數(shù)字信號處理第六章

第六章無限脈沖數(shù)字濾波器的設(shè)計§6.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的基本概念§6.2模擬濾波器設(shè)計§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器§6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器§6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計

數(shù)字信號處理§6.1

數(shù)字濾波器的基本概念一、什么是數(shù)字濾波器？

是指輸入、輸出都是數(shù)字信號，通過一定的運(yùn)算關(guān)系(通常是指一種算法，或指一種數(shù)字式處理設(shè)備)改變輸入信號所含頻率成份的比例或濾除某些頻率的器件。1.精度高2.穩(wěn)定好3.體積小4.靈活性5.重量輕6.不要求阻抗匹配優(yōu)點：還可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能二、

數(shù)字濾波器分類現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器

維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等，按照隨機(jī)信號內(nèi)部的一些統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號。功能低通高通帶通帶阻理想濾波器不可能實現(xiàn)，因為其單位脈沖響應(yīng)均是非因果且是無限長，可作為逼近標(biāo)準(zhǔn)。輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的|H

(ejω)|-ππ2π-2π低通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π高通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π帶通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π帶阻ω理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性(1)按照任務(wù)要求，確定濾波器的性能；(2)用一個因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；(3)利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，選擇合適字長以及有效數(shù)字的處理方法(舍入、結(jié)尾)等。三、

實現(xiàn)步驟：有限脈沖響應(yīng)FIR運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無限脈沖響應(yīng)IIRN階N－1階(4)

實現(xiàn)，包括采用通用計算機(jī)軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件，或者采用專用或通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)。四、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)與要求:

相頻特性，反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)::

幅頻特性，表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減通帶內(nèi)允許的最大衰減用ap表示:阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示:將

歸一化為1，低通濾波器的技術(shù)要求：通帶阻帶過渡帶cs0.707低通濾波器的技術(shù)要求ω

p：通帶截止頻率ω

c：3dB截止頻率ω

s：阻帶截止頻率五、數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述(1)借助模擬濾波器的設(shè)計方法，先設(shè)計出模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將傳輸函數(shù)按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(2)另一類是直接在頻域或者時域進(jìn)行設(shè)計的，由于要解聯(lián)立方程，需要計算機(jī)做輔助設(shè)計。2.FIR濾波器不能采用由模擬濾波器的設(shè)計進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，經(jīng)常用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。

模擬濾波器設(shè)計方法已經(jīng)很成熟1.IIR濾波器設(shè)計法兩類：§6.2模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器設(shè)計技術(shù)成熟，有相當(dāng)簡便的公式和圖表，有幾種典型的模擬濾波器，如Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器、橢圓濾波器、Bessel濾波器等，可以依照不同要求和指標(biāo)進(jìn)行選擇。

低通帶阻高通帶通各種理想濾波器的幅頻特性一、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有：如果處幅度已歸一化到1，即對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示低通濾波器的幅度特性0.7071：為通帶截止頻率：為阻帶截止頻率：為3dB截止頻率則：給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo):需要設(shè)計一個低通濾波器，其傳輸函數(shù)Ha(s)的幅度平方函數(shù)，滿足給定的指標(biāo)ap

和as。注意：Ha(s)必須是穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的

左半平面

，相應(yīng)的Ha(-s)的極點落在右半平面。由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)：如果能由，求出就很容易得到所需要的一般濾波器的沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此有：N=3巴特沃斯低通濾波器極點分布jΩσ0巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：10將幅度平方函數(shù)寫成s

的函數(shù)取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系幅度平方函數(shù)有2N個極點：k=0,1,2,…,(2N-1)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法取左半平面3個極點組成Ha(s)例：設(shè)N=3,6個極點：采用3dB截止頻率對歸一化，有：式中:令λ＝Ω/Ωc—歸一化頻率為歸一化極點:歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為：令p＝j(luò)

λ

—歸一化復(fù)變量:設(shè)計步驟：根據(jù)指標(biāo)

N

p

k

Ha

(p)去歸一化

H

a

(s)

