九年級數(shù)學- 相似與圓

第23講相似與圓知識導航.垂徑定理及其推論..圓周角定理及其推論..切線的判定及其性質..切線長定理..三角形相似的判定及其性質.【板塊一】求線段比值方法技巧.構造A型或X型相似求比值..用等線段代換求比值..利用兩比值相乘求比值.題型一直接計算法求比值【例1】如圖，已知BC±4。，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與。O的交點，點D是MB與。O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且AD=AM.APAO⑴求證：PD是。O的切線；(2)若AD=12,AM=MC,求變的值.MD【解析】(1)略；⑵連接CD，由(1)可知：PC=PD,VAM=MC,AAM=2MO=2H,在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2,???R2+122=9R2,.'.R=32，,OD=32,MC=62.VAD=AM=2，二DP=6,易得BP=CP=APAO3DP=6,VMC是。O的直徑，???/BDC=ZCDM=90°,在Rt△BCM中，：BC=2DP=12,MC=62,???BM=66,可證△BCMs^CDM，,MD=MC，得MD=26，,BP=6=-6.MCBMMD262題型二構造A型或X型相似求比值.

CO的延長線交AB于點D.【例2】如圖，△ABC內(nèi)接于。CO的延長線交AB于點D.(1)求證：AO±BC；(2)若BC=6,AB=3<10，求AD的值.BD【解析】(1)延長AO交BC于點E，連接OBJ：OB=OC,AB=AC,??.點A、O均在BC的垂直平分線上，???BE=EC,AO±BC；(2)延長CO交。O于點F.AE=AB2—BE2=9.設AO=%，則OE=9—%,32+(9—%)2=%2,%=5.AFC一一ADAO5=2%=10.：BC=6.ZFBC=90°,ABF=8.可證AE〃FB.A==.BDFB8題型三先等量代換后用三角形相似求比值【例3】如圖，AB為。O的直徑，半徑OD±AB,C為AB上一點，CD交AB于點F.若F為AO的中點，求BC的值.CDAe‘E【解析】過點D作CD的垂線交CB的延長線于點E.易證/C=1ZDOB=45°.2:CD±DE,AZE=ZC=45°,ACD=DE.設OF=AF=1,則AO=OD=OB=2,BD=22,BF=3.連接AD，易證ZBDE=ZADC=ZABC,△CBF^^EDB,ABC=BF=32,?:DE=CD,ABC=DEBD4CD2.題型四運用乘積求比值(a--=a)bcc

【例4】如圖，AB是。O的直徑，點C,E在。O上，過點C作AB的垂線分別交AB,AE于點H,D.若BC=3,AE=4BE，求CH的值.AC2HD【解析】易證△ACBs^AHC,【解析】易證△ACBs^AHC,CHBCAHAC3AHAECH一，易證△AEB0°^AHD,==4,??2HDBEAHAHHDCH=CH=6.HD—X4=6,故2針對練習11.如圖，在Rt△ABC中，/ACB=90°,。O是Rt△ABC的外接圓，過點C作。O的切線交BA的延長線于點E,BD±CE于點D,連接DO交BC于點M.(1)求證：BC平分/DBA；⑵若若Ao⑵若若Ao=2,求DM的值.

3MO解：(1)略；⑵連接OC解：(1)略；⑵連接OC,貝UOC//BD，,△EBDs△EOC,△DBMs△OCM，,BD=EB,COEOBD=DM.EB=COMO'''EODM，：EA=2，設EA=2k,AO=3k，,EB=8k,EO=5k,.DM=EB=8MOAO3MOEO52.如圖，△ABC內(nèi)接于o.AH±BC于點H,連接OC,過點A作o的切線，交CB的延長線于點E.(1)求證：NBAH=N(1)求證：NBAH=NAC(2)若AC=24,AH=18,,求A的值.解：(1)連接AO并延長交于o點D.連接CD.易證NBAH=NDAC=NACO；(2)連接BD.V(2)連接BD.VAD為o直徑..??NACD=90.易證△ABHs^ADC.AB@9.可證NEAB=NADB=NACB.又NE=NEBEAB13ABAH18ADAC24???AEABAECA.AEAC16BC解：(1BC解：(1)略；.如圖，以R3ABC斜邊AB上一點O為圓心，OB為半徑的圓切AC于點D,與AB交于另一點E,(2)連接EF交OD于點H,設CF=17.則CE=17.EF=417,可得EH=HF=217,DH=CF=17，設OH=%，則UOD=OE=%+17,——3175—BFOH3%2+(217)2=(%+17)2,%=,???OE=17,???==22BEOE5

