第九章無窮級數(shù)

人類知識的積累總是遵循著從已知到未知的認(rèn)識規(guī)律。就拿微積分來說吧.微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶而其中的極限理論則被說成是人類理性思維的典范。利用極限概念，我們逐步獲得了導(dǎo)數(shù)，定積分等概念；利用定積分、極限概念又獲得了廣義積分的概念。下面看看無窮級數(shù)理論是怎樣產(chǎn)生的。無窮級數(shù)第九章第一節(jié)無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)一.無窮級數(shù)的概念定義1由無窮多項(xiàng)構(gòu)成的一個(gè)連加式稱為一個(gè)無窮級數(shù),簡稱為級數(shù).記為即其中un稱為級數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng).若級數(shù)的每一項(xiàng)un都為常數(shù),則稱該級數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)(或數(shù)項(xiàng)級數(shù)),若級數(shù)的項(xiàng)un=un(x),則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù).

{}考察由于定義2若級數(shù)的部分和數(shù)列{sn}的極限存在,且等于s,即則稱級數(shù)

收斂,s稱為級數(shù)的和.并記為,這時(shí)也稱該級數(shù)收斂于s.若部分和數(shù)列的極限不存在,就稱級數(shù)發(fā)散．等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)的求和公式等比數(shù)列前ｎ項(xiàng)的求和公式考察級數(shù)的斂散性．因?yàn)槔?判定級數(shù)的斂散性.解所以收斂.即=3例2考察級數(shù)的斂散性.解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=0.{}：1,0，1,0，因?yàn)榘l(fā)散.同理可知發(fā)散．例3求的和.解例4解討論幾何級數(shù)(等比級數(shù))注:當(dāng)時(shí)，即為例1中的級數(shù).例5解的斂散性(其中為常數(shù)q為公比)．

綜上所述,幾何級數(shù)當(dāng)|q|<1時(shí)級數(shù)收斂,且收斂于，當(dāng)|q|≥1時(shí)級數(shù)發(fā)散.此級數(shù)發(fā)散。例6證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散．證引入輔助函數(shù)本堂課主要內(nèi)容1.無窮級數(shù)的定義，無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的概念.2.幾何級數(shù)當(dāng)時(shí)，收斂于3.調(diào)和級數(shù)發(fā)散.4.級數(shù)發(fā)散(a為常數(shù)).當(dāng)時(shí)，發(fā)散.|q|≥1 ——練習(xí)————性質(zhì)1在級數(shù)的前面增加或去掉有限項(xiàng)其斂散性不變,但一般會(huì)改變收斂級數(shù)的和．二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)2級數(shù)與有相同的斂散性,且收斂時(shí)有收斂性質(zhì)3若級數(shù)與都收斂,則也收斂,且性質(zhì)4

收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂,且其和不變.若級數(shù)收斂,則

性質(zhì)5(級數(shù)收斂的必要條件)注意(1)若則發(fā)散.例1解第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法若級數(shù)的各項(xiàng)un≥0(n=1,2,…),則稱該級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)．

由于sn=sn-1＋un≥sn-1,所以正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列{sn}是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列．定理1

正項(xiàng)級數(shù)它的部分和數(shù)列{sn}有上界.收斂的充要條件是：證必要性:若收斂存在有界有上界.充分性：<1即其部分和數(shù)列有界，所以正項(xiàng)級數(shù)收斂。解由于例1試判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性．定理2(比較判別法)

設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)和如果存在正整數(shù)N,當(dāng)n≥N時(shí),有un≤vn,則有：例2考察解因?yàn)?/p>

例3證明級數(shù)發(fā)散.證例4解而發(fā)散，所以發(fā)散。例5判別級數(shù)的斂散性.解例6判別級數(shù)解例7判別級數(shù)的斂散性.解例8判別級數(shù)的斂散性.解例9判定級數(shù)的斂散性.解定理3[比值判別法]

若對正項(xiàng)級數(shù)有：

判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.(1)

