測量學(xué)與地圖學(xué)(第七章)

第七章、地圖投影§1、地圖投影及其變形§2、地圖投影的分類§3、地圖投影的選擇§4、地圖投影的判別§1、地圖投影及其變形一、地圖投影按照一定的數(shù)學(xué)法則，將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)轉(zhuǎn)換到平面上，使地面點(diǎn)位的地理坐標(biāo)（λ、φ）與地圖上相對應(yīng)點(diǎn)位的平面直角坐標(biāo)（x,y）或極坐標(biāo)(δ,ρ)間，建立起一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系：

x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)地圖投影的實(shí)質(zhì)：是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。二、地圖投影變形1.投影變形的概念

同一個(gè)區(qū)域在不同投影的地圖上表現(xiàn)出明顯的形狀差異（經(jīng)緯網(wǎng)的不同形式）2、地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特征（1）、長度特征緯線長度不等,赤道最長,緯度越高長度越短,

到極點(diǎn)為0;

同一條緯線上,經(jīng)差相同的緯線弧長相等;

所有經(jīng)線長度相等;

同一條經(jīng)線上,緯差相同的經(jīng)線弧長相差不大.（2）、角度經(jīng)線與緯線處處都呈直角.（3）、面積同一緯度帶內(nèi),經(jīng)差相同的球面梯形面積相等;

同一經(jīng)度帶內(nèi),緯度越高球面梯形面積越小.3.變形橢圓 取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比；為緯線長度比微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓。代入：X2+Y2=1，得特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向及經(jīng)向和緯向長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m

；緯線方向n統(tǒng)稱主方向m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b4、投影變形的性質(zhì)和大小

1)長度變形

長度比和長度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮小之比。

m表示長度比，Vm表示長度變形

=0不變>0變大<0變小

2)面積變形

面積比和面積變形：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比Vp

表示面積變形

P=a·b=m·n(q=90)

P=m·n·sinq

(q≠90)

=0不變>0變大<0變小

dF’πa*r*b*rP===a*b

dF

πr2

3)角度變形：

投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。

=(a–b)/(a+b)

一.地圖投影方法1.幾何投影法

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面?！?、地圖投影的分類2.數(shù)學(xué)解析法

利用數(shù)學(xué)解析方法建立投影公式,并計(jì)算經(jīng)緯線交點(diǎn)坐標(biāo),最后獲得投影經(jīng)緯網(wǎng)的方法.二.地圖投影分類1.按地圖投影的構(gòu)成方法分類

1）幾何投影:將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

(1)方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

(2)圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

(3)圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。

2）非幾何投影：

根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。(1)偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成.緯線為同心圓,除中央經(jīng)線為直線外，其余經(jīng)線均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。⑵偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。緯線為平行直線,除中央經(jīng)線為直線外，其余經(jīng)線均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。⑶偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成。緯線為同心圓弧,除中央經(jīng)線為直線外，其余經(jīng)線均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。⑷多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。2.按地圖投影的變形性質(zhì)分類

1)等角投影:投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

2)等積投影:投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

3)任意投影:投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）?！?地圖投影的選擇一.地圖投影的選擇依據(jù)

1.制圖區(qū)域的地理位置、形狀和范圍

2.制圖比例尺

3.地圖的內(nèi)容

4.出版方式1.制圖區(qū)域的地理位置、形狀和范圍2.制圖比例尺

不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。

大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影。中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。3.地圖的內(nèi)容主題和內(nèi)容不同，對投影的要求也不同。①要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影②要求面積對比正確，應(yīng)選擇等積投影③教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影4.出版方式單幅圖系列圖地圖集

二.地形圖投影

1.大中比例尺地形圖-------高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）

以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測量學(xué)家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。(1).經(jīng)緯線網(wǎng)特點(diǎn):

中央經(jīng)線與赤道為相互垂直的直線;

其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線并交于兩極的曲線;

其他緯線為對稱于赤道并凹向兩極的曲線;

經(jīng)線與緯線正交.(2).變形特征

此投影角度無變形(ω=0);中央經(jīng)線無長度變形(m0=1),中央經(jīng)線兩側(cè)的變形是對稱的，離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)長度變形越大。

1∶1萬（3°分帶）

1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬（６°分帶）。(3).分帶投影為保證精度，中國國家基本比例尺地形圖采用分帶投影方法：

經(jīng)差6°(長度變形<0.14%)或3°分帶，(4).

