù)中輸入如下記錄,是否插入成功Insertintos(‘01’,’chen’,’女’,’07’,22)----successInsertintoc(‘’,’數(shù)據(jù)庫(kù)原理及應(yīng)用’,3)Insertintosc(’01’,’’,68)Insertintosc(’02’,’01’,90)2.關(guān)系模型的參照完整性

1)外碼和參照關(guān)系

設(shè)F是基本關(guān)系R的一個(gè)或一組屬性，但不是關(guān)系R的主碼（或候選碼）。如果F與基本關(guān)系S的主碼相對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)F是R的外碼，并稱(chēng)R為參照關(guān)系，S為被參照關(guān)系或目標(biāo)關(guān)系。例如，“基層單位數(shù)據(jù)庫(kù)”中有“職工”和“部門(mén)”兩個(gè)關(guān)系，其關(guān)系模式如下：

職工（職工號(hào)，姓名，工資，性別，部門(mén)號(hào)）；

部門(mén)（部門(mén)號(hào)，名稱(chēng)，領(lǐng)導(dǎo)人號(hào)）.

其中：主碼用下劃線標(biāo)出，外碼用紅色標(biāo)出。再例，在學(xué)生課程庫(kù)中，關(guān)系模式表示為：

學(xué)生（學(xué)號(hào)，姓名，性別，專(zhuān)業(yè)號(hào)，年齡）；

課程（課程號(hào)，課程名，學(xué)分）；

選修（學(xué)號(hào)，課程號(hào)，成績(jī)）.

其中：主碼用下劃線標(biāo)出。2)參照完整性規(guī)則

若屬性（或?qū)傩越M）F是基本關(guān)系R的外碼，它與基本關(guān)系S的主碼Ks相對(duì)應(yīng)（基本關(guān)系R和S不一定是不同的關(guān)系），則對(duì)于R中每個(gè)元組在F上的值必須取空值（F的每個(gè)屬性值均為空值）或者等于S中某個(gè)元組的主碼值。學(xué)生(學(xué)號(hào),姓名,性別,專(zhuān)業(yè)號(hào),年齡)專(zhuān)業(yè)(專(zhuān)業(yè)號(hào),專(zhuān)業(yè)名)學(xué)生關(guān)系中每個(gè)元組的”專(zhuān)業(yè)號(hào)”屬性只能是下面的兩類(lèi)型值:1)空值:該學(xué)生未分配專(zhuān)業(yè)2)非空值:該值必須是專(zhuān)業(yè)關(guān)系中某個(gè)元組的”專(zhuān)業(yè)號(hào)”值。表示該學(xué)生分配到一個(gè)存在的專(zhuān)業(yè)中參照完整性S(學(xué)號(hào),姓名,姓名,專(zhuān)業(yè)號(hào),年齡)C(課程號(hào),課程名,學(xué)分)SC(學(xué)號(hào),課程號(hào),成績(jī))INSERTINTOC(‘01’,’數(shù)據(jù)庫(kù)原理’,3)成功INSERTINTOSC(‘01’,’02’,68)失敗INSERTINTOSC(‘02’,’01’,90)失敗違背實(shí)體完整性,沒(méi)有違背參照完整性INSERTINTOSC(‘0’,’’,68)失敗假設(shè)數(shù)據(jù)庫(kù)中存在關(guān)系模式：Employee(職工號(hào)，領(lǐng)導(dǎo)者職工號(hào)，姓名)自參照完整性，Insertintoemployee(’01’,’01’,’chen’)insertintoemployee(’02’,’01’,’xia’)成功Insertintoemployee(’03’,’02’,’chen’)Insertintoemployee(’05’,’04’,’chen’)選修關(guān)系中成績(jī)?cè)?—100之間某個(gè)屬性取值(如課程名)唯一值3用戶(hù)定義的完整性。

用戶(hù)定義的完整性就是針對(duì)某一具體關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的約束條件，它反映某一具體應(yīng)用所涉及的數(shù)據(jù)必須滿(mǎn)足的語(yǔ)義要求。4.2關(guān)系代數(shù)1)集合運(yùn)算符：∪（并運(yùn)算），－（差運(yùn)算），∩（交運(yùn)算），×（廣義笛卡兒積）。2)專(zhuān)門(mén)的關(guān)系運(yùn)算符：σ（選擇），π（投影），（連接），÷（除）。3)比較運(yùn)算符：＞（大于），≥（大于等于），＜（小于），≤（小于等于），＝（等于），≠（不等于）。4)邏輯運(yùn)算符：（非），∧（與），∨（或）。

4.2.1傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R和S具有相同的目n（即兩個(gè)關(guān)系都有n個(gè)屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域。

1.并（Union）運(yùn)算

R∪S={t|tR∨tS}.

