第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3

成都理工大學(xué)測量工程系

§2-5高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）

定義：

以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，用解析法將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

成都理工大學(xué)測量工程系NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線2、高斯投影的原理

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進行投影。成都理工大學(xué)測量工程系應(yīng)用：1：5000至1：25萬地形圖采用的投影成都理工大學(xué)測量工程系投影條件及經(jīng)緯網(wǎng)形狀投影條件：中央經(jīng)線和赤道投影后為互相垂直的直線，且為投影的對稱軸投影無角度變形中央經(jīng)線投影后保持長度不變成都理工大學(xué)測量工程系變形分析高斯投影沒有角度變形，面積比是長度比的平方中央經(jīng)線投影無長度變形同一條緯線上，長度變形隨經(jīng)差的增大而增大；同一條經(jīng)線上，長度變形隨緯度的增大而減小長度變形恒為正，除中央經(jīng)線外，其他任何線段都變大長度變形的大小主要取決于經(jīng)差，變形的大小隨λ的增大而增大，為了保證地圖必要的精度，投影帶不宜太寬。通常采用3o帶或6o帶成都理工大學(xué)測量工程系 為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差6°或3°分帶，長度變形約0.138%成都理工大學(xué)測量工程系成都理工大學(xué)測量工程系中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格分帶投影：

1∶1萬和更大比例尺（3°分帶）

1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬。(6°分帶）高斯投影分帶成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系式中x,y－高斯平面直角坐標系坐標；s－由赤道至緯度B的經(jīng)線弧長；B－橢球體上大地坐標的經(jīng)緯度；l－所求點的經(jīng)度與中央子午線之間的經(jīng)度差；單位為弧度的秒N－卯酉圈曲率半徑，可據(jù)緯度直接查?。沪牵?=e’2cos2B，e’為第二偏心率ρ”為常數(shù)，

ρ”=206264.”812.高斯投影正算公式精度為0.1m，多擴充一項精度可達0.001m成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系高斯投影的最大變形在赤道上，并隨經(jīng)差的增大而增大，故限制投影的經(jīng)度范圍就能將變形大小控制在所需要的范圍內(nèi)，以滿足地圖所需精度的要求。因此對該投影進行分帶投影6o分帶法：從零子午線起，由西向東，每6o為一帶，全球分60各投影帶，用阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、……60標記。東半球分30個投影帶，從0o到180o，用1、2……30標記，西半球也分30個投影帶，從180o到0o，用31、……、60標記，每帶的中央經(jīng)線的度數(shù)L0和帶號n的關(guān)系表示為：成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系3o分帶法：3o分帶法從東經(jīng)1o30’起，每3o為一帶，全球劃為120帶，用阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、……120標記，這樣分帶的目的使6o帶的中央經(jīng)線全部為

3o帶的中央經(jīng)線，3o帶中有半數(shù)的中央經(jīng)線與6o帶的中央經(jīng)線重合，因此在由3o帶轉(zhuǎn)換成6o帶時，不需任何計算而可以直接轉(zhuǎn)用。3o投影帶、6投影帶劃分及中央經(jīng)線和帶號的相互關(guān)系示意圖01o30’6o12o18o180o0o1o30’6o12o18o120123412065114115116117118119123605859成都理工大學(xué)測量工程系高斯投影坐標網(wǎng)經(jīng)緯網(wǎng)確定地面點和整個地形的實際位置在1：5000到1：25萬的地形圖上，經(jīng)緯線以內(nèi)圖廓的形式表現(xiàn)出來，在四個圖幅角點處注記相應(yīng)的度數(shù)。1：25萬的地形圖還在圖內(nèi)以10ˊ為單位繪出加密十字線。1：50萬的地形圖，除在內(nèi)圖廓上繪出加密分劃線外，還在圖面上直接繪出經(jīng)緯網(wǎng)方里網(wǎng)經(jīng)緯網(wǎng)不能在圖上迅速而精確的確定出距離和方向方里網(wǎng)定義：中央經(jīng)線投影后的直線為x軸，赤道投影后的直線為y軸，兩軸的交點為原點。為了避免y值為負，于y坐標前加上500km，為了區(qū)別各帶的坐標，避免地面點空間位置的混淆，規(guī)定在橫坐標值加上500km后，于百km的位數(shù)前加上帶號，化成通用坐標成都理工大學(xué)測量工程系高斯-克呂格直角坐標yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m向西平移500km再加上帶號高斯-克呂格通用坐標成都理工大學(xué)測量工程系

通用橫軸墨卡托投影——UTM投影——美國地形圖采用的投影 以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱

UniversalTransverseMercator——UTM投影（即等角橫割橢圓柱投影）。

此投影無角度變形，中央經(jīng)線為負變形，長度比為0.9996，中央經(jīng)線與邊緣經(jīng)線的長度變形的絕對值大致相等，距中央經(jīng)線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6°或3°分帶。長度變形<0.04%

第五章地圖投影的應(yīng)用和變換§5.1地圖投影的選擇依據(jù)一、制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍

