時(shí)集合的含義

第1章集合1.1集合的含義及其表示第1課時(shí)集合的含義1.了解集合的含義;(難點(diǎn)）2.理解集合中元素的三個(gè)特性，體會(huì)元素與集合間的從屬關(guān)系;（重點(diǎn)）3.記住常用的數(shù)集及其符號(hào)表示.（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）“集合”是日常生活中的一個(gè)常用詞，現(xiàn)代漢語(yǔ)解釋為:許多的人或物聚在一起。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡(jiǎn)潔、高雅的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我們?cè)鯓永斫鈹?shù)學(xué)中的“集合”呢？,、這個(gè)通知的對(duì)象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？

通知

9月1號(hào)上午8時(shí)，高一年級(jí)的學(xué)生在體育館集合進(jìn)行軍訓(xùn)動(dòng)員.

校長(zhǎng)室全體高一學(xué)生解答:（1）在學(xué)習(xí)“不等式的解法”中曾提到：一個(gè)不等式的所有的解組成了這個(gè)不等式解的集合，簡(jiǎn)稱不等式的解集.（2）圓的定義中曾提到：圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

思考1

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)哪些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，曾提到“集合”一詞？再來(lái)觀察下面的實(shí)例：（1）小于10的質(zhì)數(shù);（2）2010年廣州亞運(yùn)會(huì)中我國(guó)運(yùn)動(dòng)員獲得的所有金牌；（3）滿足3x－2＞x＋3的全體實(shí)數(shù)；（4）中國(guó)的直轄市；（5）高一(10)班全體男同學(xué)；（6）2012年央視春晚主持人；（7）趙本山的弟子；（8）初中我們學(xué)過的函數(shù).思考2

通過以上實(shí)例，想一想，什么是集合？解答：集合與元素的概念:

一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.集合通常用大寫的拉丁字母表示，如集合A、集合B等.集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……思考3

上面實(shí)例（1）、（4）中集合的元素分別是什么？解答：實(shí)例（1）中集合的元素有2，3，5，7;實(shí)例（4）中集合的元素有北京，天津，上海，重慶.解答:集合與元素之間的關(guān)系：（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A.思考4

集合與元素之間存在怎樣的關(guān)系？怎樣來(lái)描述這種關(guān)系?（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作提升總結(jié)：集合和元素是兩個(gè)不同的概念，它們之間是隸屬的關(guān)系,類似于公司與員工的關(guān)系，因此用符號(hào)“∈”與“”來(lái)表示這種關(guān)系，要注意“∈”的開口方向，不能把a(bǔ)∈A顛倒過來(lái)寫.此外要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念

,且注意“∈”與“”只能表示元素和集合之間的關(guān)系，不能用來(lái)表示集合與集合之間的關(guān)系．回答下列問題（1）“我們班的高個(gè)子同學(xué)”、“年輕人”、“接近0的數(shù)”，這些能否組成一個(gè)集合，為什么？（2）集合A中含有元素2,2,4的表述是否準(zhǔn)確?（3）集合A中含有元素太平洋，大西洋，集合B中含有元素大西洋，太平洋，則集合A與集合B是否為同一集合?解答：（1）中，身高多高就能稱為“高個(gè)子”，年齡多大為“年輕”，“接近”0的數(shù)到底有哪些，因界定的標(biāo)準(zhǔn)不明確，這些被研究的對(duì)象模棱兩可，不能確定，故三者都不能組成集合.（2）中集合的元素“2”雖然出現(xiàn)了兩次，但只能算作一個(gè)元素，實(shí)際上集合A的元素就只有2和4，應(yīng)表述為集合A中含有元素2,4.例（3）“大西洋”與“太平洋”雖同時(shí)作為集合A與B中的元素僅順序不同但無(wú)所謂相對(duì)的“順序”，因其元素相同，故A與B為同一集合.由以上問題可以看出，集合中的元素具有以下三個(gè)特性：（1）確定性：即對(duì)任意給定的對(duì)象，相對(duì)于某個(gè)集合來(lái)說，或者屬于這個(gè)集合，或者不屬于這個(gè)集合，二者必居其一;（2）互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），即同一個(gè)集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入任一個(gè)集合時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素;（3）無(wú)序性：由于集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集合即是相同的集合。因此，集合中的元素與順序無(wú)關(guān).提升總結(jié)：對(duì)集合中的元素的三個(gè)特性的理解：（1）對(duì)于確定性，關(guān)鍵是理解“確定”的含義，對(duì)任意對(duì)象都能確定它是不是集合的元素，這是集合的最基本特征,沒有確定性就不能成為集合.如“很大的數(shù)”、“聰明的人”都不能構(gòu)成集合.（2）互異性是判斷是否構(gòu)成集合的另一標(biāo)準(zhǔn)，通常通過檢驗(yàn)的方法看集合是否滿足互異性.如:（3）無(wú)序性最容易理解，即在同一集合里，通常不考慮元素之間的順序.思考5數(shù)學(xué)中的“數(shù)”是怎樣分類的？解答：自然數(shù)包括正整數(shù)和零，自然數(shù)和負(fù)整數(shù)構(gòu)成了整數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)構(gòu)成了有理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)構(gòu)成實(shí)數(shù)。自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)解答：這些“數(shù)”都是數(shù)的集合，它們是數(shù)集.對(duì)于這些常見的數(shù)集，在高中我們還會(huì)經(jīng)常用到，以后為了方便表示它們，現(xiàn)對(duì)它們用統(tǒng)一的符號(hào)規(guī)定如下：思考6

