數(shù)字信號處理吳鎮(zhèn)揚(yáng)DSPCH4

第4章有限長單位脈沖響應(yīng)

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法本章內(nèi)容線性相位特性FIR-DF時域設(shè)計(jì)法——窗口法FIR-DF頻域設(shè)計(jì)法——頻域采樣設(shè)計(jì)法FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)1、可以具有嚴(yán)格線性相位，同時可以具有任意幅度。2、FIR-DF的h(n)是有限長的，因而濾波器總是穩(wěn)定。3、經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長序列都能變成因果有限長序列，因而能用因果系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。4、FIR濾波器由于單位響應(yīng)是有限長的，式因而可用快速傅里葉變換（FFT）算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號，可大大提高運(yùn)算效率。4.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

如果FIR-DF的h(n)是實(shí)序列，且滿足偶對稱或奇對稱的條件，則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特點(diǎn)。偶對稱h(n)=h(N-1-n)

奇對稱h(n)=-h(N-1-n)4.1.1線性相位條件h(n)為實(shí)序列有一個附加相位兩類線性相位兩者的群延遲都是線性相位條件（1）要求實(shí)部和虛部都相等h(n)以n=(N-1)/2為偶對稱中心條件線性相位條件（2）h(n)以n=(N-1)/2為奇對稱中心，且有±π/2的固定相移。同理?xiàng)l件兩類線性相位4.1.2幅度響應(yīng)特性第一種類型：

h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)n=1,2,3,…,(N-1)/2cos(ωn)項(xiàng)對ω=0,π,2π皆為偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=0,π，2π也呈偶對稱。第二種類型：h(n)為偶對稱，N為偶數(shù)n=1,2,3,…,N/2當(dāng)ω=π時，cos(ω(n-1/2

))=0，余弦項(xiàng)對ω=π呈奇對稱，H(π)=0，H(z)在z=ejπ=-1有一零點(diǎn)，H(ω)對ω=π呈奇對稱。當(dāng)ω=0或2π時，cos(ω(n-1/2

))=1或-1，余弦項(xiàng)對ω=0,2π為偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=0,2π也呈偶對稱。

高通、帶阻，不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。h(n)為偶對稱第三種類型：h(n)為奇對稱，N為奇數(shù)n=1,2,3,…,(N-1)/2sin(ωn)在ω=0,π,2π處都為零，并對這些點(diǎn)呈奇對稱，因此幅度函數(shù)H(ω)在ω=0,π,2π處為零，即H(z)在z=±1上都有零點(diǎn)，且H(ω)對于ω=0,π,2π也呈奇對稱。低通、高通、帶阻，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。注意：第三種類型兩種表達(dá)式形式第四種類型：h(n)為奇對稱，N為偶數(shù)當(dāng)ω=0,2π時，sin(ω(n-1/2

))=0，且對ω=0,2π呈奇對稱，因此H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1處有一個零點(diǎn)，且H(ω)對ω=0,2π也呈奇對稱。當(dāng)ω=π時，sin(ω(n-1/2

))=-1或1，則sin(ω(n-1/2

))對ω=π呈偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=π也呈偶對稱。低通、帶阻，不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計(jì)。

注意：第四種類型兩種表達(dá)式形式h(n)為奇對稱h(n)為奇對稱4.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置H(z)=±z-(N-1)H(z-1)例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n這是第一種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲τ(ω)=(N-1)/2=2例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n

這是第二種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)這是第三種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-1)這是第四種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實(shí)數(shù)的，且n<0和n>6時h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個零點(diǎn)，H(z)的表達(dá)式是什么？解因?yàn)閚<0和n>6時h(n)=0，且h(n)是實(shí)值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個復(fù)零點(diǎn)時，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個零點(diǎn)。這個零點(diǎn)共軛對產(chǎn)生如下的二階因子：H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

線性相位的約束條件需要在這兩個零點(diǎn)的倒數(shù)位置上有零點(diǎn)，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子：

系統(tǒng)函數(shù)還包含一個z=3的零點(diǎn)，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個零點(diǎn)。于是，H(z)還具有如下因子：最后，多項(xiàng)式中零階項(xiàng)的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。4.2用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì)方法0≤n≤N-1其他h(n)=hd(n)w(n)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時域進(jìn)行0≤n≤N-1其他窗函數(shù)為矩形窗---------窗口設(shè)計(jì)法例如，要求設(shè)計(jì)一個FIR低通數(shù)字濾波器，

