輔導(dǎo)講義：弧長(zhǎng)和扇形地面積、圓錐地側(cè)面積和全面積

實(shí)用文案輔導(dǎo)：弧長(zhǎng)和扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積一、弧長(zhǎng)和扇形的面積：『活動(dòng)一』因?yàn)?360°的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng) C=2πR，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 .這樣，在半徑為 R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) l= .『活動(dòng)二』類比弧長(zhǎng)的計(jì)算公式可知： 在半徑為 R的圓中，圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式為：S=.『活動(dòng)三』扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式比較扇形面積計(jì)算公式與弧長(zhǎng)計(jì)算公式，可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形面積的計(jì)算公式：S=nπnR1360.R2化為S=·R，從面可得扇形面積的另一計(jì)算公式：S=1802二、圓錐的側(cè)面積和全面積：S1．圓錐的基本概念：的線lh段SA、SA1??叫做圓錐的母線，rA的線段叫做圓錐的高．A12.圓錐中的各元素與它的側(cè)面展開(kāi)圖——扇形的各元素之間的關(guān)系：將圓錐的側(cè)面沿母線 l剪開(kāi)，展開(kāi)成平面圖形， 可以得到一個(gè)扇形， 設(shè)圓錐的底面半徑為 r，這個(gè)扇形的半徑等于 ，扇形弧長(zhǎng)等于 ．．圓錐側(cè)面積計(jì)算公式圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)，1πrll這樣，S圓錐側(cè)=S扇形=·2πr·l=24．圓錐全面積計(jì)算公式O rS圓錐全=S圓錐側(cè)＋S圓錐底面= πrl＋πr2=πr（l＋r）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案三、例題講解：例1、（2011?德州，11，4分）母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1的圓錐的側(cè)面積為．例2、（2011年山東省東營(yíng)市，21，9分）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15．1）求此圓的半徑；2）求圖中陰影部分的面積．例3、（2010廣東，14，6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（－4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度得⊙ P1．（1）畫(huà)出⊙P1，并直接判斷⊙ P與⊙P1的位置關(guān)系；（2）設(shè)⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為 A，B，求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留 π）．標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案y321－6－5－4－3 －2－1 O 1 2 3 x－1－2－3四、同步練習(xí)：1、（2012北海,11，3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：（）A．10πB．10C．10πD．π33AEDAODFOCBCB第2題圖CAB第1題圖（第3題）2、（2012 北海,12，3分）如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為 6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與 AB相切于點(diǎn)D的位置，則⊙O自轉(zhuǎn)了： （ ）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案A．2周．3周C．4周D．5周B3、（2012湖北咸寧，7，3分）如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則圖中陰影部分的面積為（）．A．3π2ππ2π2B．3C．23D．233234、（2012四川內(nèi)江，8，3分）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，則陰影部分圖形的面積為（）A．4πB．2πC．πD．2π3C第9題第11題AOBD圖25、（2012·湖南省張家界市·14題·3分）已知圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)都是１０cm，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.6、（2012·哈爾濱，題號(hào)16分值3）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，側(cè)面積為8，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是．7、（2012江蘇省淮安市，17，3分）若圓錐的底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為5cm，則此圓錐的側(cè)面積為cm2．8、（2012四川達(dá)州，11，3分）已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6，則它的側(cè)面積是 .（不取近似值）9、（2012年廣西玉林市，16，3）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，∠NMB的度數(shù)是.10、(2012廣安中考試題第15題，3分)如圖6，△的邊BC位于直線上，=3，RtABClAC標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案∠=90o，∠=30o，若△由現(xiàn)在的位置向右無(wú)滑動(dòng)地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落ACBARtABC在直線上l時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線的長(zhǎng)為（結(jié)果用含л的式子表示）．A????CB圖6l11、（2011·丹東，14，3分）如圖，將半徑為3cm的圓形紙片剪掉三分之一，余下部分圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高是．12、（2012貴州貴陽(yáng)，23，10分）如圖，在⊙O中，直徑AB=2，BCA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，則（1）BD的長(zhǎng)是；（5分）DO（2）求陰影部分的面積.（5分）CA第12題圖標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案13、（2012 浙江省義烏市， 20，8分）如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,點(diǎn)E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.BC（1）求∠ABC的度數(shù)；DO（2）求證：AE是⊙O的切線；AE（3）當(dāng)=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng).BC14、（2012 年吉林省，第23題、7分．）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊．點(diǎn) O恰好落在弧 AB上點(diǎn)D處，折痕交 OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積．