第三章振動、波動和聲

第三章振動、波動和聲廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。

振動分類非線性振動線性振動受迫振動自由振動機(jī)械振動：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運動。振動在空間的傳播過程叫做波動如:無阻尼自由諧振動—簡諧振動3-1

簡諧振動簡諧振動：一個作往復(fù)運動的物體，如果其所受的回復(fù)力跟離開平衡位置的位移成正比、方向相反。一、簡諧振動的基本特征及其表示線性回復(fù)力簡諧振動的動力學(xué)特征彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置（取為坐標(biāo)原點）：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律物體—可看作質(zhì)點簡諧振動微分方程簡諧振動的微分方程積分得其通解為：簡諧振動的運動方程，A、是積分常量運動學(xué)特征四種簡諧振動的特征表述均等價。簡諧振動特點：等幅振動；周期振動二、描述簡諧振動的特征量1、振幅A簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件頻率：單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。2、周期、頻率、角頻率對彈簧振子角頻率周期T：物體完成一次全振動所需時間。0

是t=0時刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)(或.T).A和三個特征量確定，則諧振動方程就被唯一確定。相位差對兩同頻率的諧振動=20-10初相差當(dāng)

=2k,(k=0,1,2,…),兩振動步調(diào)相同,稱同相當(dāng)

=(2k+1),(k=0,1,2,…),

兩振動步調(diào)相反,稱反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相若=2-1>0,則x2比x1較早達(dá)到正最大,稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。超前和落后x2TxoA1-A1A2-A2x1t2

超前于1

或1滯后于

2

位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0xt+0t=toX諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTavxT/4T/4諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量法分析簡諧振動直觀、簡潔。t=0t+oxxt=t·1.解析法2.曲線法oxmx0=0

=/2oA-AtxT由：已知表達(dá)式A、T、已知A、T、表達(dá)式已知曲線A、T、曲線已知A、T、簡諧振動的描述方法：3、旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動的對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)諧振動旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅初相相位圓頻率諧振動周期半徑初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度圓周運動周期旋轉(zhuǎn)矢量確定初位相

例1：

一質(zhì)點沿x

軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當(dāng)t=0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x0

=0.06m,

此時刻質(zhì)點向x

正向運動。求此簡諧振動的表達(dá)式。解取平衡位置為坐標(biāo)原點。由題設(shè)T=2s，則A=0.12m由初條件x0

=0.06m，v00得簡諧振動的表達(dá)式為設(shè)簡諧振動的表達(dá)式為例2

已知某簡諧振動的速度與時間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1設(shè)振動方程為故振動方程為v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)四、

簡諧振動的能量(1)動能(2)勢能情況同動能。分析：分析：(3)機(jī)械能簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒xtTEEpEk(1/2)kA2oEt2.由起始能量求振幅一、同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為質(zhì)點同時參與同方向同頻率的諧振動:合振動:3-2

簡諧振動的合成如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強(qiáng)兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:合振動不是簡諧振動式中隨t緩變隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.同方向不同頻率簡諧振動的合成---拍分振動合振動當(dāng)21時,拍：合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)xtx2tx1t三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移討論合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點離開平衡位置的位移合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓所以質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。時，逆時針方向轉(zhuǎn)動。時，順時針方向轉(zhuǎn)動。*四、兩個相互垂直方向不同頻率的簡諧振動的合成如果兩個分振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比關(guān)系，這時合振動為有一定規(guī)則的穩(wěn)定的閉合曲線，這種曲線稱為利薩如圖形一、阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。3-3