這些“數(shù)”與我們現(xiàn)在學(xué)的集合有什么聯(lián)系？常見數(shù)集的專用符號(hào)：N：非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)(全體非負(fù)整數(shù)的集合)N*或：正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集N內(nèi)排除0的集合）Ｚ：整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）：空集（不含任何元素的集合）[例1]下列說法正確的有哪幾個(gè)？（1）地球周圍的行星能確定一個(gè)集合；（2）實(shí)數(shù)中不是有理數(shù)的所有數(shù)的全體能確定一個(gè)集合；（3）由1，，，∣-∣，0.5這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；（4）{1，2，3}與{1，3，2}是不同集合.分析：這類題目主要考查對(duì)集合概念的理解，解決這類問題的關(guān)鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性為標(biāo)準(zhǔn)作出判斷．解：(1)是錯(cuò)誤的，因?yàn)椤爸車笔莻€(gè)模糊的概念，隨便找一顆行星無(wú)法判斷是否屬于地球的周圍，因此它不滿足集合中元素的確定性．(2)是正確的，雖然滿足條件的數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，但任何一個(gè)元素都能判斷出來(lái)是否屬于這個(gè)集合．(3)是錯(cuò)誤的，＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5這些數(shù)組成的集合為｛1，，0.5｝共有3個(gè)元素．(4)是錯(cuò)誤的，因?yàn)榧现性厥菬o(wú)序的．技巧點(diǎn)撥:任何集合中的元素都不能違背確定性、互異性、無(wú)序性.判斷下列說法正確的有哪幾個(gè)？（1）世紀(jì)金榜書業(yè)銷量很好的圖書能構(gòu)成一個(gè)集合；（2）若集合M中含有的三個(gè)元素a,b,c恰是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是等腰三角形；（3）“祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步”中的漢字構(gòu)成的集合有8個(gè)元素.【解析】（1）何謂“銷量很好”，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故銷量很好的圖書構(gòu)不成一個(gè)集合；（2）根據(jù)集合元素的互異性知a,b,c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；（3）“祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步”中有兩個(gè)“學(xué)”字，根據(jù)元素互異性可知，這只能算作一個(gè)元素，故由這一句話的漢字構(gòu)成的集合只有7個(gè)元素。正確理解元素與集合之間的“屬于”關(guān)系.【解析】根據(jù)分析可知①②正確，③④錯(cuò)誤.2你都判斷對(duì)了嗎？分析：說明集合A中或者

可分類討論求解.技巧點(diǎn)撥：求解集合問題時(shí),要用逐個(gè)驗(yàn)證的方法,看是否滿足互異性.解：由題意可知，或當(dāng)時(shí)，x=-1,把x=-1代入集合A中，此時(shí)集合A為{-3,-3,12}不滿足互異性當(dāng)時(shí)，x=或x=-1把x=代入集合A中，滿足集合元素的互異性故x=1.對(duì)于自然數(shù)集N，若a∈N,b∈N,則a+b_____N,ab____N.【解析】∵兩個(gè)自然數(shù)的和、積仍是自然數(shù)，∴a+b∈N,ab∈N.答案：∈∈3.下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的序號(hào)是：_______.(1)數(shù)學(xué)必修1課本中的所有難題；(2)與1非常接近的數(shù)；(3)不等式2x+3＞0的解集；(4)正三角形的全體.答案：（3）（4）4.已知集合A中含有三個(gè)元素1,a,b,集合B中含有三個(gè)元素a,a2,ab，若集合A與B相等，求實(shí)數(shù)a，b的值.【解析】因?yàn)榧螦與B相等.故a2=1或ab=1且a≠1,