通用橫軸墨卡托投影

——UTM投影

以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱

UniversalTransverseMercator——UTM投影。

此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6°或3°分帶。長度變形<0.04%2.百萬分一地形圖投影-----等角圓錐投影

新編國際百萬分一地圖采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸等角圓錐投影.中國《1∶100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%三.區(qū)域圖投影

1.方位投影

正軸方位投影橫軸方位投影斜軸方位投影2.正軸圓錐投影經(jīng)線:投影為放射直線，緯線:投影為同心圓弧.

適于制作中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖①等角割圓錐投影條件：w=0;

m=n;相割緯線：

1=25°

；

2=45°

②等積割圓錐投影條件：P=mn=1;

多用于要求面積對比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖如1:800萬，1:600萬，1:400萬《中華人民共和國地圖》采用了(1=25°；

2=47°)的該投影。③等距割圓錐投影條件：m=1;

原蘇聯(lián)出版的蘇聯(lián)全圖，采用(1=47°；

2=62°)的該投影。

3.偽圓錐投影

由法國彭納（R.Bonne）在圓錐投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀設(shè)計(jì)而成，故又稱彭納投影(等積投影)。緯線為同心圓弧,中央經(jīng)線為直線(

m0=1)其他經(jīng)線為對稱m0的曲線常用于編制中緯度地區(qū)小比例區(qū)域圖中央經(jīng)線與中央緯線是兩條沒有變形的線,距離這兩條線越遠(yuǎn)變形越大.四.世界地圖投影主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影

具體方案：等差分緯線多圓錐投影正切差分緯線多圓錐投影墨卡托（Mercator）投影摩爾威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影

1.多圓錐投影 設(shè)想更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

普通多圓錐投影（1820年美國Hasslar

所創(chuàng)）m0=1n=1m>1任意投影等差分緯線多圓錐投影

中國地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。正切差分緯線多圓錐投影

中國地圖出版社1976年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。2.正軸等角圓柱投影

由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。最大特點(diǎn):不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有重要的實(shí)用價(jià)值。經(jīng)緯線形狀:經(jīng)緯線是互相垂直的平行直線;經(jīng)線間隔相等,緯線間隔由赤道向兩極逐漸擴(kuò)大.變形特點(diǎn):角度無變形;赤道為沒有變形的線;隨緯度增高面積變形增大.等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。

大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線。墨卡托投影等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線

3.偽圓柱投影 是在圓柱投影的基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍然為平行直線，而經(jīng)線則根據(jù)某些特定條件改變經(jīng)線形狀而設(shè)計(jì)成對稱于中央經(jīng)線的各類曲線的非幾何投影，在具體應(yīng)用中以等積性質(zhì)居多，而無等角投影。⑴桑遜（Sanson）投影⑵摩爾威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影常用的投影方案：

⑴桑遜（Sanson-Flamsteed）投影

由法國桑遜于1650年設(shè)計(jì)的等積偽圓柱投影經(jīng)緯線形狀:緯線為間隔相等的平行直線;

中央經(jīng)線為直線,其他經(jīng)線為正弦曲線;

每條緯線上經(jīng)線間隔相等。投影變形特點(diǎn)：P=1無面積變形n=1緯線長度比為1m0=1中央經(jīng)線長度比=1m>1經(jīng)線長度比>1⑵摩爾威特（Mollweide）投影 由德國摩爾威特于1805年設(shè)計(jì)的等積偽圓柱投影。投影特點(diǎn)：①

P=1無面積變形;②中央經(jīng)線和±40°44′11″.8的交點(diǎn)為沒有變形的點(diǎn),離這兩點(diǎn)距離越遠(yuǎn)變形越大,向高緯比向低緯增大的速度快;③S90=Searth

