空間角的求法精品教案

oo空間角，能比較集中反映空間想能力的要求，歷來(lái)為高考命題者垂青，幾乎年年必考。空間是異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所的角及二面角總稱(chēng)?？臻g角的計(jì)算思想主要是轉(zhuǎn)化即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計(jì)算轉(zhuǎn)化到三角形邊角系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解?？臻g角的求法一般是：一、證、計(jì)。一、異直線(xiàn)所成角求法異面直線(xiàn)所成的角的范圍：（）移

090【例】知四邊形

ABCD

為直角梯形，

，

ABC

o

，

PA

平面

AC

，且

BC

，PA

，求異面直線(xiàn)PC與BD所角的余弦值的大小?！窘狻窟^(guò)點(diǎn)

作

//

交

AD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于

E

，連結(jié)

PE

，則

與

BD

所成的角為

或它的補(bǔ)角。QCEBD

，且

10

由余弦定理得

PC

2

2PE26PC與所成角的余弦值為

D

C（）形【變式練習(xí)】已知正三棱柱

A111

的底面邊長(zhǎng)為8，棱長(zhǎng)為6，

D

為

AC

中點(diǎn)。求異面直線(xiàn)

AB

1與

BC1

所成角的余弦值。

A

1

C

1【答案】

125

B

1A

D

CB/8，，二、直線(xiàn)與平面所成角直線(xiàn)與平面所成角的范圍：

0

o方：影化（鍵作線(xiàn)找影【例如圖在棱錐P中

oo

，

CA點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影O在上求線(xiàn)PC與平面所的角的大小。

P【解】連接

OC

，由已知，

OCP

為直線(xiàn)

與平面

所成角

C設(shè)

AB

的中點(diǎn)為

D

，連接

PDCD

。ABCA，以CD

ABQ90

o

,PAB

o

，所以為等邊三角形。不妨設(shè)，ODOP

4CD3,OD

2

2

在Rt中

OP【變式練習(xí)】如圖，四棱錐

中，

CD

，

CD

，側(cè)面

為等邊三角形。ABBC2

，

，求

AB

與平面

SBC

所成的角的大小?！窘狻坑?/p>

AB

平面

SDE

知，平面

平面

SDE作

SF

，垂足為

，則

SF

平面

，

SF

DE作

BC

，垂足為

G

，則

連結(jié)

SG

，則

SGBC

，又

FG

，

SGFG故

平面

，平面

SBC

平面

作

SG

，

H

為垂足，則

FH

平面

SBCFH

SFFG21，F(xiàn)到平面SBC的離為SG7由于

EDBC

，所以

//

平面

SBC

，故

E

到平面

SBC

的距離

也為

217設(shè)AB與面所的角為，

d21，則EB/8180ooo180ooo【變式練習(xí)】如圖，在四棱錐

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

AD

，

BC

，

PC

，CD

，求直線(xiàn)

PB

與平面

所成角的正弦值?！窘狻窟^(guò)點(diǎn)

P

作

于點(diǎn)

E

，連接

BEQPDDC，平面平面ABCDPE

面

，則

PBE

是直線(xiàn)

PB

與平面

所成角PDPC120

PEDE在

RtBCE

中，

22PBBE2213在

Rt

中，

PBE

PEPB13三、二角的求法二面角的范圍：

0

oo求二面角的大小，關(guān)在找或出二角平角從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法：（）義：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)般選一個(gè)特殊的點(diǎn)，如：垂足、中點(diǎn)等這一“點(diǎn)”在兩個(gè)半面內(nèi)作棱的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)所成的角為二面角的平面角般在找出角后，利用三角形求解）【例】在三棱錐

PABC

中，

APBBPCAPC

o

，求二面角

APB

的余弦值。【解】在

PB

上取

PQ

，作

MQ

交

PA

于

M

，

作

PB

交

PC

于

Q

McosMQN

13

【變式練習(xí)如圖點(diǎn)

在銳二面角MN

的棱

上在

內(nèi)引射線(xiàn)

AP

使

AP

與

所成角

PAM45，與面所角的大小為

，求二面角

MN

的大小?！窘狻吭谏渚€(xiàn)上一點(diǎn)B，于，HQ于

B，則45

M

N

H/8，o1，o1（）用垂三線(xiàn)理在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那它也和這條斜線(xiàn)垂直。逆理如果平面內(nèi)一條直和穿過(guò)該平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)平面內(nèi)的射影。從半平面

內(nèi)的任一點(diǎn)

A

出發(fā)向另一個(gè)半平面

引一條直線(xiàn)

AH

，過(guò)

H

作棱

l

的垂線(xiàn)

