高中數(shù)學梯子長度問題

梯子問題及其延生如圖所示,在一面墻壁后有一個很大的緊靠著樓房的溫室,溫室寬a米,高b米?，F(xiàn)有一架l米長的梯子,當長度l符合什么條件時，能將這架梯子的一端放在地上,另一端靠在樓房的墻上,使得梯子不碰壞溫室棚?這顯而易見就是一個極值問題，當長度l為多少時梯子剛好能碰到點O，且此時l為最短設MA的長度為x,則可以用a、b、x表示AB的長度l得然后用圖形計算器求得該函數(shù)極小值點為代入x求得極小值為首先我的想法是直接引入未知數(shù)x設MA的長度計算，以求得l的長度如圖所示，在L型走廊中,需要將一個長為p，寬為q的搬運貨物用的手推車沿走廊推過直角拐角設拐彎前的走廊寬b，拐彎后的走廊寬a，現(xiàn)已知a>q，b>q，問當p在什么范圍該手推車能安穩(wěn)的推過拐角?現(xiàn)在將梯子問題延伸與梯子問題類似，我們用相同的方法去解決這個問題。將AB延長，則成為了跟原來一樣的梯子問題了（不過變成求極小值）此時由之前的式子得出l的最小值為代入可得再根據(jù)基本不等式，得出q的最小值這說明現(xiàn)在可用a、b、p三個數(shù)值求出q的最小值隨后就可以用逆公式推出a、b、q三個數(shù)值求出p的最小值。

然而經(jīng)驗證之后得出結(jié)果卻是錯誤的其實結(jié)果與真實值不符十分容易理解，首先將手推車這種“面”,用“線”去代替是十分不合理的，要知道p和q要取得最大值時l不一定取得最大值，這也不過是一種沒根據(jù)的猜想罷了。但是用這種思路已經(jīng)無法去解決這個問題了，雖然在這問題上花費了許多時間，雖然很不舍，但只能換種解決方法了由于現(xiàn)在的手推車問題比較復雜，應當先轉(zhuǎn)化為簡單的梯子問題其實當時在做梯子問題時我就有一種新的思路，一開始我們是設AM為多少時取得l的極值，那么我們不也可以設梯子與地面所成的角度為多少時l的長度取得極值？如圖所示我們將角BAP設為x，則l可以表示為隨后用圖形計算器求導求得極值點，此時角度x取到最后帶入方程，可以解得與上次所得完全相同現(xiàn)在，我們用一下角度的方法求一下這個手推車問題。與原方法類似。

如圖，將其中的一個角度設為x，p則為AB，則我們可以將p分解為AO以及BO兩部分，其中則我們可以將p表示為

隨后用上述的函數(shù)求導，結(jié)果用圖形計算器也求不出來此方程的導數(shù)為0時x的值……

但是我們可以求得一個相對簡便的式子。

p取得極值時，x符合條件隨后將x帶入獲得p值的最大值，隨后賦值用圖形計算器驗算

同理，我們可以用a、b、p來求得q的最大值因為

q取得極值時，x符合條件隨后將x帶入可獲得q值的最大值，隨后賦值用圖形計算器驗算

同理，我們可以用p、q、b來計算a的最小值首先用p、q、b來表示a，此時

a取得極值時，x符合條件

隨后將x帶入可獲得a值的最小值，隨后賦值用圖形計算器驗算