標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案15、（2011 甘肅蘭州，25，9分）如圖，在單位長(zhǎng)度為 1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn) A、B、C.（1）請(qǐng)完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心 D的位置（不用寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并連結(jié) AD、CD.（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列問(wèn)題：①寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)： C 、D ；②⊙D的半徑= （結(jié)果保留根號(hào)）；③若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面面積為 （結(jié)果保留π）；④若E（7，0），試判斷直線 EC與⊙D的位置關(guān)系并說(shuō)明你的理由 .標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案A BCO參考答案例1、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。 專題：計(jì)算題。分析：先計(jì)算出底面圓的周長(zhǎng)， 它等于圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)， 而母線長(zhǎng)為扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．解答：解：∵圓錐的底面圓的半徑為 1，∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng) =2π×1=2π，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案1∴圓錐的側(cè)面積= ×2π×2=2π．故答案為： 2π．21點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的側(cè)面積公式： S= lr．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面圓的周長(zhǎng)等2于扇形的弧長(zhǎng)，母線長(zhǎng)為扇形的半徑．例2、考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．專題：幾何圖形問(wèn)題．分析：（1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠=90°，DBC在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；（2）根據(jù)S陰影=S扇形AOD－S△AOD即可求解．解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴==，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC．∴BC+3BC=15∴BC=6∴此圓的半徑為3．2（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由（1）可知O即為圓心．連接OA，OD，過(guò)O作OE⊥AD于E．33S△AOD=3393在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°=1×3×=．2224S陰影S扇形AOD-SAOD6032-933-93=6-93∴3604244點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵．例3、考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算分析：（1）根據(jù)題意作圖即可求得答案，注意圓的半徑為2；標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案（2）首先根據(jù)題意求得扇形 BP1A與△BP1A的面積，再作差即可求得劣弧 錯(cuò)誤!未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積．解答：解：（1）如圖：∴⊙P與⊙P1的位置關(guān)系是外切；（2）如圖：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=錯(cuò)誤!未找到引用源。9022=π，S△AP1B=×2×2=2，360∴劣弧錯(cuò)誤!未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積為：π﹣2．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系以及扇形面積的求解方法．題目難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．四、1、【解析】△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式lnr10，可求路徑長(zhǎng)為3180【答案】C【點(diǎn)評(píng)】考查的知識(shí)點(diǎn)有網(wǎng)格中的勾股定理（求nrAC），圖形的旋轉(zhuǎn)，弧長(zhǎng)公式l。180中等難度的題型。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案2、【解析】三角形的周長(zhǎng)恰好是圓周長(zhǎng)的三倍，但是圓在點(diǎn)A、B、C處分別旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，沒(méi)有滾動(dòng)，在三個(gè)頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自轉(zhuǎn)了4圈。【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題最容易出錯(cuò)的地方就是在頂點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)，難度較大。如果學(xué)生能動(dòng)手操作一下，正確答案就出來(lái)了。3、【解析】圖中陰影部分的面積等于：三角形AOB面積－扇形AOB面積，不難知道，?AOB為等邊三角形，可求出?AOB邊AB上的高是3，扇形AOB圓心角∠O＝60°，半徑OA2π＝3，從而陰影部分的面積是1×2×3－60(3)＝3，故選A．23602【答案】A【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了扇形面積的計(jì)算及解直角三角形的知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，有一定綜合性，難度中等．4、【解析】如下圖所示，取AB與CD的交點(diǎn)為E，由垂徑定理知CE＝3，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以O(shè)C＝CEo＝2，OE＝1OC＝1，接下來(lái)發(fā)現(xiàn)OE＝BE，可證△OCEsin602≌△BED，所以S陰影＝S扇形COB＝1π·22＝2π．63CA BOED圖2【答案】D【點(diǎn)評(píng)】圓的有關(guān)性質(zhì)是中考高頻考點(diǎn)， 而圖形面積也是多數(shù)地方必考之處， 將它們結(jié)合可謂珠聯(lián)璧合． 解答此題需在多處轉(zhuǎn)化： 一是將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積問(wèn)題解決； 二是標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案由圓周角度數(shù)求出圓心角度數(shù)；三是發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形，這一點(diǎn)是解題關(guān)鍵．510×10=50π.