微分中值定理

1第4章微分中值定理

與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§4.1微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理Page2中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣Page3一、羅爾(Rolle)定理費馬(fermat)引理且存在證:

設(shè)則證畢Page4羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點Page5若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)則至少存在一點使注意:1)定理條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費馬引理得Page6使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點證明提示:

設(shè)證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.Page7例1.證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)Page8求證存在使例2.設(shè)可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設(shè)輔助函數(shù)使得Page9二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢Page10拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則Page11例3.證明等式證:

設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上Page12例4.證明不等式證:

設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有Page13設(shè)證明對任意有證：例5.不妨設(shè)Page14三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:要證Page15證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.Page16柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率Page17例6.設(shè)至少存在一點使證:

結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明Page18例7.試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:Page19例7.試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在Page20內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:

利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費馬引理Page21思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設(shè)有個根,它們分別在區(qū)間上.方程Page222.

設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)Page233.

若可導(dǎo),試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.Page244.思考:在即當時問是否可由此得出不能!因為是依賴于x

的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示x

從右側(cè)以任意方式趨于0.應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)Page25費馬(1601–1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:1994年由英國數(shù)學(xué)家證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.Page26拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.Page27柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編