《理論力學(xué)》第十四章達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)

第16章

達(dá)朗伯(D′Alembert)原理※

引言※

幾個(gè)工程實(shí)際問題※

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理※

質(zhì)點(diǎn)的慣性力與動(dòng)靜法※

剛體慣性力系的簡(jiǎn)化※

結(jié)論與討論※

動(dòng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)反力

引言

引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn)動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)問題——達(dá)朗伯原理（動(dòng)靜法）。

達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方法。

達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動(dòng)應(yīng)力。

幾個(gè)工程實(shí)際問題爆破時(shí)煙囪怎樣倒塌

幾個(gè)工程實(shí)際問題

幾個(gè)工程實(shí)際問題sFIFNFmaxzyOmAFN——約束力；F——主動(dòng)力；§16-1慣性力·質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理根據(jù)牛頓定律ma＝F+FNF+FN－ma＝0FI

＝－maF+FN

＋

FI

＝0FI——質(zhì)點(diǎn)的慣性力。

非自由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理

作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和約束力與假想施加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力，形式上組成平衡力系。FI

＝－maF+FN

＋

FI＝0應(yīng)用達(dá)朗伯原理求解非自由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)約束力的方法動(dòng)靜法1、分析質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力和約束力；2、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，確定加速度；3、在質(zhì)點(diǎn)上施加與加速度方向相反的慣性力。非自由質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗貝爾原理的投影形式BACllllO1x1y1例題1離心調(diào)速器已知：m1－球A、B的質(zhì)量；m2－重錘C的質(zhì)量；l－桿件的長(zhǎng)度；－O1y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。求：－的關(guān)系。解：1、分析受力：以球

B(或A)和重錘C為研究對(duì)象，分析所受的主動(dòng)力和約束力BFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′2、分析運(yùn)動(dòng)：施加慣性力。球繞O1y1軸作等速圓周運(yùn)動(dòng)，慣性力方向與法向加速度方向相反，其值為FI＝m1l2sin重錘靜止，無慣性力。FIBFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′FI3、應(yīng)用動(dòng)靜法：對(duì)于重錘C對(duì)于球B例題2平衡位置Oyy＝asint

求：顆粒脫離臺(tái)面的最小振動(dòng)頻率振動(dòng)篩平衡位置OyymamgFNFI

解：通過分析受力、分析運(yùn)動(dòng)并施加慣性力，確定顆粒脫離臺(tái)面的位置和條件。FI＝ma2sint顆粒脫離臺(tái)面的條件FN＝0，

sint＝1時(shí)，最小。應(yīng)用動(dòng)靜法(a)當(dāng)其在平衡位置的上方平衡位置OyymamgFNFI

(b)當(dāng)其在平衡位置的下方

解：通過分析受力、分析運(yùn)動(dòng)并施加慣性力，確定顆粒脫離臺(tái)面的位置和條件。應(yīng)用動(dòng)靜法顆粒在平衡位置以下時(shí)不會(huì)脫離臺(tái)面?！?6-2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力系質(zhì)點(diǎn)系的約束力系質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用達(dá)朗伯原理，由動(dòng)靜法得到ABxFAxACBFTmg例題3已知：m

，l，，求：BC

繩的張力及A處約束反力。解：取AB桿為研究對(duì)象dFIFI

分析AB桿的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算慣性力FAyABxFAxACBFTmgdFIFIFAyOxyFIidFTFTOR例題4已知：m

，R，。求：輪緣橫截面的張力。解：取上半部分輪緣為研究對(duì)象剛體慣性力系特點(diǎn)

剛體慣性力的分布與剛體的質(zhì)量分布以及剛體上各點(diǎn)的絕對(duì)加速度有關(guān)。FIi＝－miai

對(duì)于平面問題(或者可以簡(jiǎn)化為平面問題)，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。

對(duì)于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間一般力系。§16-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

慣性力系的主矢

慣性力系的主矢等于剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。這一簡(jiǎn)化結(jié)果與運(yùn)動(dòng)形式無關(guān)。

慣性力系的主矩－慣性力系的主矩與剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2FIR1、剛體作平動(dòng)剛體平移時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為通過剛體質(zhì)心的合力。O2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)OCCmiMIOOMIO

當(dāng)剛體有對(duì)稱平面且繞垂直于對(duì)稱平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個(gè)力偶的矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。OCMICOMIO3、剛體作平面運(yùn)動(dòng)