例10解例11判別級數(shù)的斂散性.解注當(dāng)級數(shù)的一般項(xiàng)含有n!,等因子時(shí)，用比值判別法比較方便.解因?yàn)槔?2判別級數(shù)的斂散性.例13討論級數(shù)的斂散性.解判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:例14解注當(dāng)一般項(xiàng)含n！時(shí)不宜用根值判別法.例15判別級數(shù)的斂散性(a>0).解練習(xí)：判斷下列級數(shù)的斂散性:發(fā)散收斂例16解法一解法二一、交錯(cuò)級數(shù)及其斂散性判別其中un≥0(n=1,2,…).第三節(jié)任意項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別

定義如果在任意項(xiàng)級數(shù)中,正負(fù)號相間出現(xiàn),這樣的任意項(xiàng)級數(shù)就叫做交錯(cuò)級數(shù).它的一般形式為定理1(萊布尼茨判別法)

若

交錯(cuò)級數(shù)滿足則級數(shù)收斂,且其和s≤u1.(1)unun+1滿足定理1的條件(1)和(2)的交錯(cuò)級數(shù)稱為萊布尼茨型級數(shù)．證根據(jù)項(xiàng)數(shù)n是奇數(shù)或偶數(shù)分別考察sn．設(shè)n為偶數(shù),于是sn=s2m=u1-u2+u3-…+u2m-1-u2m,將其每兩項(xiàng)括在一起s2m=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2m-1-u2m)．每個(gè)括號內(nèi)的值都是非負(fù)的.如果把每個(gè)括號看成是一項(xiàng),這就是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)的前m項(xiàng)部分和.顯然,它是隨著m的增加而單調(diào)增加的．如果把部分和s2m改寫為s2m=u1-（u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)-u2m,s2m≤u1,即部分和數(shù)列有界．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)把部分和寫為sn=s2m+1=s2m+u2m+1,所以,不管n為奇數(shù)還是偶數(shù),都有故交錯(cuò)級數(shù)收斂．由于s2m≤u1,而,因此根據(jù)極限的保號性可知,有s≤u1．例1解例2判斷級數(shù)的斂散性.解練習(xí)：判斷級數(shù)的斂散性.證因?yàn)閡n≤|un|,所以0≤|un|＋un≤2|un|．已知收斂,由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知,收斂，從而收斂．二、任意項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法例3解例4判斷級數(shù)是否收斂，若收斂，判斷是絕對收斂還是條件收斂.解特別值得注意的是，當(dāng)我們運(yùn)用達(dá)朗貝爾比值判別法或柯西根值判別法來判別正項(xiàng)級數(shù)是發(fā)散時(shí)，可以斷言，也一定發(fā)散．這是≠0，從而有≠0．因?yàn)榇藭r(shí)有例5判定級數(shù)的斂散性.解例6討論級數(shù)的斂散性.解練習(xí)：

判斷下列級數(shù)的斂散性:解解解解解例設(shè)證均絕對收斂.第四節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)由定義在同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)序列構(gòu)成的無窮級數(shù)

就稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)．

若令x取定義區(qū)間中某一確定值x0,則得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

若上述級數(shù)收斂,則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn).反之,若上述級數(shù)發(fā)散,則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合,稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域.若x0是收斂域內(nèi)的一個(gè)值,則必有一個(gè)和s(x0)與之對應(yīng),即當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變動(dòng)時(shí),由對應(yīng)關(guān)系,就得到一個(gè)定義在收斂域上的函數(shù)s(x),使

這個(gè)函數(shù)s(x)就稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)．將函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

的前n項(xiàng)和記為sn(x),且稱之為部分和函數(shù),即

在函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域內(nèi)有若以rn(x)記余項(xiàng),rn(x)=s(x)-sn(x),則在收斂域內(nèi)有求級數(shù)的收斂域與和函數(shù).此級數(shù)為幾何級數(shù)(即等比級數(shù)),當(dāng)|x|<1時(shí),級數(shù)收斂,|x|≥1時(shí)級數(shù)發(fā)散.故其收斂域?yàn)?-1,1).例1解和函數(shù)為：二、冪級數(shù)及其斂散性定義1具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

