彈性力學(xué)平面問題有限元法

張洪偉第3章彈性力學(xué)平面問題的有限元方法平面問題的定義平面問題的有限元法12內(nèi)容提要3相關(guān)問題的探討平面問題彈性體在滿足一定條件時，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)力問題很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。平面應(yīng)變問題很長的柱形體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。連續(xù)體彈性問題的有限元法一個簡單的平面問題：p材料：低碳鋼體力：重力（密度）面力：p=1N/mm2厚度：t等腰直角三角形腰長:l=20mm求：頂點處的位移？平面問題的有限元求解過程幾何離散：三角形單元或四邊形單元三角形單元——平面問題中最簡單的單元單元特征分析構(gòu)造位移函數(shù)單元應(yīng)變能單元外力功（單元等效節(jié)點力）單元集成：系統(tǒng)的總勢能變分處理：系統(tǒng)的平衡方程（組）應(yīng)用位移邊界條件求出節(jié)點位移由節(jié)點位移求出單元的應(yīng)變、應(yīng)力Step1.幾何離散——采用3節(jié)點三角形單元整體節(jié)點位移列陣p體力：重力（密度）厚度：t表面力單位體積力整體等效節(jié)點力列陣Step2.單元分析——構(gòu)造單元位移函數(shù)位移函數(shù)（模式）是指單元內(nèi)位移分布狀態(tài)，事先并不知道，合理選擇一種函數(shù)來逼近這種分布是有限元分析計算過程中關(guān)鍵性的一環(huán)。在實際應(yīng)用中普遍采用的是多項式函數(shù)，這是因為多項式函數(shù)的數(shù)學(xué)運算（微分和積分）比較方便，而且所有光滑函數(shù)的局部都可以用多項式來逼近。關(guān)于多項式的項數(shù)和階次，要根據(jù)單元的節(jié)點自由度數(shù)和有關(guān)解的收斂性要求來確定。對于平面問題，位移函數(shù)如下：構(gòu)造位移函數(shù)：對u利用節(jié)點條件：ijm編號對應(yīng)關(guān)系：

(局部整體)先采用局部編號，最后換成整體A:三角形面積同理可得：因此：N—單元形狀函數(shù)矩陣

qe—單元節(jié)點位移矩陣應(yīng)變矩陣Step2.單元分析——應(yīng)變常應(yīng)變平面應(yīng)力：Step2.單元分析——應(yīng)力應(yīng)力矩陣平面應(yīng)變：用平面應(yīng)變彈性矩陣代入得到類似結(jié)果。常應(yīng)力單元單元應(yīng)變能：Step3.單元分析——單元勢能單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元等效節(jié)點力列陣單元外力功：擴充疊加擴充疊加Step4.單元集成——系統(tǒng)勢能構(gòu)建的泛函總位能為關(guān)于單元剛度矩陣的擴充疊加mijmij單元編號

m<i<j關(guān)于單元等效節(jié)點載荷列陣的擴充疊加mij單元編號

m<i<jStep5.變分處理Step6:處理位移邊界條件并求解Step7:計算每個單元的應(yīng)變及應(yīng)力關(guān)于三角形單元3節(jié)點三角形單元是常應(yīng)變（常應(yīng)力）單元。在應(yīng)變梯度較大的部位（亦即應(yīng)力梯度較大的部位），單元劃分應(yīng)適當(dāng)密集，否則不能反映真實的應(yīng)變變化而導(dǎo)致較大的誤差。提高計算精度的其它措施采用高精度三角形單元（2次單元、3次單元…）采用四邊形單元（1次單元、2次單元…）作業(yè)1：板寬孔邊應(yīng)力集中問題通過數(shù)值方法研究不同板寬下孔邊集中問題，與彈性力學(xué)解析解進行比較。定義一個描述板寬與孔徑的相對尺度的系數(shù)，如變化板寬度，相應(yīng)變化相對系數(shù)，進行數(shù)值求解基于ANSYS進行參數(shù)化處理定義應(yīng)力集中系數(shù)研究相對系數(shù)與應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系，給出圖表對比不同網(wǎng)格密度下結(jié)果已知平面矩形結(jié)構(gòu)，邊長為1，E=2，t=1，NU=0.3,約束及外載形式如圖所示。假定劃分為兩個單元。作業(yè)2：利用matlab編制三角形單元程序，計算下圖中的單元及整體剛度矩陣，位移等理論解：3000粗糙網(wǎng)格：2721細(xì)密網(wǎng)格：29824節(jié)點四邊形單元構(gòu)造位移函數(shù)：對u,v分別利用節(jié)點條件：對于一般四邊形，逆矩陣的表達(dá)式比較復(fù)雜。N—單元形狀函數(shù)矩陣

qe—單元節(jié)點位移矩陣特例：4節(jié)點矩形單元矩形單元的重心坐標(biāo)假定采用無量綱坐標(biāo)單元4個節(jié)點的幾何位置則單元的形函數(shù)可寫為：單元的應(yīng)變場表達(dá)為：應(yīng)變矩陣為：單元應(yīng)力場矩陣為：單元勢能為：單元剛度矩陣為：其中t為平面的厚度其中分塊矩陣為單剛為單元節(jié)點載荷矩陣為具體表達(dá)式為由單元的位移表達(dá)式可知，4節(jié)點矩形單元的位移在x，y方向呈線性變化，所以稱為雙線性位移模式，正因為在單元的邊界x=±a和y=±b上，位移是按線性變化的，且相鄰單元公共節(jié)點上有共同的節(jié)點位移值，可保證兩個相鄰單元在其公共邊界上的位移是連續(xù)的，這種單元的位移模式是完備(completeness)和協(xié)調(diào)(compatibility)的，它的應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化，因而比3節(jié)點常應(yīng)變單元精度。對于一般的四邊形單元，在總體坐標(biāo)系下構(gòu)造位移插值函數(shù)，則計算形狀函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷列陣時十分冗繁；而對于矩形單元，相應(yīng)的計算要簡單的多。矩形單元明顯的缺點是不能很好的符合曲線邊界，因此可以采用矩形單元和三角形單元混合使用。更為一般的方法是通過等參變換將局部自然坐標(biāo)系內(nèi)的規(guī)格化矩形單元變換為總體坐標(biāo)系內(nèi)的任意四邊形單元（包括高次曲邊四邊形單元）?？紤]一細(xì)長懸臂梁，研究三種單元（梁、平面三角形、平面四邊形單元）的性能。北京石油化工學(xué)院不同單元類型的對比，比較關(guān)鍵點的撓度不同網(wǎng)格密度的對比，比較關(guān)鍵點的撓度如果改變梁長度，使其長高比小于10編程作業(yè)：分別編制3節(jié)點三角形單元和4節(jié)點矩形單元的MATLAB計算。單元剛度矩陣的特點對稱：1D:2D:3D:彈性矩陣D的對稱性決定奇異：經(jīng)行變換出現(xiàn)零行或列變換出現(xiàn)零列主元恒正：位移和作