第五講數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析以及概率模型

第五講

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析以及概率模型1MATLAB中統(tǒng)計(jì)工具箱中的基本統(tǒng)計(jì)命令2概率模型2/3/20231一MATLAB中統(tǒng)計(jì)工具箱中的基本統(tǒng)計(jì)命令1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用2.基本統(tǒng)計(jì)量3.常見的概率分布函數(shù)4.頻數(shù)直方圖的描繪5.參數(shù)估計(jì)6.假設(shè)檢驗(yàn)7.綜合實(shí)例返回2/3/20232一、數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用例1

上海市區(qū)社會商品零售總額和全民所有制職工工資總額的數(shù)據(jù)如下：統(tǒng)計(jì)工具箱中的基本統(tǒng)計(jì)命令2/3/202331．年份數(shù)據(jù)以1為增量，用產(chǎn)生向量的方法輸入.

命令格式：x=a:h:b

t=78:87

2．分別以x和y代表變量職工工資總額和商品零售總額.

x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4]

y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]3．將變量t、x、y的數(shù)據(jù)保存在文件data中.savedatatxy

4．進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，調(diào)用數(shù)據(jù)文件data中的數(shù)據(jù).

loaddataToMATLAB(txy)方法12/3/202341．輸入矩陣：data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]2．將矩陣data的數(shù)據(jù)保存在文件data1中：savedata1data3．進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，先用命令：loaddata1

調(diào)用數(shù)據(jù)文件data1中的數(shù)據(jù)，再用以下命令分別將矩陣data的第一、二、三行的數(shù)據(jù)賦給變量t、x、y：

t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要調(diào)用矩陣data的第j列的數(shù)據(jù)，可用命令：

data(:,j)方法2ToMATLAB(data)返回2/3/20235基本統(tǒng)計(jì)量2/3/202362/3/20237二、基本統(tǒng)計(jì)量對隨機(jī)變量x，計(jì)算其基本統(tǒng)計(jì)量的命令如下：均值：mean(x)中位數(shù)：median(x)標(biāo)準(zhǔn)差：std(x)

方差：var(x)偏度：skewness(x)

峰度：kurtosis(x)例對例1中的職工工資總額x，可計(jì)算上述基本統(tǒng)計(jì)量.ToMATLAB(tjl)返回2/3/20238三、常見概率分布的函數(shù)MATLAB工具箱對每一種分布都提供5類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：pdf

概率分布：cdf逆概率分布：inv

均值與方差：stat隨機(jī)數(shù)生成：rnd（當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時(shí)，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.）2/3/20239在MATLAB中輸入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1．密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma)(當(dāng)mu=0,sigma=1時(shí)可缺省)ToMATLAB(liti2)如對均值為mu、標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：2/3/202310ToMATLAB(liti3)2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)4．均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正態(tài)分布N(3,52)的均值與方差.

命令為：[m,v]=normstat(3,5)

結(jié)果為：m=3,v=25ToMATLAB(liti5)2/3/2023111．給出數(shù)組data的頻數(shù)表的命令為：

[N,X]=hist(data,k)

此命令將區(qū)間[min(data),max(data)]分為k個小區(qū)間（缺省為10），返回?cái)?shù)組data落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個小區(qū)間的中點(diǎn)X.2．描繪數(shù)組data的頻數(shù)直方圖的命令為：

hist(data,k)四、數(shù)直方圖的描繪返回2/3/202312五、參數(shù)估計(jì)1．正態(tài)總體的參數(shù)估計(jì)設(shè)總體服從正態(tài)分布，則其點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)可同時(shí)由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令在顯著性水平alpha下估計(jì)數(shù)據(jù)X的參數(shù)（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），返回值muhat是X的均值的點(diǎn)估計(jì)值，sigmahat是標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值,muci是均值的區(qū)間估計(jì),sigmaci是標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì).2/3/2023132．其它分布的參數(shù)估計(jì)有兩種處理辦法:一、取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；二、使用MATLAB工具箱中具有特定分布總體的估計(jì)命令.（1）[muhat,muci]=expfit(X,alpha)──在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).（2）[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)──在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).（3）[phat,pci]=weibfit(X,alpha)──在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).返回2/3/202314六、假設(shè)檢驗(yàn)在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).1．總體方差已知時(shí)，總體均值的檢驗(yàn)使用z檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中sigma為已知方差，alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci

為均值的1-alpha置信區(qū)間.2/3/202315

例7MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat.中提供了美國1993年1月份和2月份的汽油平均價(jià)格（price1,price2分別是1、2月份的油價(jià)，單位為美分），它是容量為20的雙樣本.假設(shè)1月份油價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)偏差是每加侖4分幣（=4），試檢驗(yàn)1月份油價(jià)的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令：

loadgas然后用以下命令檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)返回：h=0，sig=0.8668，ci=[113.3970116.9030].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=0,表示不拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)均值115

是合理的.2.sig值為0.8668,遠(yuǎn)超過0.5,不能拒絕零假設(shè)

3.95%的置信區(qū)間為[113.4,116.9],它完全包括115,且精度很高..