HG

，垂足為G

，連

AG

，則由三垂線(xiàn)定理可證

lAG

,故

就是二面角

的平面角。三垂線(xiàn)定理是求解二面角問(wèn)題的常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線(xiàn)，即從第一個(gè)半平內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另個(gè)半平面?！纠缭谌忮F

中，APB

oo

，

CA

點(diǎn)

P

在平面

內(nèi)的射影

O

在

AB

上，求二面角

AP

的大小。

P【解】過(guò)AB中D作DE于E，接，由已知可得，面PAB

C據(jù)三垂線(xiàn)定理可知，

AB則

為

AP

的平面角易知，若AB，則

3，CD在

RtCDE

中，

CED

CD3DE3【變式練習(xí)】在直三棱柱

ABCB111

中，

BAC90

o

，

AB1

，直線(xiàn)

B1

與平面

成

30角，求二面角

BBC1

的正弦值?！窘狻坑芍比庵再|(zhì)得平面

ABC

平面

BCC1

，過(guò)

A

作

AN

平面

BCC1

，

1

垂足為

，則

AN

平面

BCC1

（

AN

即為我們要找的垂線(xiàn)）

1Q在平面

1

內(nèi)過(guò)

作

棱

B1

，垂足為

，連

QA

C則

即為二面角的平面角。

QAB在平面ABC內(nèi)射影為AB，CAAB1CA1

，又

AB1

，得

2/8o11oo11oQ

直線(xiàn)1

與平面

成

30

角CB1

，又

BC2，1

中，由勾股定理得

2AQ

，在

BAC

中，

AC2

，得

AN

sinAQNAQ即二面角

BBA1

的正弦值為

63從不直接找出平面角的角度出發(fā)主要有兩種方法：面積法（面積射影法量法。（）積（積影）凡二面角的圖形中含有可求原圖面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用影面積公式（

cos

射

）求出二面角的大小。

求證：

cos

射

D【例】如圖，E為方體AC的CC的中點(diǎn)，求平面ABE和面BD111

所成銳角的余弦值。

D

【答案】所求二面角的余弦值為

D

1

1【變式練習(xí)】如圖，

S

是正方形

所在平面外一點(diǎn)，且

SD

面

，

AB，SB

3

。求面ASD與BSC所二面角的大小。

S【答案】

45D

C

/8四、真題演練東已三棱柱

1

9的側(cè)棱與底面垂直體積為底面是邊長(zhǎng)為4

的正三角形

P為底面

C111

的中心，則

PA

與平面

所成角的大小為（）A.

5.D1234知四柱

ABCDBCDCD與面BDC所角的正弦值等）111A.

.

2.3

D.

13山）如所示，在三棱錐PABQ中面ABQBABQ,,E,F

分別是AQ,

，

AP,BP

的中點(diǎn)，

AQ2BD

，

PD

與

EQ

交于點(diǎn)

G

，

PC

與

FQ

交于點(diǎn)

H

，連接

GH

。（1證明：

AB

∥

GH

；（2求二面角

GH

的余弦值。陜西）如，四棱柱

ABCD111

的底面

是正方形，

O

為底面中心，

1

平面

AA

。（1證明：

面BBDD11

；

（2求平面

1

與平面

DD1

的夾角

的大小。

A

BA

B/8oo湖南理）如圖在直棱柱

ABCD111

中，AD

∥

，

BAD

，

，

,

1（1證明：

1

）求直線(xiàn)

C1

與平面

1

所成角的正弦值。川理如在三棱柱

中棱底面11

，AC1

，BAC，,1

分別是線(xiàn)段

BC,BC1

的中點(diǎn)，

P

是線(xiàn)段

AD

的中點(diǎn)．（1面ABC內(nèi)出點(diǎn)與平面ABC平的直線(xiàn)l明理由明線(xiàn)l面ADD11

；（2設(shè)1）中的直線(xiàn)l交于M，交于點(diǎn)，二面角AN1CA

的余弦值．DP

BC

1

A

1

D1

B

1．圖，在四棱錐

SABCD

中，

BC

且

CD

；平面

CSD

平面

，

CS

，CS2；E為BS的點(diǎn)，CE2,AS

．求：（1點(diǎn)到平面BCS的離）二面角

EA

的大小?！窘猓〢D//BC且平BCS

平面則

A

點(diǎn)到平面

BCS

的距離等于點(diǎn)到平面

BCS

的距離

Q平面CSD

面，

故

平面

，從而

SD

E由AD//BC，DS

D又由

CSDS

知

DS

平面

BCS從而

DS

為點(diǎn)

A

到平面

BCS

的距離

/8ADS中AS

AD

3（2如圖，過(guò)

E

作

EGCD

，交

于點(diǎn)

G

，又過(guò)

G

點(diǎn)作

GH

交

AB

于

H故

為二面角

的平面角

E

作

EF//