的富裕量:階數(shù)N的確定(N決定幅度特性下降速度):N由參量確定:低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo),求出濾波器的階數(shù)Nk=0,1,2,…,N-1(2)求出歸一化極點，得到歸一化傳輸函數(shù)(3)將去歸一化。將代入，得實際濾波器傳輸函數(shù)。ButterworthAF的特點：(1)Ω=0時，無衰減(2)N越大，通帶內(nèi)起伏越小，阻帶內(nèi)衰減越快，最平的幅頻響應(yīng)濾波器。都是單調(diào)函數(shù)；(3)3dB不變特性。例1書P158例6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)可查表得到見書表6.2.1ChebyshevⅠ型（通帶等波紋）（N奇數(shù)）對的歸一化頻率或可以解決Butterworth濾波器的通、阻帶內(nèi)衰減不均勻的現(xiàn)象，進(jìn)而降低NN為奇數(shù)時（N偶數(shù)）N為偶數(shù)時三、Chebyshev濾波器得極點：由其中╳╳╳╳╳╳選左半平面諸極點，得歸一化的傳輸函數(shù)：去歸一化以后的傳輸函數(shù)為:這些極點s位于橢圓圓周上

(1)

確定技術(shù)要求sαs

、αp、p、(2)

求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε切比雪夫I型濾波器設(shè)計步驟：其中(3)

求歸一化傳輸函數(shù)Ha

(p)

(4)

將Ha

(p)去歸一化，得到實際的Ha

(s)

fp=1000,fs=1200,3dB,60dB切比雪夫濾波器的特點:通帶內(nèi)等波紋起伏,起伏頻率與階數(shù)有關(guān),起伏快慢大小與頻率有關(guān);過渡帶和阻帶單調(diào)衰減;N為偶數(shù)和奇數(shù)時,直流處響應(yīng)大小不同;三、模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計低通濾波器其它濾波器頻率變換關(guān)系1、模擬高通濾波器設(shè)計低通濾波器幅度特性高通濾波器幅度特性高通、帶通帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)

低通濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器G

(p)高通、帶通帶阻濾波器

H(s)頻率變換頻率變換高通濾波器設(shè)計例題見書例題6.2.3轉(zhuǎn)換關(guān)系：例：設(shè)計高通濾波器，fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp

處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減為15dB。解：

1.高通技術(shù)指標(biāo)為：fp=200Hz

，ap=3dBfs=200Hz，

as=15dB歸一化頻率：2.低通技術(shù)指標(biāo)為：3.設(shè)計歸一化低通G(p)4.確定模擬高通H(s)2、模擬帶通濾波器設(shè)計例題書6.2.4及6.2.5作業(yè)：6.1、6.33、模擬帶阻濾波器設(shè)計§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器連續(xù)時間域(s平面)離散時間域(z平面)模擬濾波器(AF)

數(shù)字濾波器(

DF

)方法：按照技術(shù)要求設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將Ha(s)變換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

——IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。2、把傳輸函數(shù)Ha(s)從s平面變換到z

平面H(z):1、把DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為AF的指標(biāo)參數(shù)設(shè)計出AF映射Mapping映射方法有：(1)脈沖響應(yīng)不變法;(2)

階躍響應(yīng)不變法;(3)

雙線性變換法等。映射必須滿足的條件：(1)因果穩(wěn)定AF，轉(zhuǎn)換成DF，仍是因果穩(wěn)定的.(s:左半平面z:單位圓內(nèi))S平面的虛軸z平面的單位圓(頻率之間成線性關(guān)系)(2)

DF的頻響模仿AF的頻響特性

一、原理：讓DF的脈沖響應(yīng)h(n)去模仿AF的ha(t)假設(shè)模擬濾波器傳輸函數(shù)：對上式進(jìn)行Z變換求得系統(tǒng)函數(shù)：不過，s、z整個平面并非都這樣很好對應(yīng)(后面例題中零點就不一一對應(yīng))S平面的極點

s=skz平面的極點Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)相同

Ak

。特點：令采樣H

(z)即數(shù)字濾波器和模擬濾波器兩者頻響之間的關(guān)系式二、L變換和z變換關(guān)系：又因為:將代入上式得:采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的z變換之間的映射關(guān)系為：由因因此有（虛軸）r=1(單位圓)（左半平面）r<1(單位圓內(nèi))s=0(原點A)z=1(單位圓上A)(平行線)(射線)(帶條)(整個z平面)映射關(guān)系：z平面01z=-1?A注意是周期函數(shù)?00S平面?A1.DF和AF兩者頻響間關(guān)系式中的注意點：直接映射但并非