稱為在x=x0處的冪級數(shù)或(x-x0)的冪級數(shù),其中a0,a1,…,an,…稱為冪級數(shù)的系數(shù)．若x0=0,則稱

為x=0處的冪級數(shù)或x的冪級數(shù)．

定理1［阿貝爾(Abel)定理］(1)若冪級數(shù)在點(diǎn)x=x0(x0≠0)處收斂,則對于滿足|x|＜|x0|的一切x,均收斂．(2)若冪級數(shù)在點(diǎn)x=x0處發(fā)散,則對于滿足|x|＞|x0|的一切x,均發(fā)散．

可見

1.若x0是的收斂點(diǎn),則該冪級數(shù)在(-|x0|,|x0|)內(nèi)收斂;若x0是的發(fā)散點(diǎn),則該冪級數(shù)在(-∞,-|x0|)∪(|x0|,+∞)內(nèi)發(fā)散.

2.對冪級數(shù)而言,存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)x=±r,r＞0,它們將冪級數(shù)的收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)分隔開來,在(-r,r)內(nèi)的點(diǎn)都是收斂點(diǎn),而在[-r,r]以外的點(diǎn)均為發(fā)散點(diǎn),在分界點(diǎn)x=±r處,冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散,稱具有這種性質(zhì)的正數(shù)r為冪級數(shù)的收斂半徑.4.當(dāng)冪級數(shù)僅在x=0處收斂時(shí),規(guī)定其收斂半徑為r=0;當(dāng)在整個(gè)數(shù)軸上都收斂時(shí),規(guī)定其收斂半徑為r=+∞,此時(shí)的收斂區(qū)間為(-∞,+∞)．

3.由冪級數(shù)在x=±r處的收斂性就可以確定它在區(qū)間(-r,r),[-r,r),(-r,r],[-r,r]之一上收斂,該區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.

定理2設(shè)有冪級數(shù),如果

則(1)當(dāng)0＜

＜＋∞時(shí),的收斂半徑r=；(2)當(dāng)=0時(shí),r=+∞;(3)當(dāng)

=+∞時(shí),r=0．證視為含參數(shù)x的數(shù)項(xiàng)級數(shù).則例1求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間.解收斂半徑所以，原級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1,1]當(dāng)時(shí)，原級數(shù)化為,又因?yàn)槔?.求冪級數(shù)的收斂域.解因?yàn)樗詮亩諗坑驗(yàn)槔?解缺少偶次冪的項(xiàng).例4解原級數(shù)的收斂區(qū)間為已知冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂域。思考例5由-1<t<1,及t=lnx知-1<lnx<1,即lne-1<lnx<lne例6定理3設(shè)r是冪級數(shù)的收斂半徑,若的系數(shù)滿足

則(1)當(dāng)0＜＜+∞時(shí),r=;(2)當(dāng)

=0時(shí),r=+∞；(3)當(dāng)

=+∞時(shí),r=0．例7解三、冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)則(1)1.四則運(yùn)算性質(zhì)設(shè)的收斂半徑為，和函數(shù)為；的收斂半徑為，和函數(shù)為.解釋：(4)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)若冪級數(shù)的收斂半徑為r,則在(-r,r)內(nèi)和函數(shù)s(x)可導(dǎo),且有2.分析運(yùn)算性質(zhì)可見冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)(5)逐項(xiàng)積分若冪級數(shù)的收斂半徑為r,則和函數(shù)在(-r,r)上可積,且有可見冪級數(shù)在其收斂開區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分.兩邊積分得例1解例2求級數(shù)的收斂域與和函數(shù).解收斂區(qū)間為(-1,1),例3解思考求冪級數(shù)的和函數(shù)我們已經(jīng)知道，給定一個(gè)冪級數(shù)，則在它的收斂域范圍內(nèi)存在一個(gè)函數(shù)，使得這就是下節(jié)要研究的目標(biāo).第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒(Taylor)公式如果函數(shù)f(x)在x=x0的某一鄰域內(nèi),有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)鄰域內(nèi)有如下公式：

稱上式為泰勒公式.其中rn(x)稱為余項(xiàng).如果令x0=0,就得到

稱上式為馬克勞林公式.顯然，若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則相應(yīng)地有稱上式為泰勒級數(shù).如果令x0=0,就得到

稱上式為馬克勞林級數(shù).現(xiàn)在的問題是是否成立.是否成立.定理如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)