高數(shù)下冊復(fù)習(xí)資料

yy高等數(shù)學(xué)（一）教案第七章常微分方程．基概念：通解，特解，初始件．可離變量的微分方程．齊方程（簡單類型）．一線性方程：公式法（掌握換自變量與因變量類型）．二常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程法求通解．二常系數(shù)非齊次線性微分方（非齊次特解與齊次通解關(guān)系正確的設(shè)出特解）第八章向量與解析幾何向代

期末總復(fù)習(xí)定義

定義與運算的幾何表達

在直角坐標系下的表示向量

有大小、有方向記

a

或

AB

aij)xyxyprjaprjaaprjz模

向量的記作

a

x

2

y

2

z

2和差

,a,ayyzz

cc單位向量

，則

e

aa

a

(,aa)xya2x方向余弦

設(shè)ax,軸夾角分別為則方向余弦分別為

ax，cos，cosacosa

aza

2

2

2

點（數(shù)量積）

abcos角

，

為向量的

bbxy

叉（向量積）

c向與b的夾角向量與a，都垂直

iab

jab

kab垂直平行

定與式ba//bab

abbabxzaaaa//bxbbxy交角余弦

兩向量夾角余弦

cos

b

cos

a

x

ababaxy2bzx

2

z

2-2-bb20切“線”方程：高等數(shù)學(xué)（一）教案投影

向量a在零向量上投影acos(abb

prjab

期末總復(fù)習(xí)ababaxxyzzb2b2bxyz平面

直線法向量

{A}

點

(x000

方向向量

mn,p}

點

xy0方程名稱一般式點法式

方程形式及特征By0A((y(000

方程名稱一般式點向式

方程形式及特征BCzD0BCz0y000m三點式

x1x23

123

z1z21z31

參數(shù)式

mt0nt0zpt0截距式面面垂直面面平行線面垂直

xyabcC0211BC111BC2ACm點面距離

兩點式線線垂直線線平行線面平行

z0y1010mnp0121np11p2Am0面面距離xy0

AxCz0

AxByDAxBy012d

Ax0B2

DD122面面夾角n{A,C}n{,,C}11222

線線夾角}np}1122

線面夾角,,p},C}cos

|AB|112A

pp1221m22m22112

sin

Amm

p

空

，)，z)，

切向量T,0

),0

0

x切“線”方程：)0法平“面”方程：

yy0)0

z0)0間曲

x))()000線：

y))

切向量T(1,

xxyz))法平“面”方程：(x(y))()000-3-2、多元函數(shù)：，圖形：2、多元函數(shù)：，圖形：高等數(shù)學(xué)（一）教案

期末總復(fù)習(xí)切平“面”方程：空間曲面

(,y)

法向量F(xy,),x0F(xy,),y0F(xy,)z0f(x,y),f(x),1)0

Fy,z)(xx)(xz)()x0000(,,z)x0法“線“方程：xz0F(xy)F(,z)F(x,)x0y000切平“面”方程：f(xy)(x)f(,yy))f(x,)

或f(,y),xf(,y),y

法“線“方程：xyf(xy)f(,)xy0

第九章

多元函微分法及其用（一）基本概念1、距，鄰域，內(nèi)點，外點邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。zf(,y)

limf,yA極限：(x,)(x)0lim(x)f(x,連續(xù)：(,)(x,y偏導(dǎo)數(shù)：f(xy)00f(x,y)lim000

f(y)(xy)00fxyf(x,y)0006、

全微分：設(shè)

f(x,y)

，則

d

dd（二）性質(zhì)1、函可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：1

2偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

函數(shù)可微

偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件定義

2

必要條件43函數(shù)連續(xù)-4-，，，2）(y)在條件下的極值t000，，，2）(y)在條件下的極值t000000高等數(shù)學(xué)（一）教案

期末總復(fù)習(xí)

閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法若

定義：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈式法則f(u,ux),x

，則

u

3）隱數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)然后解方程（組）（三）應(yīng)用

vy1、極1）無件極值：求函數(shù)

f(x,y)

的極值解方程組

fxfy

求出所有駐點，對于每一個駐點

,)00

，令A(yù)(xB()C(,y)xxxy00

，①若

，A函數(shù)有極小值，若

B

，A，函數(shù)有極大值；②若

，函數(shù)沒有極值；③若2，定條件極值：求函數(shù)L(y)f(x,y)令：

(xy)(x,———函解方程組

,y)2、1）

幾何應(yīng)用曲線的切線與法平面

x()曲線

:y()(t)

，則

上一點

M(x,z)00

（對應(yīng)參數(shù)為）處的0yy0切線方程為：x)z)00xxx))(yy)z)(zz)法平面方程為：2）

曲面的切平面與法線-5-bdDbdD高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)曲面F(x,)，上點(xyz)處切平面方程：00F(x,y)()()(y(,)(z)000000z00積類