/2;④赤道長度=中央經(jīng)線×2.S90=Searth

/240°44′11.8″經(jīng)緯線形狀:①中央經(jīng)線為直線,距離中央經(jīng)線東西經(jīng)差±90°的經(jīng)線構(gòu)成一個(gè)大圓,其面積等于地球面積的1/2;其余經(jīng)線為橢圓;②赤道長度為中央經(jīng)線的2倍,緯線是由赤道向兩極間隔逐漸縮小的平行直線;③每條緯線上經(jīng)線間隔相等。⑶古德（Goode）投影

美地理學(xué)家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整個(gè)制圖區(qū)域主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點(diǎn)：分瓣、組合投影，變形減小且均勻大陸完整，大洋割裂大洋完整，大陸割裂古德投影§4、地圖投影的判別一、確定投影的種類1、方位投影正軸方位投影：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是以極點(diǎn)為中心的放射狀直線。橫軸方位投影：赤道是直線，其他緯線為對稱于赤道的曲線；中央經(jīng)線是直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線。斜軸方位投影：中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線；緯線為任意曲線。2、圓柱投影

正軸圓柱投影：緯線為平行于赤道的直線，經(jīng)線為垂直于赤道的平行直線。橫軸圓柱投影(高斯投影投影)：中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線；赤道為直線，其他緯線為對稱于赤道的曲線。3、圓錐投影通常均指正軸圓錐投影。

正軸圓錐投影：緯線為同心圓弧，經(jīng)線為交于一點(diǎn)的放射狀直線束。

4、偽圓柱投影和偽圓錐投影

偽圓柱投影：緯線是平行于赤道的直線；中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線。偽圓錐投影：緯線為同心圓?。恢醒虢?jīng)線是直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線。5.多圓錐投影：緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。二．地圖上經(jīng)緯線形狀的判別

地圖上的經(jīng)緯線一般有直線、曲線、同心圓、同心圓弧、同軸圓弧幾種形式，其判斷方法如下：1、直線與曲線取一直尺，將經(jīng)線或緯線線段的兩個(gè)端點(diǎn)置于直尺的直線邊上，如果線段上的各點(diǎn)均位于直尺的直線邊上，則說明這條線段是直線，否則是曲線。

2、曲線與圓弧的判斷

用一塊透明紙蒙在曲線上，在曲線上按一定間隔出3～5個(gè)點(diǎn)，然后移動透明紙至曲線的另外位置，若透明紙上的點(diǎn)仍在這身線上，則說明此曲線為圓弧，否則為其他曲線。3、同心圓弧的判斷：

若每一個(gè)圓弧上的任一點(diǎn)與另一個(gè)圓弧的最短距離均相同，即相鄰圓弧之間的垂線處處等長，則這組圓弧為同心圓弧。4、同軸圓弧的判斷：

有一組圓弧，相鄰圓弧之間的垂線處處不相等，且左右對稱，這組圓弧就是向軸圓弧，即圓心不在一點(diǎn)而在一條直線上，這條直線一般是中央經(jīng)線。三、根據(jù)地圖上緯線間距變化規(guī)律判別地圖投影變形性質(zhì)1.等角投影：緯線間距是從地圖的中央向南北逐漸增大，并且增大具有一定規(guī)律。2.等積投影：緯線間距是從地圖中央向南北逐漸縮小，且縮小也有一定規(guī)律。3.等距投影：緯線間距相等。若緯線間隔迅速增大或縮小，則可能是任意投影哪個(gè)是等角圓錐投影？四、總結(jié)常見地圖投影經(jīng)緯線網(wǎng)形狀、緯線間隔變化以及主要制圖區(qū)域

投影名稱

經(jīng)緯線形狀

中經(jīng)線上緯線間隔的變化

主要制圖區(qū)