R和S并的結(jié)果仍為n目關(guān)系，其數(shù)據(jù)由屬于R或?qū)儆赟的元組組成。

2.差（Difference）運(yùn)算

R–S={t|tR∧tS}.

R和S差運(yùn)算的結(jié)果關(guān)系仍為n目關(guān)系，其數(shù)據(jù)由屬于R而不屬于S的所有元組組成。

3.交（Intersection）運(yùn)算

R∩S={t|tR∧tS}.

運(yùn)算的結(jié)果關(guān)系仍為n目關(guān)系，其數(shù)據(jù)由既屬于R同時(shí)又屬于S的元組組成。交可用差來(lái)表示：

R∩S=R–(R–S)

.4.笛卡兒積運(yùn)算

設(shè)n目和m目的關(guān)系R和S，它們的笛卡兒積是一個(gè)（n+m）目的元組集合。元組的前n列是關(guān)系R的一個(gè)元組，后m列是關(guān)系S的一個(gè)元組。若R有k1個(gè)元組，S有k2個(gè)元組，則關(guān)系R和關(guān)系S的廣義笛卡兒積應(yīng)當(dāng)有k1×k2個(gè)元組。R和S的笛卡兒積表示為：

R×S={trts|trR∧tsS}.傳統(tǒng)集合運(yùn)算的實(shí)例

ABC

ABC

ABCa1b1c1a1b2c2a1b1c1a1b2c2a1b3c2a1b2c2a2b2c1

a2b2c1

a1b3c2RSR∪S

ABC

R.AR.BR.CS.AS.BS.Ca1b1C1a1b1c1a1b2c2a2b2C1a1b1c1a1b3c2

R∩Sa1b2c2a1b2c2a1b2c2a1b3c2ABCa2b2c1a1b2c2a1b2C2a2b2c1a1b3c2R－SR×S

ABabcdecABdbdaacRSR－SR∪S4.2.2專(zhuān)門(mén)的關(guān)系運(yùn)算1.記號(hào)說(shuō)明

(1)關(guān)系模式、關(guān)系、元組和分量

設(shè)關(guān)系模式為R（A1，A2，…，An），它的一個(gè)關(guān)系設(shè)為R，tR表示t是R的一個(gè)元組，t[Ai]則表示元組t中相對(duì)于屬性Ai的一個(gè)分量。

(2)域列和域列非

若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，則A稱(chēng)為屬性列或域列，t[A]={t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik]}表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。則表示{A1，A2，…,An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的屬性組，它稱(chēng)為A的域列非。(3)元組連串（Concatenation）

設(shè)R為n目關(guān)系，S為m目關(guān)系，且trR，tSS，則trtS稱(chēng)為元組的連串。連串是一個(gè)（n+m）列的元組，它的前n個(gè)分量是R中的一個(gè)n元組，后m個(gè)分量為S中的一個(gè)m元組。(4)屬性的象集（ImagesSet）

給定一個(gè)關(guān)系R（X，Z），X和Z為屬性組。定義當(dāng)t[X]=x時(shí)，x在R中的象集為：

Zx={t[Z]|tR，t[X]=x}.

上式表示，x在R中的象集為R中Z屬性對(duì)應(yīng)分量的集合，而這些分量所對(duì)應(yīng)的元組中的屬性組X上的值應(yīng)為x。2.專(zhuān)門(mén)關(guān)系運(yùn)算的定義(1)選擇（Selection）運(yùn)算

選擇運(yùn)算又稱(chēng)為限制運(yùn)算。選擇運(yùn)算指在關(guān)系R中選擇滿(mǎn)足給定條件的元組，記作：

σF（R）={t|tR∧F（t）=‘真’}.

其中：F表示選擇條件，是一個(gè)邏輯表達(dá)式，取值為“真”或“假”。F由邏輯運(yùn)算符﹁（非）、∧（與）和∨（或）連接各條件表達(dá)式組成。

條件表達(dá)式的基本形式為：X1θY1.