法線方程為：

z00x(zx,yz00第十章重積分重分計方典例（1—型—型

f(,y)dxdyf(x,)

a

(x)(x)(y)

f(,yf(x,)dx

課上的例題及課后作業(yè)二重積分ID

D（2）利用使用原則

y)(1)積區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表(含圓,直線段)；平面薄片的質(zhì)

(2)被函數(shù)用極坐標變量表示較簡(含

x

2

2)

,為數(shù)量質(zhì)量面密度

面積

D

f(cos

sin

(

（3）利用當關(guān)y軸稱時于x軸對稱時，有類似結(jié)論）0I

fx)于x是f()f(x,y)f(x)dxdy(x,y)于

應(yīng)用該性質(zhì)更方便

()(y)D1．畫積分區(qū)域．選坐標系標：域邊界應(yīng)盡量多為坐標軸，被積函數(shù)-6-(高等數(shù)學(xué)（一）教案關(guān)于坐標變量易分離．確積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙．確積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域．計要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性

期末總復(fù)習(xí)

截面法投

fxy,zV

dx

y(x)

dy

z(x,)

fx,yz

y()

z,)（2

rrz三積I

相當于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標轉(zhuǎn)換成極坐標

f(,y,z

適范:eq\o\ac(○,1)積區(qū)表面用面坐標表示方程單；轉(zhuǎn)f(2y)(x2eq\o\ac(○,2)被函用柱面標表示變量分.如

f(x,,V

z

r(

f(

cos

sin

z)

空間立體物的

r(質(zhì)量質(zhì)量=密度

（3

sinzr面積

rdrd適范:eq\o\ac(○,1)積域面用球面坐標表示時方簡;如，球體錐.eq\o\ac(○,2)被函用球面標表示變量分.如

f(

2y22

I

f(（4-7-If(x,y())If(x,y())1')dx應(yīng)：I高等數(shù)學(xué)（一）教案積分類型第類線分Iyds曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線度弧長

第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分計算方法參法轉(zhuǎn)化為定積分）（）LIftt))()())b（）L:()(（）r((L:r

期末總復(fù)習(xí)典型例題I

f(r(

rsin

r

('

(（1數(shù)（化為定積分）L:

)

(t

L

Pd(t)](),平第類線積

（）用林式轉(zhuǎn)化為二重積分）條：L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）②，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)：Pdx(dxdyLDI

QdyL

（）用徑關(guān)理特殊路徑法）變力沿曲線所做的功

等價條件：①

②

③

PdxQdy與徑無關(guān)，與起點、終點有關(guān)L④Pdx具原函數(shù)

(xy（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（）類線分聯(lián)I

(Pcos空第類線積

L（）數(shù)（化為定積分）Rdz(t)][tt)][ttt)]（）用托斯式轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）L條件：L封，分段光滑，有向②，，具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)變力沿曲線所做的功

結(jié)：

L

PdxQdyRdz())dxdy-8-高等數(shù)學(xué)（一）教案

期末總復(fù)習(xí)第類面分

應(yīng)：輔助投法I

f(xdv

z(x,)

投影到xoy曲面薄片的質(zhì)量

I

f(xy

f(y(,y))x

y

dxdy質(zhì)量=面度面積

D類似的還有投影到y(tǒng)oz面面公式（）影eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)

((y),z

：

Dx,)，

為

的法向量與

x

軸的夾角前側(cè)取“

；后側(cè)取“

第類面分

eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)

Qdzdx

(y(z),zD：y(xz)，為法向量與軸夾角I

右側(cè)取“；側(cè)取“cos3

流體流向曲面一側(cè)的流量

D：x(y,z，為的法向量與x的夾角上側(cè)取“；側(cè)取“（）斯式右手法則取定

的側(cè)條：封，片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)②，，具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)：

PdydzRdxdy

(

)接應(yīng)應(yīng)：（）類面分間聯(lián)

轉(zhuǎn)投法

)

)所有類型的積分：eq\o\ac(○,1)義：四步法——分割、代替、求和、取極限；

性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；對坐標的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章級數(shù)-9-級數(shù)ulimla級數(shù)ulimla高等數(shù)學(xué)（一）教案

期末總復(fù)習(xí)eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)若級數(shù)收斂各項同乘同一常數(shù)仍收斂eq\o\ac(○,2)個收斂級數(shù)的和差仍收斂注：一斂、一散之和發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散用收斂定義lim

存在

eq\o\ac(○,3)掉、加上或改變級數(shù)有限項改變其收斂性一般項

常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,)若級數(shù)收對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。推果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散原來級數(shù)級

也發(fā)散

注：斂級數(shù)去括號后未必