數(shù)學模型概論

數(shù)學模型概論1、什么是數(shù)學建模3、數(shù)學建模的方法和步驟2、建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎玩具、照片…~實物模型風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數(shù)學模型你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時20公里航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。數(shù)學模型

(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)數(shù)學模型:對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。數(shù)學建模：建立數(shù)學模型的全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學建模計算機技術如虎添翼知識經(jīng)濟椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。建模示例1模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定

二、數(shù)學建模的一般方法和步驟建立數(shù)學模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆機理分析◆測試分析方法機理分析：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識。將這兩種方法結合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結構，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。

在實際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實際不符合實際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟、社會效益實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數(shù)建立數(shù)學模型并數(shù)學、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實際問題的實測數(shù)據(jù)等來檢驗該數(shù)學模型建模過程示意圖

模型

數(shù)學模型的分類：◆按研究方法和對象的數(shù)學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等?！舭囱芯繉ο蟮膶嶋H領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。三、數(shù)學模型及其分類數(shù)學模型類型

確定－隨機靜態(tài)－動態(tài)

線性－非線

離散－連續(xù)3、雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為）的熱量傳導進行對比，對雙