【解答】50π、【分析】S側(cè)=πrl=π·21【點(diǎn)評(píng)】圓錐的側(cè)面積S側(cè)=l是母線的長(zhǎng)）.·2πr·l=πrl（其中r是圓錐底面圓的半徑，26、【解析】本題考查圓錐展開(kāi)圖及側(cè)面積計(jì)算公式.設(shè)半徑為r，圓錐側(cè)面積即展開(kāi)圖扇形的面積，根據(jù)S扇=1lR,即8π=1×2π×4，得r=2.【答案】222【點(diǎn)評(píng)】在解決圓錐的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要把握好兩個(gè)相等關(guān)系：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的半徑R等于圓錐的母線長(zhǎng)， 扇形的弧長(zhǎng) l等于圓錐的底面周長(zhǎng) 2r．幾乎所有圓錐計(jì)算問(wèn)題都是從這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系入手解決的．7、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式 =πrl計(jì)算，此圓錐的側(cè)面積 =π×2×5=10π【答案】10π【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算． 解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系： ①圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑； ②圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．8、解析：圓錐的側(cè)面積可由公式來(lái)求，這里 R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)及其側(cè)面積的求法， 初步考查學(xué)生的空間觀點(diǎn)， 注意本題不要與全面積相混淆。9、分析：首先連接 OB，由矩形的性質(zhì)可得△BOC是直角三角形，又由 OB=ON=2OC，∠BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得∠ NMB的度數(shù)．解答：解：連接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四邊形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，OC 1 1∴cos∠BOC= ，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案為：30°．OB 2 2點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、 矩形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值． 此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案、思路導(dǎo)引：確定路線長(zhǎng)度，由于路線是圓弧，因此確定旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，3＋3；解析：計(jì)算斜邊長(zhǎng)度是12022，第一次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度是，1809031202第二次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度是，180180第三次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度與第二次經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)度相同，也是9031202180180，所以當(dāng)點(diǎn)A三次落在直線l上時(shí)，經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度是120290312024＋343＋3180＋2×（180）=＋2×=18033點(diǎn)評(píng)：解答旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計(jì)算連續(xù)的弧長(zhǎng)問(wèn)題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長(zhǎng)之和的計(jì)算 .、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：算出圍成圓錐的扇形的弧長(zhǎng)，除以 2π即為圓錐的底面半徑，利用勾股定理即可求得圓錐的高．360(1 1) 3解答：解：圍成圓錐的弧長(zhǎng)為3=4πcm，∴圓錐的底面半徑為4π180÷2π=2cm，∴圓錐的高為3222=1cm．故答案為1cm．點(diǎn)評(píng)：考查圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)．12、解析： （1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再結(jié)合∠C=45°，得∠B=45°.連接AD，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案則由直徑AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°= 2；（2）運(yùn)用代換得到陰影部分的面積等于△ACD的面積.解：（1）填 2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積 =△ACD的面積.∵CD=AD=BD=2，∴S△112×2=1，即陰影部分的面積是=CD×AD=×221.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及割補(bǔ)法，解法較多，有利于考生從自己的角度獲取解題方法，中等偏下難度 .13、【解析】（1）根據(jù)相等的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角相等，得∠ ABC=∠D=60°。（2）直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，則由三角形內(nèi)角和為 180°，得出∠BAC的大小，繼而得出∠BAE的大小為90°，即AE是⊙O的切線。（3）由題意易知，△OBC是等邊三角形，則由劣弧 AC對(duì)應(yīng)的圓心角可求出劣弧 AC的長(zhǎng)。20．解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角∴∠ABC=∠D=60°????2分（2）∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=90°??????????3分∴∠BAC=30°∴∠BAE=∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90°???????4分即BA⊥AE∴AE是⊙O的切線 ??????????????????????5分BCDOA E（3）如圖，連結(jié) OC∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等邊三角形標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案∴OB=BC=4, ∠BOC=60°∴∠AOC=120°???????7分120 4 8∴劣弧AC的長(zhǎng)為 ????????????????8分180 3【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓弧的長(zhǎng)與其對(duì)應(yīng)的圓心角、 圓周角的關(guān)系，及三角形的內(nèi)角和為 180°。相等的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角、圓心角相等．14、【解析】陰影部分的周長(zhǎng)包括線段AC+CD+DB的長(zhǎng)和弧AB的長(zhǎng)．由折疊的性質(zhì)可知，+CD=OA=6;DB=O