定點乘法運算定點乘法運算

定點乘法運算定點乘法運算第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日1.串行加法器的優(yōu)劣分析?不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單；?速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時間至少是加法操作的n倍；由于乘法操作大約占全部算術(shù)運算的1/3，故采用高速乘法部件是非常必要的。

2.3.3原碼并行乘法第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日

設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點小數(shù)表示(定點整數(shù)也同樣適用)被乘數(shù)[x]原＝xf.xn－1…x1x0乘數(shù)[y]原＝y(tǒng)f.yn－1…y1y0則乘積[z]原＝(xf⊕yf)＋(0.xn－1…x1x0)(0.yn－1…y1y0)

式中，xf為被乘數(shù)符號，

yf為乘數(shù)符號。2.3.3原碼并行乘法2.乘法的手工算法第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)習慣方法求乘積的運算過程：設(shè)ｘ＝0.1101,ｙ＝0.10110.1101(x)0.1011(y)110111010000+11010.10001111(z)解:(1)乘積符號的運算規(guī)則：同號相乘為正，異號相乘為負。2.3.3原碼并行乘法第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.不帶符號的陣列乘法器設(shè)有兩個不帶符號的二進制整數(shù)

A＝am－1…a1a0,B＝bn－1…b1b0它們的數(shù)值分別為a和b,即：

2.3.3原碼并行乘法m-1a＝∑ai2ii＝0n-1b＝∑bj2jj＝0在二進制乘法中,被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘,產(chǎn)生m＋n位乘積P：

P＝pm＋n－1…p1p0乘積P

的數(shù)值為:第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日am-1am-2···

a1a0

)

bn-1···

b1b0am-1b0am-2b0···

a1b0a0b0am-1b1am-2b1···

a1b1a0b1......+)am-1bn-1am-2bn-1

···a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3···

pn-1···p1p0(1)習慣方法運算過程：2.3.3原碼并行乘法第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)并行乘法器——這種乘法器要實現(xiàn)n位×n位時,需要n(n－1)個全加器和n2個“與”門。2.3.3原碼并行乘法第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日2.3.3原碼并行乘法第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日令Ta為“與門”的傳輸延遲時間，Tf為全加器(FA)的進位傳輸延遲時間，假定用2級“與非”（2T）邏輯來實現(xiàn)FA的進位鏈功能，那么就有：Ta＝Tf＝2T

陣列乘法器延遲時間2.3.3原碼并行乘法第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日BiCi&Ai&Ci+1&&ACiBiCiAiBiACiBiCiAiBiCi+1=++=2TC1C2C32T2T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-1ta＝(n-1)·2T＋3T3T3TCiFASiCi+1AiBi第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日Tm＝Ta＋(n－2)×6T＋3T＋

Tf

＋

(n-2)×Tf+3T＝2T＋(n－2)×6T＋3T

＋2T＋

(n-2)×2T+3T

＝(8n－6)T

最壞情況下延遲途徑,即是沿著矩陣P4垂直線和最下面的一行。因而得n位×n位不帶符號的陣列乘法器總的乘法時間為：第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日[例16]已知兩個不帶符號的二進制整數(shù)

A＝11011,B＝10101,求每一部分乘積項aibj

的值與p9p8……p0的值。2.3.3原碼并行乘法11011=A(2710)

10101=B(2110)11011000001101100000+110111000110111=P第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日[解:]a4b0＝1a3b0＝1a2b0＝0a1b0＝1a0b0＝1a4b1＝0a3b1＝0a2b1＝0a1b1＝0a0b1＝0a4b2＝1a3b2＝1a2b2＝0a1b2＝1a0b2＝0a4b3＝0a3b3＝0a2b3＝0a1b3＝0a0b3＝0a4b4＝1a3b4＝1a2b4＝0a1b4＝1a0b4＝1P＝p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0＝1000110111(56710)2.3.3原碼并行乘法第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日4.帶符號的陣列乘法器(1)對2求補器電路例1：對1010求補。1010——010110110例2：對1011求補。1011——010010101方法（變補）：從數(shù)的最右端a0開始,由右向左,直到找出第一個“1”,例如ai＝1,0≤i≤n。這樣,ai以左的每一個輸入位都求反,即1變0,0變1。2.3.3原碼并行乘法第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日1010011012.3.3原碼并行乘法E=0則ai*=aiE=1則ai*=[ai]變補第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日用這種對2求補器來轉(zhuǎn)換一個(n＋1)位帶符號的數(shù)，所需的總時間延遲為：

tTC＝n·2T＋5T＝(2n＋5)T

其中每個掃描級需2T延遲，而5T則是由于“與”門和“異或”門引起的。延遲時間：2.3.3原碼并行乘法第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)帶符號的陣列乘法器2.3.3原碼并行乘法第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日包括求補級的乘法器又稱為符號求補的陣列乘法器。

在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個求補器:

?兩個算前求補器作用是：將兩個操作數(shù)A和B在被不帶符號的乘法陣列(核心部件)相乘以前，先變成正整數(shù)。

?算后求補器作用則是：當兩個輸入操作數(shù)的符號不一致時，把運算結(jié)果變成帶符號的數(shù)(補碼)結(jié)構(gòu):2.3.3原碼并行乘法第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日設(shè)A=anan-1…a1a0和B=bnbn-1…b1b0均為用定點表示的(n＋1)位帶符號整數(shù)。在必要的求補操作以后，A和B的碼值輸送給n×n位不帶符號的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2n位的乘積:

A·B＝P＝P2n－1…P1P0p2n＝an⊕bn

其中P2n為符號位。運算：2.3.3原碼并行乘法第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日帶求補級的陣列乘法器用于原碼乘法在原碼乘法中，算前求補和算后求補都不需要，因為輸入數(shù)據(jù)都是立即可用的。[例]設(shè)x=+15，y=-13，用帶求補器的原碼陣列乘法求出乘積x*y=？

解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)為原碼：

[x]原=01111

[y]原=11101因符號單獨考慮，所以：|X|=1111，|y|=11012.3.3原碼并行乘法第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日

1111

×

1101

1111

0000

1111

+

1111

11000011符號位運算：01=1

加上乘積符號位1，得：[x*y]原=111000011

換算成二進制數(shù)真值是:X*Y=(-11000011)2=(-195)10

十進制乘法驗證：15*（-13）=-1952.3.3原碼并行乘法第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日帶求補級的陣列乘法器用于補碼乘法需使用求補器。[例]設(shè)x=15，y=-13，用帶求補器的補碼陣列乘法器求出乘積x*y=？并用十進制乘法進行驗證。

解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)用補碼表示：

[x]補=01111

[y]補=10011

乘積符號位運算：X0

Y0=01=1表示乘積為負的。算前求補器輸出為|X|=1111，|y|=11012.3.3原碼并行乘法第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2.3.3原碼并行乘法補碼與真值轉(zhuǎn)換公式:1111

×

1101

1111

0000

1111+

1111

11000011

因乘積為負的，所以算后求補器輸出時應(yīng)按負數(shù)求補碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)椋篬11000011]補=00111101并在最高位加上乘積符號1，最后得補碼的乘積值

：[x*y]補=100111101。利用補碼與真值換算公式，補碼二進制數(shù)真值是X*Y=-1*28+1*25+1*24+1*23+1*22+1*20=(-195)10

十進制數(shù)乘法驗證：X*Y=15*（-13）=-195第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2.3.4補碼并行乘法1.補碼與真值的轉(zhuǎn)換公式補碼乘法因符號位參與運算,可以完成補碼數(shù)的“直接”乘法,而不需要求補級（節(jié)省時間）。這種直接的方法排除了較慢的對2求補操作,因而大大加速了乘法過程。第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日N=an-1=0([N]補為正)an-1=1([N]補為負)現(xiàn)考慮一個定點補碼整數(shù)[N]補＝an－1an－2…a1a0，其中an－1是符號位。根據(jù)[N]補的符號，補碼數(shù)[N]補和真值N的關(guān)系，可以表示成：2.3.4補碼并行乘法第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日將負權(quán)因數(shù)-2n-1強加到符號位an-1上，可以把上述方程組中的兩個位置表達式合并成下面的統(tǒng)一形式：以上兩式是等價的。2.3.4補碼并行乘法第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日[例19]已知:[N]補＝01101,[-N]補＝10011,求[N]補,[-N]補具有的數(shù)值。2.3.4補碼并行乘法[解:][N]補＝01101具有的數(shù)值為：N＝－0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(＋13)10[－N]補＝10011具有的數(shù)值為：－N＝－1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝(-13)10第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日類型邏輯符號操作0類加法器

X

Y

＋)Z

CS

X

Y＋)－Z

C(－S)2類加法器－X

－Y

＋)Z

(－C)S3類加法器－X

－Y

＋)－Z

(－C)(－S)1類加法器這種加法器通過把正權(quán)或負權(quán)加到輸入/輸出端，可以歸納出四類加法單元。2.一般化的全加器形式第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日對0類、3類全加器而言有：

S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋YZ＋ZX0類加法器

X

Y

＋)Z

CS3類加法器－X

－Y

＋)－Z

(－C)(－S)一位全加器真值表輸入輸出XiYiZiSiCi＋10000000110010100110110010101011100111111四類全加器的邏輯方程式第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日

X

Y＋)－Z

C(－S)2類加法器－X

－Y

＋)Z

(－C)S1類加法器對1類、2類全加器,則有

S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋XZ＋YZ第三十頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.直接補碼陣列乘法器利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補碼數(shù)陣列乘法器。設(shè)被乘數(shù)A和乘數(shù)B是兩個5位二進制補碼