.如圖，在△ABC中，AB=AC=3bC，以AB為直徑作o，交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH±AC于點H,連接DE交線段OA于點F.(1)求證：DH為o的切線;、(1)求證：DH為o的切線;BD(2)若A為EH的中點EB解：(1)略；EFAFAEFDFOOD23.FO=OA=9.易證△FODs^FDB,5(2)若A為EH的中點EB解：(1)略；EFAFAEFDFOOD23.FO=OA=9.易證△FODs^FDB,5FDOF3BDOD5.EFxFD=2x3=2.故FDBD355EF2BD5【板塊二】求線段長方法技巧.用方程思想求線段長..用全等(或相似)找線段之間的關系.題型一用全等找線段關系，列方程求解【例1題型一用全等找線段關系，列方程求解【例1】如圖，NABD=90°,AB是O的直徑，o交AD于點C.CE〃AB交o于點E,AE=2AC.AB=5求CD的長求CD的長.【解析】連接BE,BC.易證△BCA04AEB,??AE=BC=2AC.設AC=%，則BC=2%,AB=5%,x=1易證△ABCs^【解析】連接BE,BC.易證△BCA04AEB,??CD=AD-AC=5-1=4.題型二用相似找線段關系,列方程求解【例2】如圖，在R3ABC中，NACB=90°,點O是AC上一點，以OC為半徑作o與AB相切于點D,交AC于點E，OB交CD于點F.（1）求證：OBQE=1CE2；2..OF1丁，,一（2）若YF=1，AB=10，求O半徑.【解析】(1)易證OC2=OF?OB,DE=2OF,OC=1CE.2'?1CE2=DE?0B,1CE2=1DE-OB.AOB?DE=1CE2；2OC=1CE.2(2)設OF=x，則UOB=5x,OC2=OF.OB=5%2,.?.OC=M5%.CB=VOB2-OC2=2"x.由DE#OB可得DE=AD=2.OBAB52??AD=5AB=4,DB=10-4=6.BC=BD=2<5%=6,55%=3,OC=%：5%=3.題型三利用特殊邊角關系找聯(lián)系【例3】如圖，點O,E分別為4ABC的外心和內(nèi)心，AB=AC,AE的延長線交于O點D,交BC于點（1）求證：BD=DE；(2)若NBAC=30°,BD=6—2，求OE的長.【解析】(1)連接BE,易證NDBE=NDEB,，BD=DE；(2)連接BO.易證AF±BC,BF=FC.?；^O在AD上.設BF=%.NBOF=2NBAF=NBAC=30°..'.OB=2BF=2%,OF=3%，DF=(2-3)x.易證△BDFs^ADB.；.BD2=DF-DA=4(2—3)%2=(6—2)2,解得%=1,??.OE=OD—DE=OB—BD=2—(6—2)=2+2—6針對練習2.如圖，AB是o的直徑，點C在o上，CD是o的切線，ADLCD,垂足為D,E是AB延長線上點.CE交O于點尸，連接火,AC.oo(1)求證：A^平分為AO；(?)(?)(2)連接BF,^^DAO=105°,zE=30°；AC=4iX，求BF的長.解：(1解：(1)略；(2)過點O作OGLCE,垂足為G.易證NC0A=75°,NOCG=45°.設CG=%，貝UGF=CG=OG=%.OE=2%.GE=3%.EF=(3-1)%,AE=(2+2)%.易證4￡尸864￡人仁EFBF(3-1)%ACAEEFBF(3-1)%ACAE4+22—(2+2)%???BF=2(3-1)=23-2.BA=5，求BA=5，求CD的長.,AI的延長線交BC于點D,解：易證NBAE=NCBE=NCAE.OI，AE,???AI—EI=BE.設BE=%，則AE=2%,BE2+AE2=BA2=5,%2+（2%）2=5,%=1,BE=1,AE=2.易證△BEDs^AEB.TOC\o"1-5"\h\z113???BE2=ED-EA.可得ED=,AD=2—二.易證△ABEs^ADC,222CD=AD，得cd=拽BEAB103.如圖，A,B,C三點在O上，直徑BD平分NABC,過點D作DE//AB交弦BC于點E,在BC的延長線上取一點F,使得EF=DE.,,DE=5,求DM的長.(,,DE=5,求DM的長.(1)求證：DF是O的切線；.(2)連接AF交DE解：(1)略；(3)連接CD,易證△ABD^ACBD..，?CD=AD=4,AB=BC.VDE=5,??.CE=3.EF=DE=5.VZCBD=ZBDE,ABE=DE=5..??BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.???AB=BC=8.,ZDE/AB,AAABF^AMEF.ABBF.??=.???ME=4.??.DM=DE—EM=1.MEEF【板塊三】求線段之積方法技巧.直接法：分別求出兩條線段長..整體法：利用三角形相似求兩條線段之積.徑.(1)求證：PA是o的切線;【解析】(1)略;足為點F,延長CF交AB于點G,題型一利用母子相似求同一直線上兩條線段之積【例1】如圖，在4ABP中，C是BP徑.(1)求證：PA是o的切線;【解析】(1)略;足為點F,延長CF交AB于點G,2—AP,若AG-AB=15,求3(2)易證△ACGs^ABC,得AC2=AGAB=15,過點C作CMLAP,垂足為點M,設CP=2%，則AP=3%,易證CM=MP=%，則UAM=2%,AC=5%，