1.制圖區(qū)域地理位置決定了所選擇投影的種類。

極地——

赤道附近——

中緯地區(qū)——正軸方位投影橫軸方位投影,正軸圓柱投影正軸圓錐投影或斜軸方位投影2.制圖區(qū)域形狀直接制約地圖投影的選擇。中緯度地區(qū):

沿緯線方向延伸的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向略窄，沿緯線方向略寬的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向南北延伸的長形區(qū)域——

圓形區(qū)域——

低緯赤道附近:

沿東西方向長條形區(qū)域——

圓形區(qū)域——單標準緯線正軸圓錐投影雙標準緯線正軸圓錐投影

多圓錐投影

斜軸方位投影正軸圓柱投影

橫軸方位投影

3.制圖區(qū)域的范圍大小也影響地圖投影的選擇。

范圍小時，無論什么投影方式都無太大變形差異；對于區(qū)域廣大的地圖需要慎重的選擇投影。

地理坐標地圖（球面坐標表示為平面方式）等積圓柱投影墨卡托投影：正軸等角切圓柱投影編制世界時區(qū)圖橫軸墨卡托投影摩爾維特（Mollweide）投影等面積偽圓柱投影，常用于編制小比例尺世界地圖桑遜投影等面積偽圓柱投影正射方位投影斜軸方位投影橫軸方位投影斜軸等距方位投影

二、制圖比例尺

不同比例尺地圖，對精度要求不同，投影選擇不同。

以我國為例，大比例地形圖，量算及精確定位，選擇各方面變形都較小的地圖投影，如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影；中小比例尺的省區(qū)圖，定位精度相對降低，選擇正軸等角、等積、等距圓錐投影。

三、地圖的內(nèi)容

表現(xiàn)的主題和內(nèi)容。

交通圖，航海圖，航空圖——

自然地圖和社會經(jīng)濟地圖中的分布圖，類型圖，區(qū)劃圖——

世界時區(qū)圖——等角投影等積投影經(jīng)線投影成直線的正軸圓柱投影四、出版方式

單幅圖，系列圖，地圖集。單幅圖和系列圖投影選擇比較簡單；地圖集應(yīng)該盡量采用同一系統(tǒng)的投影，再根據(jù)個別內(nèi)容的特殊要求，在變形性質(zhì)方面予以適當(dāng)?shù)淖兓?/p>

成都理工大學(xué)測量工程系軟件中投影的設(shè)置用戶自定義（設(shè)備坐標）Mapgis中投影參數(shù)的設(shè)置成都理工大學(xué)測量工程系A(chǔ)rcview中的albers等積圓錐投影的定義成都理工大學(xué)測量工程系X軸平移單位這些參數(shù)隨投影的不同而不同成都理工大學(xué)測量工程系ProjectiontypeSpheroidtype成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系1.子午圈半徑、卯酉圈半徑、平均曲率半徑和緯圈半徑子午圈曲率半徑M

過橢球表面上任一點A作作法線AL，通過法線的平面與橢球所截成的截面叫做法截面。同時過法線和橢球旋轉(zhuǎn)軸的截面為子午圈截面，子午圈曲率半徑通常是A點上所有截面的曲率半徑中的最小值。公式為4.5.1地球橢球體的基本要素卯酉圈曲率半徑N

卯酉圈截面是垂直于子午圈的截面，即過A點的法線AL并垂直于子午圈截面的法截面E’PE，它具有P點上所有截面的曲率半徑的最大值。公式為4.5地圖投影的計算a是地球的長半軸成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系平均曲率半徑RR等于主法截面曲率半徑的幾何中數(shù)不同緯度的子午圈半徑和卯酉圈半徑緯度（）子午圈曲率半徑M（m）卯酉圈曲率半徑N（m）06335553632457845636749163889459063996996399699由此可見，子午圈曲率半徑除了在兩極處相等外，在其他緯度相同的情況下，同一點上卯酉圈的曲率半徑均大于子午圈曲率半徑成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系緯圈（平行圈）半徑r等面積球體半徑：R＝6371116（m）等體積球體半徑R＝6371110（m）2.地球的球體半徑當(dāng)編制較小比例尺地圖時，可以不考慮地球扁率，而把橢球體用一個符合某種條件的球體來代替，以便于地圖投影的計算，同時也滿足制圖的精度要求成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系3.子午線（經(jīng)線）弧長和緯線弧長AA’pEFQCAd子午線弧長在子午線上任取一點A，其緯度為A，取與A點無限接近的一點A’，其緯度為A+d，設(shè)C為弧AA’＝dS的曲率中心，M為該弧的曲率半徑（即子午線A點上的曲率半徑），因為弧AA’很小，可以把它看成以M為半徑的圓周A，B兩點之間的子午線弧長S為a為橢球體的長半軸成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系積分后，得式中，；A＝1.0050517739；B＝0.00506237764；C＝0.0000106245；D＝0.00000002081成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系緯線（平行圈）弧長因為緯線為圓弧，故可應(yīng)用求圓弧弧長的公式：DBASλrr設(shè)A、B兩點經(jīng)差為λ，則由圖可得

