Ch5非線性振動(dòng)分析

第五講非線性振動(dòng)分析非線性系統(tǒng)的定性分析方法的局限性包括相平面法在內(nèi)的一類非線性系統(tǒng)的分析方法是定性分析方法；定性分析方法一般只能針對(duì)自治系統(tǒng)進(jìn)行分析；定性分析方法不能揭示動(dòng)態(tài)特性參數(shù)(頻率、振幅)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。非線性系統(tǒng)的定量解析分析方法平均法多尺度法漸近法諧波平衡法攝動(dòng)法林滋泰德—龐卡萊法定量解析分析方法的局限性研究對(duì)象通常為弱非線性系統(tǒng)；非線性項(xiàng)為小量，可視為線性系統(tǒng)的某種攝動(dòng)，從而基于線性系統(tǒng)解尋求非線性系統(tǒng)的近似解；通常只能針對(duì)單自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析求解。平均法常數(shù)變易法；參數(shù)變易法；慢變振幅法

參考書(shū)：J.ASanders，Averagingmethodsinnonlineardynamicalsystems,Springer-Verlag,New-York,1986.1.攝動(dòng)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型

(perturbationprobleminthestandardform)攝動(dòng)問(wèn)題：無(wú)攝動(dòng)問(wèn)題：假設(shè)該無(wú)攝動(dòng)問(wèn)題有解析解，且該解與初值有關(guān)。因此有定義變換（參數(shù)變易法、常數(shù)變易法）進(jìn)行微分得到：對(duì)解假設(shè)矩陣是滿秩的，則有該式被稱為“攝動(dòng)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型”。由于該式針對(duì)的問(wèn)題過(guò)于一般，在應(yīng)用上并不方便。因此基于這種參數(shù)變易法的思想研究一些特殊問(wèn)題，更具有工程價(jià)值。2.偽線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型

(Thestandardforminquasi-linearcase)考慮偽線性系統(tǒng)，其中。其無(wú)攝動(dòng)系統(tǒng)可寫(xiě)為且有滿維獨(dú)立解構(gòu)成的基礎(chǔ)矩陣(fundamentalmatrix)為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，選擇基礎(chǔ)矩陣?yán)脴?biāo)準(zhǔn)的常數(shù)變易過(guò)程，設(shè)我們能得到若矩陣為定常矩陣，則我們有基礎(chǔ)矩陣則標(biāo)準(zhǔn)型變?yōu)槔?.1（慢變振幅法）考慮非線性振動(dòng)系統(tǒng)其無(wú)攝動(dòng)系統(tǒng)為該無(wú)攝動(dòng)系統(tǒng)的解為則常數(shù)變易變換為則該系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)攝動(dòng)方程為例5.2相-幅變換法例5.3（vander

Pol）方程利用相幅變換：，該系統(tǒng)的攝動(dòng)方程變?yōu)槠淦骄噶繄?chǎng)為：則其近似系統(tǒng)為可見(jiàn)通過(guò)平均方法，把原來(lái)的時(shí)變系統(tǒng)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了定常系統(tǒng)的分析問(wèn)題。例5.4具體研究系統(tǒng)：其平均近似系統(tǒng)為顯然，，是兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解。初值為時(shí)，系統(tǒng)的解為系統(tǒng)原點(diǎn)；初值為時(shí)，為周期解，一般地，該系統(tǒng)的解為系統(tǒng)的解例5.5例5.6反例5.2自激振動(dòng)徐銘陶，肖明葵，《工程動(dòng)力學(xué)——振動(dòng)與控制》，機(jī)械工業(yè)出版社，2004.（4.7節(jié)非線性自主振動(dòng)系統(tǒng)）

海盜船水車蒸汽機(jī)車機(jī)械表擒縱機(jī)構(gòu)自激振動(dòng)：

自主地從定常能源汲取能量，以系統(tǒng)狀態(tài)為調(diào)節(jié)器，控制能量的交變輸入，當(dāng)輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)維持等副振動(dòng)，稱為自激振動(dòng)。自激振動(dòng)的三特征：耗散的振動(dòng)系統(tǒng)；外部定常能源；狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器。自激振動(dòng)系統(tǒng)的定性與定量分析其平均近似系統(tǒng)為一般地，該系統(tǒng)的解為傳輸帶干摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)斜波上的被動(dòng)步行腿式機(jī)器人5.3參數(shù)振動(dòng)徐銘陶，肖明葵，《工程動(dòng)力學(xué)——振動(dòng)與控制》，機(jī)械工業(yè)出版社，2004.（4.8節(jié)線性參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)）參數(shù)振動(dòng)：存在外激勵(lì)的條件下，由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的周期變化而引起的系統(tǒng)振動(dòng)。參變系統(tǒng)的一般方程其中，為周期函數(shù)。——W.Hill方程，1877年Hill在研究月球運(yùn)動(dòng)時(shí)建立的.進(jìn)一步，很多系統(tǒng)可表示為——E.Mathieu方程，1868年研究橢圓薄膜振動(dòng)時(shí)建立的。在某些實(shí)際情況下，該方程可簡(jiǎn)化為參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的特征：參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)中存在能量的輸入與耗散，是非保守系統(tǒng)；參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)(時(shí)變系統(tǒng))；參數(shù)振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互作用關(guān)系。例：基座振動(dòng)的倒置單擺

設(shè)單擺的長(zhǎng)度為，支撐的振動(dòng)規(guī)律