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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.253.五名志愿者到三個不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.4.在三角形中,,,求()A. B. C. D.5.一場考試需要2小時,在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.6.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.08.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.9.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種10.自2019年12月以來,在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種11.()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________________.14.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且,,成等差數(shù)列,則.15.已知實(shí)數(shù)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________16.在長方體中,,,,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)為實(shí)數(shù),在極坐標(biāo)系中,已知圓()與直線相切,求的值.18.(12分)已知(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù);(2)記,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),求證:.19.(12分)已知數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.22.(10分)[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,且,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點(diǎn)A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應(yīng)用.3.D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.4.A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.5.B【解析】
因?yàn)闀r針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r針旋轉(zhuǎn)一周為12小時,轉(zhuǎn)過的角度為,按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過2小時,時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點(diǎn)時,其截距最大,此時最大得,當(dāng)時,故選:B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.8.B【解析】
,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.9.B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.10.C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識,解此類題時一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.12.D【解析】
當(dāng)時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個交點(diǎn),計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
令,則,恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解:令,則,恰有四個解.有兩個解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.14..【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點(diǎn):等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.15.811【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結(jié)合可知,可行域?yàn)槿切?,且底邊長,高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)?,顯然直線過時,z最大,故.故答案為:;11.【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】
利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,解得故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【解析】
將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得.將直線化成普通方程為.因?yàn)橄嗲?所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.18.(1)沒有極值點(diǎn);(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】(1)當(dāng)時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點(diǎn).(2)由題,,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設(shè),那么,所以,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運(yùn)算能力與推理論證能力.19.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列,即可求解;(2)由(1)可得為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,又所以?shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為.故(2)由(1)知,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)(2)當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【解析】
(1)當(dāng)時,分類討論把不等式化為等價不等式組,即可求解.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,所以當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點(diǎn),由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點(diǎn),連接,又為菱形,故,為的中點(diǎn).又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1)(2)見解析【解析
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