假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為

|ω|≤ωc

ωc<|ω|≤π理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗

矩形窗對理想低通幅頻特性的影響

h(n)=hd(n)wR(n)矩形窗理想濾波器的頻率響應(yīng)實(shí)際設(shè)計(jì)的FIR濾波器頻率響應(yīng)矩形窗影響加窗函數(shù)處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響（1）H(ω)將Hd(ω)在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR(ω)的主瓣寬度Δω=4π/N，即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為4π/N。窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶也越寬。（2）在截止頻率ωc的兩邊即ω=ωc±(2π/N)的地方，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。（3）改變N，只能改變窗譜函數(shù)的主瓣寬度，改變ω的坐標(biāo)比例以及改變WR(ω)的絕對值大小。例如，在矩形窗情況下，

當(dāng)截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬度（4π/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例;同樣，也不會改變肩峰的相對值。這個相對比例是由窗函數(shù)形狀決定的，與N無關(guān)。換句話說，增加截取窗函數(shù)的長度N只能相應(yīng)的減少過渡帶，而不能改變肩峰值。五種常用的窗函數(shù)各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51），A=20lg|W(ω)/W(θ)|(a)矩形窗(b)巴特利特窗（三角形窗）(c)漢寧窗(d)海明窗(e)布拉克曼窗理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）,A=20lg|H(ω)/H(0)|(a)矩形窗(b)巴特利特窗（三角形窗）(c)漢寧窗(d)海明窗(e)布拉克曼窗凱塞（Kaiser）窗窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟歸納（1）給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。（2）根據(jù)下式求單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

如果Hd(ejω)很復(fù)雜或不能直接計(jì)算積分，則必須用求和代替積分，也就是要計(jì)算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計(jì)算。將積分限分成M段，也就是令采樣頻率為ωk=2πk/M，k=0,1,2,…,M-1，則有

由于hd(n)有可能是無限長的序列，因此嚴(yán)格說，必須當(dāng)M→∞時，hＭ(n)才能等于hd(n)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即 。實(shí)際上，由于hd(n)隨n的增加衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，近似就足夠了。

（3）按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。（4）最后，計(jì)算所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1（5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)例用矩形窗設(shè)計(jì)一個線性相位帶通濾波器-ωc≤ω-ω0≤ωc

0≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π（1）設(shè)計(jì)N為奇數(shù)時的h(n)。（2）設(shè)計(jì)N為偶數(shù)時的h(n)。（3）若改用海明窗設(shè)計(jì)，求以上兩種形式的h(n)表達(dá)式。解根據(jù)該線性相位帶通濾波器的相位可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對稱的情況，h(n)偶對稱時，可為第一類和第二類濾波器，其頻響

（1）當(dāng)N為奇數(shù)時，h(n)=h(N-1-n)ω0-ωc≤ω≤ω0+ωc,-ω0-ωc≤ω≤-ω0+ωc-ω0+ωc<ω<ω0-ωc,-π≤ω<-ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π

h(n)=hd(n)RＮ(n)(2)N

為偶數(shù)時，H(ejω)為第二類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0呈偶對稱。所以,Hd(ejω)在［-π,π］之間的擴(kuò)展同上，則hd(n)也同上，即:(3)若改用海明窗N為奇數(shù)時N為偶數(shù)時4.3用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率采樣法：在頻域?qū)硐腩l率響應(yīng)Hd(ejω)以等間隔采樣H(k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/Nk=0,1,2,…,N-1線性相位的約束

（1）第一類線性相位濾波器，即h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為偶對稱Hk滿足偶對稱（2）第二類線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對稱，N為偶數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是奇對稱的，關(guān)于ω=0,2π為偶對稱，Hk

滿足奇對稱（3）第三類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為奇數(shù)H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為奇對稱Hk滿足奇對稱（4）第四類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為偶數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是偶對稱的，關(guān)于ω=0,2π為奇對稱Hk

滿足偶對稱逼近誤差及其改進(jìn)措施頻率采樣的響應(yīng)加過渡帶（a）一點(diǎn)過渡帶

(b)二點(diǎn)過渡帶

(c)三點(diǎn)過渡帶低通設(shè)計(jì)中，過渡采樣在低通設(shè)計(jì)中，不加過渡采樣點(diǎn)時，阻帶最小衰減為-20dB，一點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)可達(dá)-65dB到-75dB左右三點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)則可達(dá)-85dB到-95dB左右。例用頻率采樣法設(shè)計(jì)一線性相位濾波器試設(shè)計(jì)采樣值的相位θk，并求h(n)及H(ejω)的表達(dá)式。解

N=15，Ｈk=HN-k偶對稱，H0=1，第一類線性相位