具有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體作平面運(yùn)動(dòng)，并且運(yùn)動(dòng)平面與質(zhì)量對(duì)稱平面互相平行。對(duì)于這種情形，先將剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)簡(jiǎn)化，得到這一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對(duì)平面慣性力系作進(jìn)一步簡(jiǎn)化。CaCMIC例題5已知：m,h,,l。求：A、D處約束反力。mgFNFAxFAyFIBDCA解：取AB

桿為研究對(duì)象BADah其中：mgFNFAxFAyFIBDCA其中：CDahbCmgFFI例題6已知：m,h,a,b,f。求：為了安全運(yùn)送貨物，小車的amax。解：取小車桿為研究對(duì)象FNd貨物不滑的條件：F≤fFN，a

≤fg貨物不翻的條件：d≤b/2

，a

≤bg/h為了安全運(yùn)送貨物，應(yīng)取兩者中的小者作為小車的amax。OrlAB例題7已知：AB桿質(zhì)量為m

,長(zhǎng)為l=2r,

求：A端的約束反力。圓盤半徑為r,角速度為，角加速度為。解：取AB桿為研究對(duì)象FAxFAymgABCOMIOMA（1）分析運(yùn)動(dòng)，施加慣性力。FAxFAymgABCOMIOMAFAxFAymgABCMAMIC（2）將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化。ABCMlMAC例題8已知：A物體與輪C的質(zhì)量求：

（1）A

物體上升的加速度；（2）B

端的約束反力。均為m，BC桿的質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為l，在輪C上作用一主動(dòng)力偶M。解：（1）取A物體與輪C為研究對(duì)象mgmgFIAMICFCxFCy其中：MACmgmgFIAMICFCxFCy其中：（2）取BC

桿為研究對(duì)象BCFCx'FCy'MBFBxFBym1g例題9已知：兩均質(zhì)直桿自水平位置無初速地釋放。求：兩桿的角加速度和

O、A處的約束反力。解:(1)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12(2)取AB桿為研究對(duì)象MI2mgFI2FAyFAxBA2(2)取AB桿為研究對(duì)象MI2mgFI2FAyFAxBA2

(3)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12例題10質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)度分別為l和2l

的勻質(zhì)細(xì)桿OA和AB在A點(diǎn)光滑鉸接，OA桿的A端為光滑固定鉸鏈，AB桿的B端放在光滑水平面上。初瞬時(shí)，OA桿水平，AB桿鉛直。由于初位移的微小擾動(dòng)，AB桿的B端無初速地向右滑動(dòng)，試求當(dāng)OA桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，A點(diǎn)處的約束反力。ABO解:(1)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理得：FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′(2)

取OA

桿為研究對(duì)象(3)

取AB桿為研究對(duì)象FAyMICABC2OAAB21(4)

對(duì)AB桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究B點(diǎn)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究C點(diǎn)FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′(2)

取OA桿為研究對(duì)象(3)

取AB桿為研究對(duì)象FAyMICFAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAy′FAx′FAy解得：MIC§16-4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)反力mmABABmmFI1FI1＝FI2FI1>FI2FRAFRB理想狀態(tài)FI2偏心狀態(tài)FI1FI2ABmmABmmFRBFRAFRAFRB偏角狀態(tài)既偏心又偏角狀態(tài)FI1FI2FI2FI1yxzOrimiriFIiFIRMIO一般狀態(tài)yxzOrimiriFIiFIRMIOyxzOrimiriFIiFIRMIOAByxzOFAxFAyFBxFByFBzFIRMIOFRMOAByxzOFAxFAyFBxFByFBzFIRMIOFRMO根據(jù)達(dá)朗伯原理，可列寫下列六個(gè)方程：由此可求得軸承動(dòng)反力動(dòng)反力→由主動(dòng)力引起的靜反力+慣性力引起的附加動(dòng)反力要使附加動(dòng)反力等于零，必須有：要使附加動(dòng)反力等于零，必須有：結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的條件是：轉(zhuǎn)軸通過剛體的質(zhì)心，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的條件是：剛體轉(zhuǎn)軸應(yīng)為剛體的中心慣性主軸。通過質(zhì)心的慣性主軸，稱為中心慣性主軸。

結(jié)論與討論

引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn)動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)問題——達(dá)朗伯原理。

達(dá)朗伯原理與動(dòng)靜法為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方法。

達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動(dòng)應(yīng)力。

質(zhì)點(diǎn)的慣性力定義為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，并冠以負(fù)號(hào)，即

質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理：質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和慣性力在形式上組成平衡力系，有

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理：在質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上都假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力，則作用于各質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性力在形式上組成平衡力系，有FI

＝－maF+FN

＋

FI＝0Fi

+FNi

＋