阻尼振動受迫振動共振阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動力學(xué)方程振子受阻力系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻力系數(shù)弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動的準(zhǔn)周期二、受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力穩(wěn)定解(1)頻率:等于策動力的頻率(2)振幅:(3)初相:特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化阻尼振動簡諧振動三、共振在一定條件下,振幅出現(xiàn)極大值,振動劇烈的現(xiàn)象。1、位移共振(1)共振頻率:(2)共振振幅:2、速度共振一定條件下,速度振幅極大的現(xiàn)象。速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。波動是一切微觀粒子的屬性，與微觀粒子對應(yīng)的波稱為物質(zhì)波。各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有類似的波動方程。機(jī)械振動在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。聲波、水波3-4機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播波動一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件如果波動中使介質(zhì)各部分振動的回復(fù)力是彈性力，則稱為彈性波。彈性力：有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正彈性力而沒有切彈性力。1、有作機(jī)械振動的物體，即波源2、有連續(xù)的介質(zhì)二、縱波和橫波橫波——振動方向與傳播方向垂直，如電磁波縱波——振動方向與傳播方向相同，如聲波。橫波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生切變，只能在固體中傳播?？v波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生容變，能在固體、液體、氣體中傳播。結(jié)論：1、機(jī)械波向外傳播的是波源（及各質(zhì)點）的振動狀態(tài)和能量。2、波源完成一次全振動向后傳出播出一個完整的波（形）。所以，一個完整波形通過介質(zhì)中固定點所需的時間就是波源一次全振動的時間T三、波線和波面波場--波傳播到的空間。波面--波場中同一時刻振動位相相同的點的軌跡。波前（波陣面）--某時刻波源最初的振動狀態(tài)傳到的波面。波線（波射線）--代表波的傳播方向的射線。各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直.沿波線方向各質(zhì)點的振動相位依次落后。波線波面波面波線平面波球面波波面波線波線波面四、描述波動的幾個物理量振動狀態(tài)（即位相）在單位時間內(nèi)傳播的距離稱為波速1、波速u在固體媒質(zhì)中縱波波速為E為媒質(zhì)的楊氏彈性模量、為介質(zhì)的密度在固體媒質(zhì)中橫波波速為在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些G為媒質(zhì)的切變彈性模量、為介質(zhì)的密度3、波長2、波的周期和頻率波的周期：一個完整波形通過介質(zhì)中某固定點所需的時間，用T表示。(波前進(jìn)一個波長的距離所需要的時間）波的頻率：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點完整波的數(shù)目，用表示。同一波線上相鄰的位相差為2

的兩質(zhì)點的距離。介質(zhì)決定波源決定一、平面簡諧波的波動方程平面簡諧波簡諧波的波面是平面。(可當(dāng)作一維簡諧波研究）3-5

波動方程一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，x軸即為某一波線設(shè)原點振動表達(dá)式：y表示該處質(zhì)點偏離平衡位置的位移x為p點在x軸的坐標(biāo)p點的振動方程：則t時刻p處質(zhì)點的振動狀態(tài)是重復(fù)O點時刻的振動狀態(tài)O點振動狀態(tài)傳到p點需用就是沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程沿著波傳播方向，各質(zhì)點的振動依次落后于波源振動為p點的振動落后與原點振動的時間沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的波動方程若波源（原點）振動初位相不為零或波矢，表示在2長度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目。二、波動方程的物理意義1、如果給定x，即x=x0tTTx0處質(zhì)點的振動初相為為x0處質(zhì)點落后于原點的位相為x0處質(zhì)點的振動方程則y=y(t)若x0=

則x0處質(zhì)點落后于原點的位相為2是波在空間上的周期性的標(biāo)志2、如果給定t，即t=t0

則y=y(x)表示給定時刻波線上各質(zhì)點在同一時刻的位移分布，即給定了t0

時刻的波形同一波線上任意兩點的振動位相差XYOx1x2同一質(zhì)點在相鄰兩時刻的振動位相差T是波在時間上的周期性的標(biāo)志3.如x,t

均變化y=y(x,t)包含了不同時刻的波形t時刻的波形方程t+t時刻的波形方程t時刻,x處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過t