A5%2=15,x2=3,x=v'3.故CP=A5%2=15,題型二利用射影定理求同一直線上兩條線段之積【例2】在o中，ab=aC，AD±AB交BC延長線于點D,連接AO,AB=8.(1)求BC/。的值；⑵若oa=5⑵若oa=5,與Cd的長.【解析】（1）延長AO交BC于點E,易證AEXBC,1BE=EC=BC.易證△ABEs^DBA,；.AB2=BE-BD=64.2A1BCBD=64.BCBD=128.2（2）過.點O作OFLAB于點F,則AF=BF=4,OF=3,易證△AOFs^ABE,得BE=24.BC=2BE=48.由（1）知BD=40.CD=BD—BC=56.55315題型三利用相似求不在同一條直線上兩條線段之積【例3】如圖，AB,CD都是o的直徑，DB的延長線與過點C的切線交于點P,CELAB,垂足為點E.AD=2,求CECP的值.【解析】連接BC,AC,易證四邊形ADBC為矩形，ACB=AD=2.易證△CEBs△CBP,得CE-CP=CB2=4.針對練習31.如圖.CD為o的直徑，AD，AB，BC分別與o相切于點D，E，C（AD<BC），連接DE并延長與直線BC相交于點連接線BC相交于點連接OB.（1）求證：bC=BP；(2)若DE.OB=40,求AD-BC的值.解：（1解：（1）略：（2）連接QA，CE.EC交0B于點K.易證：OK=2DE，△OCKMOBC，；.OC2=OK-OB=1DE-OB=20，2易證△AOD04AOE，???NAOD=NA0E，同法證明，NBOE=NBOC,易證△ADOs^OCB.二AD-BC=OD.OC=OC2=20..如圖，在4ABC中，NACB=90°,AB=10,BC=6,點D在AB的延長線上，且BD=6,過點D作DE±AD(2)易證B.Q,E三點共線，易證△BDQOs^BED,BQ-BE=BD2=36..如圖，I為4ABC的內(nèi)心，AB=AC,BI的延長線交^ABC的外接圓于點D,NBDC的平分線交AC于點E.若EC=1，人￡=4.求BLID的值.解：連接Al,Cl.易證DI=DC.易證△ABIs^DCE,得BI-CD=AB-CE=5.?.1D=CD.???B[ID=BICD=5.【板塊四】經(jīng)典圖形研究方法技巧1．切割圖（也叫弦切圖）中相似問題（切割線定理）2．切割線加垂直的圖中,作高構造矩形求解．3．雙切圖中隱含射影定理的結論（知二求五）．題型一切割圖【例1】如圖，AB是。O的直徑，AC為弦，過點C的切線與AB的延長線交于點P,弦CE=AC,連接EB并延長并CP于點H.（1）求證：BH±CP；(2)若AC=6,AB=35,求PH的長.【解析】（1【解析】（1）略；(2)連接CO,CB,BC=AB2—AC2=3,易證4PCBs'pac,,設pb=%,貝|pc=2PB=2x,PA=2PC=4x,55PHPB2TOC\o"1-5"\h\zAB=PA—PB=3x=35,x=5.BP=5,PC=25,PO=——.BH//OC，得=一=-2PCPO524???PH=-PC=555CHAOBP題型二切割圖+垂直【例2】如圖，AB是。O的直徑，AC為弦，NBAC的平分線AD交。O于點D,DE±AC,交AC的延長線于點E，oe交ad于點F若Ab=3，求df的值?EMABEMAB【解析】連接OD,BC,過點O作OM±AE，垂足為點M，設AC=6,則AB=10,AM^=MC=3,易證四邊AFAE8形MODE為矩形，???ME=OD=5,AE=3+5=8,OD/AE得——=——=-DFOD5題型三雙切圖