其中：θ是比較運(yùn)算符，它可以是＞、≥、＜、≤、＝、≠中的一種；X1和Y1是屬性名、常量或簡(jiǎn)單函數(shù)；屬性名也可以用它的序號(hào)來(lái)代替。選擇操作是根據(jù)某些條件對(duì)關(guān)系做水平分割，即選取符合條件的元組例如，σ2＞ˊ3ˊ（R）表示從R中挑選第2個(gè)分量值大于3的元組所構(gòu)成的關(guān)系。書(shū)寫(xiě)時(shí)，為了與屬性序號(hào)區(qū)別起見(jiàn)，常量用引號(hào)括起來(lái)，而屬性序號(hào)或?qū)傩悦灰靡?hào)括起來(lái)。用關(guān)系代數(shù)表示下列操作

設(shè)學(xué)生課程數(shù)據(jù)庫(kù)，其關(guān)系模式為：

學(xué)生（學(xué)生，姓名，年齡，所在系）；

課程（課程號(hào)，課程名，學(xué)分）；

選課（學(xué)號(hào)，課程號(hào)，成績(jī)）.【例4-1】用關(guān)系代數(shù)表示在學(xué)生課程數(shù)據(jù)庫(kù)中查詢(xún)計(jì)算機(jī)系的全體學(xué)生的操作。

σ所在系='計(jì)算機(jī)系'（學(xué)生）【例4-2】用關(guān)系代數(shù)表示在學(xué)生課程數(shù)據(jù)庫(kù)中查詢(xún)年齡小于20歲的學(xué)生的操作。

σ年齡<20（學(xué)生）(2)投影(Projection)運(yùn)算

這個(gè)操作是對(duì)一個(gè)關(guān)系進(jìn)行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的順序。

關(guān)系R上的投影是從R中選擇出若干屬性列組成新的關(guān)系，記作：

πA（R）={t[A]|tR}.【例4-3】在學(xué)生課程數(shù)據(jù)庫(kù)中，查詢(xún)學(xué)生的姓名和所在系。表示為：π姓名，所在系（學(xué)生）例如，π3，1（R）表示關(guān)系R中取第1、3列，組成新的關(guān)系，新關(guān)系中第1列為R的第3列，新關(guān)系的第2列為R的第1列。如果R的每列標(biāo)上屬性名，那么操作符π的下標(biāo)處也可以用屬性名表示。例如，關(guān)系R（A，B，C），那么πC，A（R）與π3，1（R）是等價(jià)的。(3)連接運(yùn)算

連接是從兩個(gè)關(guān)系的笛卡兒積中選取屬性間滿(mǎn)足一定條件的元組。記作：

RS={trts|trR∧tsS∧tr[A]θts[B]}.

AθB

其中：A和B分別為R和S上度數(shù)相等且可比的屬性組，θ是比較運(yùn)算符。等值連接表示為：

R

S={trts|trR∧tsS∧tr[A]=ts[B]}.

A=B

說(shuō)明:1.

也可以寫(xiě)成。2.≡σ2＜4（R×S)自然連接是一種特殊的等值連接：

RS={trts|trR∧tsS∧tr[A]=ts[A]}自然連接（naturaljoin）

兩個(gè)關(guān)系R和S的自然連接操作具體計(jì)算過(guò)程如下：①計(jì)算R×S；②設(shè)R和S的公共屬性是A1,…,AK，挑選R×S中滿(mǎn)足R.A1=S.A1，…，R.AK=S.AK的那些元組；③去掉S.A1，…，S.AK這些列。定義：其中i1,…,im為R和S的全部屬性，但公共屬性只出現(xiàn)一次。

≡【例4-4】設(shè)學(xué)生和選課關(guān)系中的數(shù)據(jù)如下，學(xué)生與選課之間的笛卡兒積、等值連接和自然連接的結(jié)果如表所示。

學(xué)號(hào)姓名年齡所在系

學(xué)號(hào)課程名成績(jī)98001張三20計(jì)算機(jī)系98001數(shù)據(jù)庫(kù)6298005李四21數(shù)學(xué)系98001數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)73

98005微積分80學(xué)生

選課學(xué)生.學(xué)號(hào)姓名年齡所在系選課.學(xué)號(hào)課名成績(jī)980019800198001980059800598005張三張三張三李四李四李四202020212121計(jì)算機(jī)系計(jì)算機(jī)系計(jì)算機(jī)系數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系980019800198005980019800198005數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)微積分?jǐn)?shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)微積分627380627380學(xué)生×選課

學(xué)生.學(xué)號(hào)姓名年齡所在系選課.學(xué)號(hào)課名成績(jī)980019800198005張三張三李四202021計(jì)算機(jī)系計(jì)算機(jī)系數(shù)學(xué)系980019800198005數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)微積分627380學(xué)生.學(xué)號(hào)姓名年齡所在系課名成績(jī)980019800198005張三張三李四202021計(jì)算機(jī)系計(jì)算機(jī)系數(shù)學(xué)系數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)微積分627380學(xué)生選課