經(jīng)線緯線等差分緯線多圓錐投影

摩爾魏特投影

古德投影

墨卡托投影

任意圓柱投影

等距圓錐投影

等角圓錐投影

等積圓錐投影

彭納投影

桑生投影

正軸等距方位投影

橫軸等積方位投影

斜軸等積方位投影

橫軸等角方位投影中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線

中央經(jīng)線是直線，其他經(jīng)線為橢圓弧

有幾條中央經(jīng)線是直線，其余經(jīng)線是曲線

間隔相等的平行直線

間隔相等的平行直線

放射狀直線

放射狀直線

放射狀直線

中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線

中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線

放射狀直線

中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為與中央經(jīng)線對稱的曲線

中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為與中央經(jīng)線對稱的曲線

中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為圓弧赤道為直線，其余緯線為對稱于赤道的同軸圓弧

緯線是平行直線

緯線是平行直線

與經(jīng)線垂直的平行直線

與經(jīng)線垂直的平行直線

同心圓弧

同心圓弧

同心圓弧

同心圓弧

緯線為平行直線

同心圓

赤道為直線，其他緯線為與赤道對稱的曲線

任意曲線

赤道為直線，其他緯線為與赤道對稱的圓弧

從赤道向兩極稍有增大

由赤道向兩極逐漸縮小

緯度40’以下相等，緯度40’以上逐漸縮小

由低緯向高緯急劇增大

從赤道向兩極逐漸增大

相等

由地圖中心向南、北方向逐漸增大

由地圖中心向南、北方向逐漸縮小

相等

相等

相等

赤道向兩極逐漸縮小

從地圖中心向外逐漸縮小

從赤道向兩極逐漸擴(kuò)大世界圖

世界圖、半球圖

世界圖

世界圖、東南亞地區(qū)圖

世界圖

中緯度地區(qū)分國圖中緯度地區(qū)分國圖

大洲圖

亞洲圖、歐洲圖

非洲圖、南美洲圖

南北極地區(qū)圖、南、北半球圖

東、西半球圖、非洲圖

水、陸半球圖、大洲圖

東、西半球圖投影名稱1.正軸方位投影 2.正軸圓柱投影3.正軸圓錐投影4.偽方位投影5.偽圓柱投影6.偽圓錐投影7.多圓錐投影8.高斯-克呂格投影9.雙標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸等角圓錐投影10.正軸等角割圓錐投影11.正軸等積割圓錐投影12.正軸等距割圓錐投影13.彭納投影14.等差分緯線多圓錐投影15.正切差分緯線多圓錐投影16.墨卡托投影17.桑遜投影18.摩爾威特投影19.古德投影

實(shí)驗(yàn)十三、墨卡托投影圖一、目的要求：

掌握正軸圓柱投影經(jīng)緯網(wǎng)建立的方法，并通過在該投影圖上繪制等角航線與大圓航線，加深對墨卡托投影性質(zhì)的理解。二、具體任務(wù)：

1、以手工方法，按主比例尺為1：200000000，經(jīng)緯線網(wǎng)密度為10°，繪制墨卡托投影經(jīng)緯線網(wǎng)格，并轉(zhuǎn)繪大洲輪廓。

2、以指定的方法，繪出東京至舊金山之間的等角航線和大圓航線。三、實(shí)習(xí)步驟提要1．墨卡托投影經(jīng)緯網(wǎng)的建立方法(1)根據(jù)下列公式計(jì)算赤道周長(y)：Y=R*λ/MR:地球半徑(取6371km)，入:經(jīng)度(用弧度表示)，M:地圖比例尺分母。在圖紙中央稍下繪一直線代表赤道，然后按規(guī)定的經(jīng)線間隔將赤道等分，過各個(gè)等分點(diǎn)作與赤道垂直的直線，即為經(jīng)線。(2)根據(jù)下列公式計(jì)算各條緯線的平面直角坐標(biāo)(X)：X=R/0.43429*lgtan(45+φ/2)

式中的φ值，按規(guī)定的各條緯線的緯度代人，即求得各條緯線的平面直角坐標(biāo)值。然后在任一經(jīng)線上截取相應(yīng)的X值，從各截