導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用2023/2/31第一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的極限思想，公元263年，劉徽為《九間算術(shù)》作注時提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。

積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，沒有用極限，是“有限”開工的窮竭法。微積分的創(chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。

2023/2/32第二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)函數(shù)區(qū)間一、預(yù)備知識設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a<b①開區(qū)間

：滿足不等式a<x<b一切實數(shù)的全體。②閉區(qū)間

：滿足不等式a≤x≤b的一切實數(shù)的全體。

③半開區(qū)間

：滿足不等式a<x≤b的一切實數(shù)的全體。：a≤

x<

b2023/2/33第三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)表示全體實數(shù)，或?qū)懗桑?lt;x<＋∞；表示大于a的全體實數(shù)，或?qū)懗蒩<x<+∞；表示小于a的全體實數(shù)，或?qū)懗桑?lt;x<a；表示a≤

x<+∞；表示－∞<

x≤a。2023/2/34第四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.鄰域2023/2/35第五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例：2的0.001鄰域為（1.999,2.001）

2的0.001去心鄰域為

(1.999,2)∪(2,2.001)2023/2/36第六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、函數(shù)函數(shù)的概念2023/2/37第七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)注函數(shù)的表示方法有三種:數(shù)學(xué)表達式、列表和圖形。

2023/2/38第八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/39第九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.復(fù)合函數(shù)

設(shè)y是的z函數(shù)：y=f(z)，而z又是x的函數(shù)：z=g(x)。設(shè)D是g(x)的定義域或其一部分。如果對于x在D上取值時所對應(yīng)的z值，函數(shù)y=f(z)是有定義的，將函數(shù)z=g(x)代入函數(shù)y=f(z)得

y=f(g(x))Dg(D)F(g(D))這個函數(shù)叫做由函數(shù)y=f(z)和z=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作f·g。變量z叫做中間變量。函數(shù)f的定義域gf2023/2/310第十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例1.22023/2/311第十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.初等函數(shù)

①

基本初等函數(shù)2023/2/312第十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)②初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

2023/2/313第十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/314第十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二節(jié)數(shù)列的極限無窮多個實數(shù)排成一列a1,a2,a3,…,an,…稱為數(shù)列，記為{an}，其中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一個項，an稱為數(shù)列的通項。1、數(shù)列的極限(1)、定義（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，

3.1415926，…；（2）2，4，8，16，…，2n，…；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，…，1/2n，…；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，…，(-1)n+1/n，…；（5）1，1/2，2/3，3/4，…，(n-1)/n，…；2023/2/315第十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(4)、數(shù)列極限如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的。

如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在著一個正整數(shù)N，使得對于n>N的一切an，有不等式

|an

－a|<ε

稱數(shù)列an以有限數(shù)a為極限，常數(shù)a叫作數(shù)列{an}當(dāng)n→∞時的極限?；蚍Q數(shù)列{an}收斂到a，記作2023/2/316第十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)、單調(diào)數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱單調(diào)數(shù)列。

(3)、有界數(shù)列對于數(shù)列{an}，如果存在正數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項an(n=1,2,3,…)都滿足不等式-M<an<M，稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列。

如果有

，則稱{an}為單調(diào)減少數(shù)列。對于數(shù)列{an}，如果有

，則稱{an}為單調(diào)增加數(shù)列；2023/2/317第十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)證明2023/2/318第十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(5)定理若數(shù)列{an}收斂，那么{an}是有界數(shù)列。注：這個定理反映出處理有關(guān)“無限”問題的一個基本思想：就是將無限轉(zhuǎn)化為有限。2023/2/319第十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、級數(shù)①、定義把用加號連起來的無窮多個數(shù)稱為無窮級數(shù)(簡稱級數(shù))。例2023/2/320第二十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)②、部分和及部分和數(shù)列設(shè)有級數(shù)級數(shù)的部分和為…2023/2/321第二十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/322第二十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例2.2

證明所以因此2023/2/323第二十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、函數(shù)的極限①、當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)的極限如果對于任意給定的ε>0，總存在一個δ>0，0<|x-x0|<δ時，有

|f(x)-A|<ε,則稱當(dāng)x→

x0時函數(shù)f(x)以A為極限。

注：1:ε用來表示f(x)和A的靠近程度，是任意給定的。2:δ用來表示x和x0的靠近程度,選取依賴于ε。2023/2/324第二十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)圖3.2xOy函數(shù)極限的幾何意義：任意給定的ε>0，作直線y=A+ε，y=A-ε,這兩條直線形成一橫條區(qū)域.對于這個ε,存在點x0的一個鄰域(x0-δ，x0+δ)，當(dāng)x∈(x0-δ，x0+δ)但x≠x0時，有不等式：