分析上述公式可得，同緯差的子午線弧長由赤道向兩極逐漸增長。緯差1度的子午線弧長在赤道為110576m，在兩極為111695m成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系4.地球橢球體表面上的梯形面積ABCD如圖所示，無窮小的梯形ABCD，其邊長就是子午圈和平行圈的弧長，即微分梯形的面積ABCD可以寫成如果所計算的面積為經(jīng)度λ1與λ2的兩條經(jīng)線及緯度為1和2的兩條緯線所包圍的梯形成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系正軸圓錐投影的經(jīng)緯線特征緯線投影后為同心圓圓弧，其圓心為圓錐的頂點經(jīng)線投影后為交于一點（圓錐頂點）的直線束，其相鄰夾角與經(jīng)差成正比根據(jù)特征可得圓錐投影的極坐標公式。4.5.2圓錐投影的一般公式成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系XYS’δρsρφ2φ

1φ

sφs_－－－為最南端的緯線ρ

s－－－最南端緯線投影后的半徑，它在一個已決定的投影中是常數(shù)ρ－－－緯線投影半徑，它隨不同的緯度B變化，l－－橢球面上兩相鄰經(jīng)線間的夾角，它在平面上的投影為δa－－圓錐系數(shù)，即圓錐頂角與圓周角360之比φ2φ1φ0Sδ成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系直角坐標公式；X軸－中央經(jīng)線Y軸－過投影區(qū)域最（低南）緯線并垂至于中央經(jīng)線的直線。沿經(jīng)線方向的長度比沿緯線方向的長度比面積比P＝m.n最大角度變形為成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系圓錐投影的一般公式對于橢球體對于球體，只要將上式中m，n以R代M，以Rcosφ代r，即可成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系正軸等角圓錐投影基本公式根據(jù)等角條件，有

m=n（或a=b）或w＝0有代入M，N，并取積分成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系將等角圓錐投影的一般公式整理為成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系正軸圓錐投影的經(jīng)緯線特征緯線投影后為同心圓圓弧，其圓心為圓錐的頂點經(jīng)線投影后為交于一點（圓錐頂點）的直線束，其相鄰夾角與經(jīng)差成正比以等角正軸圓錐投影為例建立投影公式1.圓錐投影的一般公式根據(jù)特征可得圓錐投影的極坐標公式。成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系XYS’δρsρB2B1BsBs_－－－為最南端的緯線ρ

s－－－最南端緯線投影后的半徑ρ－－－緯線投影半徑，它隨不同的緯度B變化，l－－橢球面上兩相鄰經(jīng)線間的夾角，它在平面上的投影為δa－－圓錐系數(shù)，即圓錐頂角與圓周角360之比B2B1B0Sδ成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系φ0φ1φ2r0r1r2ρsρ0ρ1ρ2ρA’D’C’B’DABCYXδxy成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系直角坐標公式；X軸－中央經(jīng)線Y軸－過投影區(qū)域最（低南）緯線并垂至于中央經(jīng)線的直線。沿經(jīng)線長度比：沿緯線長度比公式中各參數(shù)的推導(dǎo)1.求p成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系由等角條件，有m＝n，即移項、積分可得式中，a是圓錐系數(shù)，k為積分常數(shù)，φ為待求點的緯度成都理工大學(xué)地球科學(xué)院空間信息技術(shù)系2.求a

和

ka和k

在不同情況下有不同的值。單標準緯線（n0＝1）：雙標準緯線（n1＝n2＝1）r0

為切線的半徑r1

和r2

為兩條割線φ1φ2的半徑成都理工大學(xué)測量工程系§7地圖定向（地圖方位）概念：確定地圖上圖形的地理方向為地圖定向。三北方向線：真北方向線：磁北方向線坐標北方向線三方位角：真方位角：磁方位角坐標方位角三偏角：子午線收斂角：磁偏角磁針對坐標縱線的偏角磁偏角子午線收斂角磁針對坐標縱線的偏角（磁坐偏角）成都理工大學(xué)測量工程系§8地圖比例尺概念：地圖上線段的長度與地面上相應(yīng)線段水平長度之比。分類：按地圖投影類型分：主比例尺，即平常地圖上注記的比例尺，將地球橢球按一定比率縮小而表示在平面上，這個比率即主比例尺，是投影面上沒有變形的點或線上的比例尺局部比例尺，地圖上發(fā)生變形的點或線的比例尺。變化比較復(fù)雜，隨線段的方向和位置的變化而變化。按比例尺大小分類（大、中、?。┏啥祭砉ご髮W(xué)測量工程系地圖比例尺的形式1:100001:500001/100001/50000萬分之一五萬分之一圖上一厘米等于實地100m圖上一厘米等于實地500m1.數(shù)字式2.文字式成都理工大學(xué)測量工程系1:50萬501020km可量取比例尺基本長度單位的百分之一如果上圖的比例尺為1：50萬，比例尺基本長度單位為兩厘米