定積分的換元法

定積分的換元法第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日先來看一個例子例1換元求不定積分令則故第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日為去掉根號令則當(dāng)x從0連續(xù)地增加到4時，t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3于是嘗試一下直接換元求定積分第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日將上例一般化就得到定積分的換元積分公式由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計算出定積分，而不必回代原積分變量第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、換元公式第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日證第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日計算解1由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積解2故o例2第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日令解4令仍可得到上述結(jié)果解3第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日解令例3計算第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日定積分的換元積分公式也可以反過來使用為方便計將換元公式的左、右兩邊對調(diào)同時把x換成

t，t換成

x這說明可用引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限注第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4計算解第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日例5計算解原式第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例6計算解一令原式第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日解二接解一對令則第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日證第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日即：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義，這個結(jié)論也是比較明顯的第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日例8計算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1）設(shè)（2）設(shè)證第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日另證將上式改寫為奇函數(shù)第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日例10設(shè)f(x)是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明證明與a的值無關(guān)第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例11設(shè)f(x)連續(xù)，常數(shù)a>0證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日例12設(shè)f(x)連續(xù)解第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日定積分的換元法幾個特殊積分、定積分的幾個等式

二、小結(jié)第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考題解令第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考題解答計算中第二步是錯誤的.正確解法是第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日練習(xí)題第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十七頁，20