點（x,f(x)）落在上面所做的一橫條區(qū)域內(nèi)。2023/2/325第二十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/326第二十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/327第二十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)②、當(dāng)x→∞時函數(shù)f(x)的極限2023/2/328第二十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解2023/2/329第二十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

③、極限的四則運算法則當(dāng)x→∞時，性質(zhì)也成立。2023/2/330第三十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)列極限四則運算也有類似的定理:2023/2/331第三十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/332第三十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所以解

注意到2023/2/333第三十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分母的極限不為零。解2023/2/334第三十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4、兩個重要極限2023/2/335第三十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解因此2023/2/336第三十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解2023/2/337第三十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解先用x去除分母及分子，然后取極限.2023/2/338第三十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解2023/2/339第三十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)5、無窮小量和無窮大量

①、無窮小量例如一個函數(shù)當(dāng)

時以0為極限，稱該函數(shù)為當(dāng)

時的無窮小量。2023/2/340第四十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)②.定理③無窮小量階

～2023/2/341第四十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/342第四十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下面是幾個常用的等價無窮?。?/p>

～～～～2023/2/343第四十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)④、無窮大量2023/2/344第四十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/345第四十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三節(jié)連續(xù)1、連續(xù)的定義2023/2/346第四十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/347第四十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)區(qū)間連續(xù)的定義2023/2/348第四十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線。2023/2/349第四十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/350第五十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)。定理初等函數(shù)在定義域上的區(qū)間上連續(xù)。2023/2/351第五十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解2023/2/352第五十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有界。2023/2/353第五十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日最大值和最小值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有最大值和最小值．即：大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/354第五十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/355第五十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/356第五十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)證明

2023/2/357第五十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如果記f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最的大值為M，最小值為m,且m≤c≤M，那么存在一點ξ∈[a,b]使得

f(ξ)=c。2023/2/358第五十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/359第五十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四節(jié)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念

兩個例子

(1)、切線問題設(shè)A點是曲線c上的一點。如何確定曲線c在A點的切線AT呢？2023/2/360第六十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/361第六十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)、瞬時速度

設(shè)物體A沿著一條直線運動，我們用s=s(t)表示t時刻物體A離開初始位置的距離。求A在t0時刻的瞬時速度v(t0)

？2023/2/362第六十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、定義存在，則稱這個極限為函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)或有導(dǎo)數(shù)。(點導(dǎo)數(shù))2023/2/363第六十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如果這個極限不存在，就稱函數(shù)f(x)在x0處不可導(dǎo)。解：2023/2/364第六十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/365第六十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、定義(區(qū)間導(dǎo)數(shù))2023/2/366第六十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)函數(shù)的定義式為2023/2/367第六十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：2023/2/368第六十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則①基本求導(dǎo)公式2023/2/369第六十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)②導(dǎo)數(shù)的四則運算2023/2/370第七十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：解：2023/2/371第七十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：2023/2/372第七十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)③復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則――鏈鎖法則

2023/2/373第七十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù)，根據(jù)鏈鎖法則，有2023/2/374第七十四頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù)，根據(jù)鏈鎖法則，有2023/2/375第七十五頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4、高階導(dǎo)數(shù)

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)

2023/2/376第七十六頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)再求一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)二階是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2023/2/377第七十七頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/2/378第七十八頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第五節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

1.定義設(shè)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，則

稱為函數(shù)

y=f(x)在點x處的微分，記作dy，即：

dy=。

微分的表達式2.定理：可導(dǎo)函數(shù)一定可微，可微函數(shù)一定可導(dǎo)。2023/2/379第七十九頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、微分的幾何意義xyOxAT是曲線y=f(x)上點A處的切線。其中是切線AT和x軸正方向的夾角。當(dāng)自變量從x變到x+dx時，曲線y=f(x)在點A處的切線的改變量是TC=dy。這就是微分的幾何意義。2023/2/380第八十頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：因為所以2023/2/381第八十一頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三、基本微分公式2023/2/382第八十二頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)四、微分的運算2023/2/383第八十三頁，共九十八頁，2022年，8月28日大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)解：用函