，傳播了x的距離在時間t內(nèi)整個波形沿波的傳播方向平移了一段距離x行波在時刻點的運動狀態(tài)（相位）和時間處的運動狀態(tài)想同。解：原點的振動方程波動方程：原點的振動方程波動方程：例3：如圖有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點的振動方程為（1）分別就圖中的兩種坐標(biāo)寫出其波動方程（2）寫出距P點為b的Q點的振動方程OPQXYuPQXOYuOPQXYuPQXOYu（2）寫出距P點為b的Q點的振動方程將將例4.一平面簡諧波沿x正方向傳播，振幅A＝10cm，圓頻率當(dāng)t=1.0s時，位于x=10cm處的質(zhì)點a經(jīng)過平衡位置向y軸負(fù)方向運動。此時,位于x=20cm處的質(zhì)點b的位移為5cm,且向y軸正方向運動。設(shè)該波波長，試求該波的波動方程。解：設(shè)該波的波動方程為：求解的關(guān)鍵是求出波速u及原點的初位相由題意知t=1.0s時a點（x=10cm）運動狀態(tài)：所以XOabu取故得波動方程為時，b點的位相只能?。ㄟ€考慮了以及的條件。）注意b點落后于a點，故同一時刻（t=1.0s)a點的位相取同理XOabu一、波的能量和能量密度波不僅是振動狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振動能量的傳播。有一平面簡諧波質(zhì)量為在x處取一體積元質(zhì)點的振動速度3-6

波的能量體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點動能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的彈性勢能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總機(jī)械能量為：1）在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時達(dá)到最大，同時等于零。說明不斷從前一體元吸收能量，向后一體元釋放能量體積元△V內(nèi)的能量在02）在波傳動過程中，任意體積元的總的機(jī)械能量不守恒。在能量由零增大到幅值的過程中，該體元吸收能量；在能量由幅值減小到零的過程中，該體元放出能量體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總機(jī)械能量為：能量密度單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。平均能量密度一個周期內(nèi)能量密度的平均值。適用于平面簡諧橫波、縱波平均講來，該體元的能量密度保持不變能流:單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一垂直波線的截面的能量。二、波的能流和能流密度波強(qiáng)平均能流：在一個周期內(nèi)能流的平均值。能流密度（波的強(qiáng)度）：通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能量。三、波的吸收波在實際介質(zhì)中，由于波動能量總有一部分會被介質(zhì)吸收，波的機(jī)械能不斷減少，波強(qiáng)亦逐漸減弱。波通過厚度為dx的介質(zhì)，其強(qiáng)度衰減量為-dI介質(zhì)的吸收系數(shù)與介質(zhì)的性質(zhì)和波的頻率有關(guān)一、惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中波陣面（波前）上的各點，都可以看作為發(fā)射子波的波源，其后一時刻這些子波的包跡便是新的波陣面。3-7波的疊加原理波的干涉t時刻波面

t+t時刻波面波的傳播方向如你家在大山后,聽廣播和看電視哪個更容易?(若廣播臺、電視臺都在山前側(cè))電視信號波長短，沿直線傳播，受山區(qū)阻擋，不易發(fā)生衍射，所以需要轉(zhuǎn)播；而無線電廣播信號可以直接到達(dá)，不需要轉(zhuǎn)播。二、波的疊加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）不變，與各波單獨傳播時一樣，而在相遇處各質(zhì)點的振動則是各列波在該處激起的振動的合成。波傳播的獨立性原理或波的疊加原理：說明：振動的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點上波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點上能分辨不同的聲音正是這個原因兩列波若頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相相同或位相差恒定，則合成波場中會出現(xiàn)某些點的振動始終加強(qiáng)，另一點的振動始終減弱（或完全抵消），這種現(xiàn)象稱為波的干涉。相干條件具有恒定的相位差振動方向相同兩波源具有相同的頻率滿足相干條件的波源稱為相干波源。三、波的干涉現(xiàn)象和規(guī)律傳播到p點引起的振動分別為：在p點的振動為同方向同頻率振動的合成。設(shè)有兩個相干波源S1和S2發(fā)出的簡諧波在空間p點相遇。合成振動為：其中：對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強(qiáng)度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。其中：由于波的強(qiáng)度正比于振幅，所以合振動的強(qiáng)度為：相長干涉的條件：相消干涉的條件：當(dāng)兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為相長干涉相消干涉稱為波程差波的非相干疊加例5

