空間角的求法精品教案

oo空間角，能比較集中反映空間想能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考?？臻g是異面直線所成的角、直線與平面所的角及二面角總稱?？臻g角的計算思想主要是轉(zhuǎn)化即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計算轉(zhuǎn)化到三角形邊角系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標運算來解。空間角的求法一般是：一、證、計。一、異直線所成角求法異面直線所成的角的范圍：（）移

090【例】知四邊形

ABCD

為直角梯形，

，

ABC

o

，

PA

平面

AC

，且

BC

，PA

，求異面直線PC與BD所角的余弦值的大小?！窘狻窟^點

作

//

交

AD

的延長線于

E

，連結(jié)

PE

，則

與

BD

所成的角為

或它的補角。QCEBD

，且

10

由余弦定理得

PC

2

2PE26PC與所成角的余弦值為

D

C（）形【變式練習(xí)】已知正三棱柱

A111

的底面邊長為8，棱長為6，

D

為

AC

中點。求異面直線

AB

1與

BC1

所成角的余弦值。

A

1

C

1【答案】

125

B

1A

D

CB/8，，二、直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍：

0

o方：影化（鍵作線找影【例如圖在棱錐P中

oo

，

CA點P在平面內(nèi)的射影O在上求線PC與平面所的角的大小。

P【解】連接

OC

，由已知，

OCP

為直線

與平面

所成角

C設(shè)

AB

的中點為

D

，連接

PDCD

。ABCA，以CD

ABQ90

o

,PAB

o

，所以為等邊三角形。不妨設(shè)，ODOP

4CD3,OD

2

2

在Rt中

OP【變式練習(xí)】如圖，四棱錐

中，

CD

，

CD

，側(cè)面

為等邊三角形。ABBC2

，

，求

AB

與平面

SBC

所成的角的大小?！窘狻坑?/p>

AB

平面

SDE

知，平面

平面

SDE作

SF

，垂足為

，則

SF

平面

，

SF

DE作

BC

，垂足為

G

，則

連結(jié)

SG

，則

SGBC

，又

FG

，

SGFG故

平面

，平面

SBC

平面

作

SG

，

H

為垂足，則

FH

平面

SBCFH

SFFG21，F(xiàn)到平面SBC的離為SG7由于

EDBC

，所以

//

平面

SBC

，故

E

到平面

SBC

的距離

也為

217設(shè)AB與面所的角為，

d21，則EB/8180ooo180ooo【變式練習(xí)】如圖，在四棱錐

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

AD

，

BC

，

PC

，CD

，求直線

PB

與平面

所成角的正弦值?！窘狻窟^點

P

作

于點

E

，連接

BEQPDDC，平面平面ABCDPE

面

，則

PBE

是直線

PB

與平面

所成角PDPC120

PEDE在

RtBCE

中，

22PBBE2213在

Rt

中，

PBE

PEPB13三、二角的求法二面角的范圍：

0

oo求二面角的大小，關(guān)在找或出二角平角從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法：（）義：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c般選一個特殊的點，如：垂足、中點等這一“點”在兩個半面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角為二面角的平面角般在找出角后，利用三角形求解）【例】在三棱錐

PABC

中，

APBBPCAPC

o

，求二面角

APB

的余弦值?！窘狻吭?/p>

PB

上取

PQ

，作

MQ

交

PA

于

M

，

作

PB

交

PC

于

Q

McosMQN

13

【變式練習(xí)如圖點

在銳二面角MN

的棱

上在

內(nèi)引射線

AP

使

AP

與

所成角

PAM45，與面所角的大小為

，求二面角

MN

的大小。【解】在射線上一點B，于，HQ于

B，則45

M

N

H/8，o1，o1（）用垂三線理在平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那它也和這條斜線垂直。逆理如果平面內(nèi)一條直和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線平面內(nèi)的射影。從半平面

內(nèi)的任一點

A

出發(fā)向另一個半平面

引一條直線

AH

，過

H

作棱

l

的垂線

HG

，垂足為G

，連

AG

，則由三垂線定理可證

lAG

,故

就是二面角

的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平內(nèi)的某一個點出發(fā)，且垂直于另個半平面?！纠缭谌忮F