學(xué)生.學(xué)號(hào)=選課.學(xué)號(hào)學(xué)生選課

ABCA1A1A2A2B1B2B3B456812BEB1B2B3B3B5371022關(guān)系R關(guān)系SAR.BCS.BEA1A1A1A1A2B1B1

B2

B2

B355668B2B3

B2

B3

B371071010一般連接RSC<EABCEA1A1A2A2B1B2B3B3568837102自然連接RSABCA1A1A2A2B1B2B3B456812BEB1B2B3B3B5371022關(guān)系R關(guān)系S兩個(gè)關(guān)系R和S在做自然連接時(shí)，選擇兩個(gè)關(guān)系在公共屬性上值相等的元組構(gòu)成新的關(guān)系。此時(shí)，關(guān)系R中某些元組有可能在S中不存在公共屬性上值相等的元組，從而造成R中這些元組在操作時(shí)被舍棄了，同樣，S中某些元組也可能被舍棄。如果把舍棄的元組也保存在結(jié)果關(guān)系中，而在其他屬性上填空值（Null），那么這種連接就叫做外連接(Outerjoin)。如果只把左邊關(guān)系R中要舍棄的元組保留就叫做左外連接（Leftouterjoin或Leftjoin），如果只把右邊關(guān)系S中要舍棄的元組保留就叫做右外連接（Rightouterjoin或Rightjoin）。ABCEa1a1a2a2a2NULLb1b2b3b3b4b5568812NULL37102NULL2ABCEa1a1a2a2a2b1b2b3b3b456881237102NULLABCEa1a1a2a2NULLb1b2b3b3b55688NULL371022ABCa1a1a2a2b1b2b3b456812BEb1b2b3b3b5371022關(guān)系R關(guān)系S外連接左外連接右外連接RSABCabcbafcbdABCbafdad

R1=R-S,R2=R∪S,R3=R∩S,R4=R×SRSABCa1b1c1a1b2c2a2b2c1ABCa1b2c2a2b2c1R1=R-S,R2=R∪S,R3=R∩S,R4=ПA,B(σB=‘b1’(R))RSTABadbeccABdabadcACbbccbdR1=R-S,R2=R∪S,R3=R∞T,R4=R∞T,R5=ПA(R),R6=σA=C(R×T)

A<C(4)除（Division）運(yùn)算

給定關(guān)系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。R與S的除運(yùn)算得到一個(gè)新的關(guān)系P（X），P是R中滿(mǎn)足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上的分量值x的象集Yx包含S在Y上的投影，即：

R÷S={tr[X]|tr

R∧πY（S）Yx}.

其中的Yx為x在R中的象集，x=tr[X]。

關(guān)系除法運(yùn)算分下面4步進(jìn)行：

1)將被除關(guān)系的屬性分為象集屬性和結(jié)果屬性：與除關(guān)系相同的屬性屬于象集屬性，不相同的屬性屬于結(jié)果屬性。

2)在除關(guān)系中，對(duì)與被除關(guān)系相同的屬性（象集屬性）進(jìn)行投影，得到除目標(biāo)數(shù)據(jù)集。

3)將被除關(guān)系分組，原則是，結(jié)果屬性值一樣的元組分為一組。

4)逐一考察每個(gè)組，如果它的象集屬性值中包括除目標(biāo)數(shù)據(jù)集，則對(duì)應(yīng)的結(jié)果屬性值應(yīng)屬于該除法運(yùn)算結(jié)果集。例關(guān)系做除法的例子?！纠?-5】給出選課、選修課和必修課3個(gè)關(guān)系，它們的關(guān)系模式為：選課(學(xué)號(hào)，課號(hào)，成績(jī))；選修課(課號(hào)，課名);必修課(課號(hào)，課名).選課選修課學(xué)號(hào)課號(hào)成績(jī)

課號(hào)課名S1C1AC2計(jì)算機(jī)圖形學(xué)S1C2B必修課S1C3BS2C1A課號(hào)科名S2C3BC1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)S3C1BC3操作系統(tǒng)S3C3B選課÷選修課S4C1AS4C2A學(xué)號(hào)成績(jī)S5C2BS1BS5C3BS4AS5C1AS5B學(xué)號(hào)成績(jī)

學(xué)號(hào)S3BS1

S2S3S5選課÷必修課π學(xué)號(hào)，課號(hào)（選課）÷必修課

4.2.3用關(guān)系代數(shù)表示檢索的例子學(xué)生選課庫(kù)的關(guān)系模式為：

學(xué)生（