位于A、B兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是100赫茲，相位差為，其A、B相距30米，波速為400米/秒，求:A、B連線之間因相干干涉而靜止的各點的位置。解：如圖所示，取A點為坐標(biāo)原點，A、B聯(lián)線為X軸，取A點的振動方程:在X軸上A點發(fā)出的行波方程：B點的振動方程:B點的振動方程:在X軸上B點發(fā)出的行波方程：因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜止的點滿足：相干相消的點需滿足：因為：四、駐波當(dāng)兩列振幅相同的相干波沿同一直線相向傳播時，合成的波是一種波形不隨時間變化的波，稱為駐波。

將弦線的一端系于電動音叉的一臂上，弦線的另一端系一砝碼，砝碼通過定滑輪P對弦線提供一定的張力，調(diào)節(jié)刀口B的位置，就會在弦線上出現(xiàn)駐波。1、駐波方程取兩波的振動相位始終相同的點作坐標(biāo)軸的原點函數(shù)不滿足它不是行波它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不同而不同。

駐波的特點：不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動。（1）、波腹與波節(jié)駐波振幅分布特點2、駐波的特點相鄰波腹間的距離為：相鄰波節(jié)間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。（2）、駐波的位相的分布特點時間部分提供的相位對于所有的

x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。

在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達(dá)到反向最大或同時達(dá)到反向最小。速度方向相反。兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達(dá)到最大或同時達(dá)到最小。速度方向相同。3-8聲波聲波：客觀上是聲振動在彈性介質(zhì)中的傳播，主觀上是這種物理現(xiàn)象可引起人的聽覺。聲波：可聽聲頻率20Hz~20000Hz

次聲頻率<20Hz

超聲頻率>20000Hz聲波是縱波，可在固、液、氣態(tài)中傳播聲的主要特征量：頻率和聲壓一、聲壓、聲強(qiáng)和聲強(qiáng)級

1．聲壓：當(dāng)聲波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的密度作周期性變化，稠密時壓強(qiáng)大，稀疏時壓強(qiáng)小，在某一時刻，介質(zhì)中某一點的壓強(qiáng)與無聲波時的壓強(qiáng)之差。若聲波方程為：則可以證明：聲壓的幅值：2．聲阻抗聲阻抗是表征介質(zhì)聲學(xué)特性的一個重要物理量聲壓的單位即壓強(qiáng)的單位N/m2,聲阻抗的單位是kg.m-2.s-1。討論：（1）聲壓與介質(zhì)振動速度具有相同位相，（2）聲壓超前位移/2，（4）聲壓一定，聲阻抗與介質(zhì)振動速度幅值成反比，（5）要注意聲速與介質(zhì)振動速度區(qū)別。3.聲強(qiáng)：單位時間通過單位面積（與聲速垂直）的平均能量，也叫能流密度。例6：1000hz的痛域強(qiáng)度I=1W/m2在聽覺區(qū)域中，聲強(qiáng)差別很大，但人耳主觀感覺差別并沒有這樣大。因此用聲強(qiáng)級來表示聲音強(qiáng)度的等級。4．聲強(qiáng)級：例7：已知兩聲強(qiáng)級之差為20dB，求兩聲強(qiáng)之比。表3-2幾種聲音的聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級聲源 聲強(qiáng)（w/m2）聲強(qiáng)級（dB） 引起聽覺傷害的聲音 100 140 炮聲1 120 引起痛覺的聲音 1 120 鉆巖機(jī)或鉚釘機(jī) 10－2 100 鬧市車聲 10－５

70 通常的談話 10－6 60 耳語 10－10 2