中，APB

oo

，

CA

點

P

在平面

內(nèi)的射影

O

在

AB

上，求二面角

AP

的大小。

P【解】過AB中D作DE于E，接，由已知可得，面PAB

C據(jù)三垂線定理可知，

AB則

為

AP

的平面角易知，若AB，則

3，CD在

RtCDE

中，

CED

CD3DE3【變式練習(xí)】在直三棱柱

ABCB111

中，

BAC90

o

，

AB1

，直線

B1

與平面

成

30角，求二面角

BBC1

的正弦值?！窘狻坑芍比庵再|(zhì)得平面

ABC

平面

BCC1

，過

A

作

AN

平面

BCC1

，

1

垂足為

，則

AN

平面

BCC1

（

AN

即為我們要找的垂線）

1Q在平面

1

內(nèi)過

作

棱

B1

，垂足為

，連

QA

C則

即為二面角的平面角。

QAB在平面ABC內(nèi)射影為AB，CAAB1CA1

，又

AB1

，得

2/8o11oo11oQ

直線1

與平面

成

30

角CB1

，又

BC2，1

中，由勾股定理得

2AQ

，在

BAC

中，

AC2

，得

AN

sinAQNAQ即二面角

BBA1

的正弦值為

63從不直接找出平面角的角度出發(fā)主要有兩種方法：面積法（面積射影法量法。（）積（積影）凡二面角的圖形中含有可求原圖面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用影面積公式（

cos

射

）求出二面角的大小。

求證：

cos

射

D【例】如圖，E為方體AC的CC的中點，求平面ABE和面BD111

所成銳角的余弦值。

D

【答案】所求二面角的余弦值為

D

1

1【變式練習(xí)】如圖，

S

是正方形

所在平面外一點，且

SD

面

，

AB，SB

3

。求面ASD與BSC所二面角的大小。

S【答案】

45D

C

/8四、真題演練東已三棱柱

1

9的側(cè)棱與底面垂直體積為底面是邊長為4

的正三角形

P為底面

C111

的中心，則

PA

與平面

所成角的大小為（）A.

5.D1234知四柱

ABCDBCDCD與面BDC所角的正弦值等）111A.

.

2.3

D.

13山）如所示，在三棱錐PABQ中面ABQBABQ,,E,F

分別是AQ,

，

AP,BP

的中點，

AQ2BD

，

PD

與

EQ

交于點

G

，

PC

與

FQ

交于點

H

，連接

GH

。（1證明：

AB

∥

GH

；（2求二面角

GH

的余弦值。陜西）如，四棱柱

ABCD111

的底面

是正方形，

O

為底面中心，

1

平面

AA

。（1證明：

面BBDD11

；

（2求平面

1

與平面

DD1

的夾角

的大小。

A

BA

B/8oo湖南理）如圖在直棱柱

ABCD111

中，AD

∥

，

BAD

，

，

,

1（1證明：

1

）求直線

C1

與平面

1

所成角的正弦值。川理如在三棱柱

中棱底面11

，AC1

，BAC，,1

分別是線段

BC,BC1

的中點，

P

是線段

AD

的中點．（1面ABC內(nèi)出點與平面ABC平的直線l明理由明線l面ADD11

；（2設(shè)1）中的直線l交于M，交于點，二面角AN1CA

的余弦值．DP

BC

1

A

1

D1

B

1．圖，在四棱錐

SABCD

中，

BC

且

CD

；平面

CSD

平面

，

CS

，CS2；E為BS的點，CE2,AS

．求：（1點到平面BCS的離）二面角

EA

的大小?！窘猓〢D//BC且平BCS

平面則

A

點到平面

BCS

的距離等于點到平面

BCS

的距離

Q平面CSD

面，

故

平面

，從而

SD

E由AD//BC，DS

D又由

CSDS

知

DS

平面

BCS從而

DS

為點

A

到平面

BCS

的距離

/8ADS中AS

AD

3（2如圖，過

E

作

EGCD

，交

于點

G

，又過

G

點作

GH

交

AB

于

H故

為二面角

的平面角

E

作

EF//