大學(xué)物理第05章-剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

第5章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)本章內(nèi)容5.1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述5.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算5.3轉(zhuǎn)動(dòng)定律5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用5.5角動(dòng)量守恒5.6轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.7*進(jìn)動(dòng)5.1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體可以看成是很多質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系，且在外力作用下，各個(gè)質(zhì)元的相對(duì)位置保持不變剛體在受力時(shí)不改變形狀和體積的物體剛體是固體物件的理想化模型平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來處理剛體的平動(dòng)問題。注：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。P點(diǎn)線速度P點(diǎn)線加速度旋轉(zhuǎn)(切向)加速度向軸(法向)加速度瞬時(shí)軸vωrrP×基點(diǎn)O剛體剛體繞O的轉(zhuǎn)動(dòng)其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時(shí)軸的方向及轉(zhuǎn)動(dòng)快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量5.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算質(zhì)元：組成物體的微顆粒元質(zhì)元對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為沿轉(zhuǎn)軸Oz的投影為剛體對(duì)Oz軸的角動(dòng)量為令為剛體對(duì)Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。結(jié)論：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：（面質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）（體質(zhì)量分布）例1.

計(jì)算質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的細(xì)棒繞一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。oxzdxdmx解：O1.將棒彎一半成90度;2.將Z軸移至細(xì)棒中心位置;oR例2.一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：rdr1.將圓盤切成一半;2.將軸平行移至與盤邊緣相切處;3.將Z軸移至通過圓心并在圓面上;mRJz平行軸定理若剛體對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則剛體對(duì)與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是Jc平行軸定理證明:平行=m質(zhì)心=0

對(duì)薄平板剛體的正交軸定理y

rixz

yi

xi

mi

Δ例3.

已知圓盤JZ=0.5mR2,求對(duì)圓盤的一條直徑的Jx

yxz

圓盤RCm由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142回轉(zhuǎn)半徑設(shè)物體的總質(zhì)量為m，剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則定義物體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑rG為：z例4.計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為r，擺桿質(zhì)量也為m，長(zhǎng)度為2r）ro解：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：解題思路1.確定研究對(duì)象屬性;2.寫出擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;3.寫出擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;4.計(jì)算鐘擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;5.3轉(zhuǎn)動(dòng)定律

由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理，可得兩邊乘以dt，并積分剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理：在某一時(shí)間段內(nèi)，作用在剛體上的外力之沖量矩等于剛體的角動(dòng)量增量。當(dāng)J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)恒量時(shí)，有或剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度例5.質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為R=0.15m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體。求（1）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。解：MmmgTm1?例6.一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在o點(diǎn)，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。解：（1）coBA（2）coBA例7.一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為o，繞中o心旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為）or解drR3-1-4剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理恒量當(dāng)時(shí)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。說明：1.物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積不變。方向也不變。2.幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)該公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)此軸的總角動(dòng)量守恒常平架回轉(zhuǎn)儀裝置軸承光滑，在不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，空氣與軸摩擦阻力的沖量矩和回轉(zhuǎn)儀的角動(dòng)量相比是很小的!可近似認(rèn)為:角動(dòng)量守恒，矢量方向不變表現(xiàn)為轉(zhuǎn)軸方向不變，大小不變表現(xiàn)為回轉(zhuǎn)儀的恒定角速率轉(zhuǎn)動(dòng)

軍艦的穩(wěn)定性例8.質(zhì)量為M0，半徑為R的轉(zhuǎn)盤,可繞鉛直軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng),初角速度為零,一質(zhì)量為m的人,在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對(duì)圓盤勻速跑動(dòng),如圖所示.求當(dāng)人在轉(zhuǎn)盤上運(yùn)動(dòng)一周回到盤上的原位置時(shí),轉(zhuǎn)盤相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度。解：由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒知:設(shè)人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤角速度為orR轉(zhuǎn)盤相對(duì)于地的角速度為解題思路寫出人的絕對(duì)角速度;運(yùn)用角動(dòng)量守恒定理;積分求解;3-1-5力矩的功力矩：力矩對(duì)剛體所作的功：功率：力矩對(duì)剛體的瞬時(shí)功率等于力矩和角速度的乘積。3-1-6剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和動(dòng)能定理zmi第i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：設(shè)在外力矩M的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d

元功：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。例9.質(zhì)量為M，長(zhǎng)為2l的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。設(shè)為彈性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解：由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒解題思路寫出角動(dòng)量守恒表達(dá)式;寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式;解方程組;小球作為剛體,對(duì)定軸角動(dòng)量為:機(jī)械能守恒設(shè)碰撞時(shí)間為t消去tyou由沖量與沖量矩例10.一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為30°。問子彈的初速度為多少。解：角動(dòng)量守恒：oalv30°子彈作為剛體,射入前的角動(dòng)量：射入后,子彈與桿作為一個(gè)剛體的角動(dòng)量：機(jī)械能守恒：oalv30°例11.一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞由細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度為多大？mgmMm解：T解題思路寫出剛體動(dòng)能定理表達(dá)式;寫出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理表達(dá)式;解方程組;由力矩對(duì)剛體作功可知：由力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功可知：也可視為力矩對(duì)剛體作功!mgmMmT例12.長(zhǎng)為l的均質(zhì)細(xì)直桿OA，一端懸于O點(diǎn)鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于O點(diǎn)，擺線長(zhǎng)也為l，擺球質(zhì)量為m。現(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，擺球在A處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試求：⑴細(xì)直桿的質(zhì)量M；⑵碰撞后細(xì)直桿擺動(dòng)的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角動(dòng)量守恒定律系統(tǒng)的動(dòng)能守恒解題思路寫出剛體角動(dòng)量守恒表達(dá)式;由動(dòng)能不變列出表達(dá)式;確定質(zhì)量;寫出機(jī)械能守恒表達(dá)式;計(jì)算出角度;解得系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有桿與地球構(gòu)成系統(tǒng)，只有重力做功,機(jī)械能守恒初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

則：

12402Jmglowq-=sin

(1)例13.已知均勻直桿質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l,初始水平靜止,軸光滑,AO=l/4.求桿下擺θ角度后,角速度為多少?軸對(duì)桿作用力為多少?解

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()mghmv=122vghT=2(1)例14.如圖所示已知:M=2m,h,θ=600,求:碰撞后瞬間盤的角速度是多少?P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤的角速度是多少?解

m下落:碰撞t極小，對(duì)m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對(duì)m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時(shí)EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR222汽車的驅(qū)動(dòng)力、打滑、翻車ＭＦ２Ｆ１一、驅(qū)動(dòng)力問題汽車發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的燃?xì)鈮毫ν苿?dòng)汽缸內(nèi)的活塞經(jīng)過傳導(dǎo)動(dòng)機(jī)構(gòu)傳到后輪上，對(duì)后輪作用一個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩Ｍ，而地面給后輪一個(gè)摩擦力Ｆ１，（主動(dòng)輪），前輪為從動(dòng)輪，有前滑的趨勢(shì)，地面對(duì)前輪有一個(gè)向后的摩擦力Ｆ２，只有當(dāng)Ｆ１＞Ｆ２時(shí)，汽車才能前進(jìn)，如果后輪不能提供足夠的摩擦力，此時(shí)發(fā)生打