而是映射①雖然(DF增益不再隨T而變)脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象②

DF的頻響不是簡單地復(fù)現(xiàn)AF頻響，而是AF頻響的周期延拓。因此只有AF頻響限于折疊頻率之內(nèi)，DF的頻響才能不失真地復(fù)現(xiàn)AF頻響。③實際上由于T

很小，為不使DF增益過大，修改如下如果

沒有頻率混疊現(xiàn)象由公式得：例1：解：零點零點(不一一對應(yīng))

s平面極點

z平面極點對應(yīng)例2書例題6.3.1，書P173若Ha(s)的極點以復(fù)數(shù)共軛對出現(xiàn)時，形成一個二階基本節(jié)(1)若二階基本節(jié)為(一階零點)形式，則數(shù)字濾波器的二階基本節(jié)為：(2)若二階基本節(jié)為

(無零點)形式，則數(shù)字濾波器的二階基本節(jié)為：注意：【1】T的選取影響對數(shù)字濾波器的特性的影響？【2】數(shù)字濾波器在附近產(chǎn)生的失真？(2)

設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)；(3)將Ha(s)分解成單極點的部分分式之和,然后按照一階模擬系統(tǒng)和一階數(shù)字系統(tǒng)的映射完成Ha(s)H

(z)。優(yōu)點:

頻率關(guān)系保持標(biāo)準(zhǔn)線性關(guān)系,低頻段數(shù)字濾波器與模擬濾波器幾乎完全一致。而且時域逼近特性很好;缺點:不存在s到z的直接有理影射關(guān)系式，需要對H(s)分解；高頻段存在混疊失真；不能設(shè)計高通和帶阻濾波器。(1)利用公式:

將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬指標(biāo)；2.脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計步驟：

原則上只能適用帶限信號3.脈沖響應(yīng)不變法的特點:作業(yè)：6-4.§6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器一、變換原理脈沖響應(yīng)不變法是使DF在時域上模仿AF，存在sz平面多值映射的問題；雙線性變換法是使DF的頻響模仿AF。先把整個s平面通過非線性壓縮變換為s1平面的一條(1從-T到T，寬度為2T

的水平)橫帶內(nèi)，然后通過標(biāo)準(zhǔn)z變換，將s1z平面。(1)0S1平面?(2)z平面0Z=1?0s平面0?1.壓縮變換：ss102.

標(biāo)準(zhǔn)z變換：s1z,即：得：映射關(guān)系0-3.模擬頻率W與數(shù)字頻率w的關(guān)系令：得：雙線性變換法的映射關(guān)系:

(s左半面)(z單位圓內(nèi))(s平面坐標(biāo)原點)(z平面單位圓上A)(s右半面)(z單位圓外)穩(wěn)定的AF穩(wěn)定的DFz

=14.雙線性變換法的優(yōu)缺點:②這種變換是非線性的；DF的頻響與AF原型的頻響之間存在非線性畸變，采用預(yù)畸變可以消除。適用于片斷常數(shù)的濾波器設(shè)計。00cH(e)j①簡單的變換設(shè)計關(guān)系：把s平面整個虛軸影射到z平面的單位圓，頻率與一一對應(yīng)；Ha

(s)和H(z)之間簡單的代數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系，頻域里DF模仿AF；消除了頻響混疊效應(yīng)。

③尤其一個線性相位的AF經(jīng)雙線性變換后,得到的DF就失去了線性相位的可貴特性即為非線性相位的DF了。5.利用雙線性變換法將模擬濾波器數(shù)字化的方法：(2)也可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)(相加)或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)(相乘)，使每個子系統(tǒng)都變成低階的(1，2階的)，然后對每個子系統(tǒng)再利用雙線性變換，模擬系統(tǒng)函數(shù)已有大量的圖表可利用，分解起來比較方便。

(a)若模擬系統(tǒng)函數(shù)分解為級聯(lián)系統(tǒng)：則經(jīng)雙線性變換后，離散系統(tǒng)函數(shù)可表示為：其中：(1)直接由得到；(b)分解成并聯(lián)子系統(tǒng)經(jīng)雙線性變換后