【例3】如圖，PA是。O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB,PC,PC交AB于點E，且PA=PB．(1)求證：(1)求證：PB是。O的切線;【解析】(1)略；(2)連接OP交AB于點K，連接OB，BC，易證BC=2OK，設OK=a，則BC=2a，易證BC=PB=PA=2a，171由^PAKs^POA,可得PA2=PK-PO,設PK=x,則|有x2+ax—4a2=0,解得x=a(負根舍去)，2PK=17—1可得PEPK=17—1可得PECEPKBC17-14題型四多切線圖【例4】如圖，。O是^ABC的內(nèi)切圓，D,E,F為切點，AB=AC.(1)求證：BD=DC；AE2(2)若AE=2,O的半徑為1,求EF的長.BE3【解析】(1)AE=AF,BD=BE,CD=CF,AB=AC,則UAB—AE=AC—AF,BE=CF，,BD=DC；(2)連接OE,AO,OD,證A,O,D三點共線.設EF交AO于點H.設AE=2x,EB=3x，則AB=5x,AOEO544BD=BE=3x,易證△AEOsADB,.\——=——，得AO=-,AE=-.又EH-AO=EO-AE,EH=-,ABBD3358???EF=2EH=一5

題型五切徑圖(切線+題型五切徑圖(切線+過切點的直徑)【例5】如圖，AB是。O的直徑，AT是O的直徑，BT交O于點C,D是O上一點，/ATB=2/CDO,AB=40,AT.=30,求CD的長.【解析】延長DO交BT于點F.連接AC,OC.易證/ATB=ZCAB=1ZCOB,又/ATB=2ZCDO=ZCOF,2AZCOF=1ZCOB，：OC=OB，二OF±BT,CF=FB=1BC,BT=AB2+AT2=50，易證ABCTBA,得22AB2=BC-BT,BC=32,ACF=BF=16,OF=OB2—BF2=12.FD=12=20=32,ADC=CF2+FD2=165針對練習41.如圖，已知AB,CD是。O的直徑，過點C作。O的切線交AB的延長線于點P,。O的弦DE交AB于點F,且DF=EF.(1)求證：CO2=OF-OP；(2)連接EB交CD于點G,過點G作GH±AB于點H,若PC=42,PB=4,求GH的長.

解：(1)易證△OFDs'OCP,.?.OD=OF,；.od-OC=OF-OP,，：OD=OC,AOC2=OF-OP；OPOC(2)如圖，過點C作CM±