ToMATLAB（liti7）2/3/2023162．總體方差未知時(shí)，總體均值的檢驗(yàn)使用t檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci

為均值的1-alpha置信區(qū)間.2/3/202317返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=[116.8120.2].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)油價(jià)均值115是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[116.8120.2],它不包括

115,故不能接受假設(shè).3.sig值為4.9517e-004,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受零假設(shè).

ToMATLAB（liti8）例8試檢驗(yàn)例8中2月份油價(jià)price2的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115，price2為2月份的油價(jià)，不知其方差，故用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest(price2,115)2/3/2023183．兩總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)使用t

檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x，y的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于y的均值”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于y的均值”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于y的均值”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci

為與x與y均值差的的1-alpha置信區(qū)間.2/3/202319返回：h=1，sig=0.0083，ci=[-5.8,-0.9].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)“油價(jià)均值相同”是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[-5.8,-0.9],說明一月份油價(jià)比二月份油價(jià)約低1至6分.3.sig-值為0.0083,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受“油價(jià)均相同”假設(shè).ToMATLAB（liti9）例9試檢驗(yàn)例8中1月份油價(jià)price1與2月份的油價(jià)price2均值是否相同.解用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest2(price1,price2)2/3/2023204．非參數(shù)檢驗(yàn)：總體分布的檢驗(yàn)MATLAB工具箱提供了兩個對總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)的命令:（1）h=normplot(x)（2）h=weibplot(x)此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài).此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形態(tài).返回2/3/202321分布函數(shù)的近似求法2/3/2023222/3/2023232/3/202324返回F（10，50）分布的密度函數(shù)曲線2/3/202325例10

一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)故障.故障是完全隨機(jī)的，并假定生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障機(jī)會均相同.工作人員是通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障紀(jì)錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)如下：

459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851試觀察該刀具出現(xiàn)故障時(shí)完成的零件數(shù)屬于哪種分布.2/3/202326解1．?dāng)?shù)據(jù)輸入ToMATLAB（liti101）2．作頻數(shù)直方圖

hist(x,10)

3．分布的正態(tài)性檢驗(yàn)

normplot(x)4．參數(shù)估計(jì)：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)（看起來刀具壽命服從正態(tài)分布）（刀具壽命近似服從正態(tài)分布）估計(jì)出該刀具的均值為594，方差204，均值的0.95置信區(qū)間為[553.4962，634.5038]，方差的0.95置信區(qū)間為[179.2276，237.1329].ToMATLAB（liti104）ToMATLAB（liti102）ToMATLAB（liti103）2/3/2023275．假設(shè)檢驗(yàn)ToMATLAB（liti105）已知刀具的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)在方差未知的情況下，檢驗(yàn)其均值m是否等于594.結(jié)果：h=0，sig=1，ci=[553.4962，634.5038].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=0,表示不拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)壽命均值594是合理的.2.95%的置信區(qū)間為[553.5，634.5],它完全包括594,且精度很高.3.sig值為1,遠(yuǎn)超過0.5,不能拒絕零假設(shè).

返回2/3/202328第五講

概率模型1軋鋼中的浪費(fèi)2隨機(jī)存儲策略2/3/202329確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型2/3/2023301軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報(bào)廢隨機(jī)因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景2/3/202331分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作x~N(m,2)切掉多余部分的概率整根報(bào)廢的概率存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′2/3/202332建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報(bào)廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)=+粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度粗軋N根成品材

PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費(fèi)長度mN-lPN2/3/202333選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度得到一根成品材平均浪費(fèi)長度更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最?。ㄒ阎猯,

）建模粗軋N根得成品材

PN根2/3/202334求解求z使J(z)最小（已知

）2/3/202335求解2/3/202336例設(shè)l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費(fèi)最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z2/3/2023372隨機(jī)存貯策略問題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當(dāng)周末庫存小于s時(shí)訂貨，使下周初的庫存達(dá)到S;否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小2/3/202338模型假設(shè)