【教案】導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（第1課時）教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用《5.1.1變化率問題》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程，體會求瞬時速度的一般方法.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解平均速度、瞬時速度的概念及算法教學(xué)難點(diǎn)：平均速度與瞬時速度課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【導(dǎo)入新課】問題1：閱讀課本第58~61頁，回答下列問題：（1）本章將要探究哪類問題？（2）本章要探究的對象在高中的地位是怎樣的？（3）貫穿本章的一條主線是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：章引言包括三方面的內(nèi)容：一是簡明地指出了函數(shù)與微積分的關(guān)系，微積分的研究對象就是函數(shù)，正是在對函數(shù)的深入研究中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了微積分；二是概述了微積分的創(chuàng)立史，以及它在數(shù)學(xué)和科學(xué)發(fā)展中的地位；三是概述了本章的內(nèi)容和重要思想方法．導(dǎo)數(shù)是瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)．章頭圖展示了生活中最常見的一種變化率——運(yùn)動速度．速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，因此，教科書以高臺跳水運(yùn)動模型（近似看成豎直上拋運(yùn)動）作為貫穿全章的主線問題，導(dǎo)數(shù)概念的引入，函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系等都以此為背景，這有利于學(xué)生借助同一個典型的運(yùn)動模型理解導(dǎo)數(shù)的概念，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：通過章引言的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步構(gòu)建學(xué)習(xí)內(nèi)容的思維框架．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．回顧：在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對數(shù)增長”是越來越慢的，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多．問題2：進(jìn)一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢？設(shè)計(jì)意圖：通過對函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感受不同函數(shù)變化快慢的問題，同時引入新課．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【探究新知】問題情景在一次高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.思考1：如何描述運(yùn)動員從起跳到入水的過程中運(yùn)動的快慢程度呢？師生活動：直覺告訴我們，運(yùn)動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運(yùn)動的越來越慢，在下降階段運(yùn)動的越來越快，我們可以把整個運(yùn)動時間段分成許多小段，用運(yùn)動員在每段時間內(nèi)的平均速度v近似的描述它的運(yùn)動狀態(tài)．例如，在這段時間里，；在這段時間里，.知識點(diǎn)1：平均速度一般地，在這段時間里，.問題3：計(jì)算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度，發(fā)現(xiàn)了什么？用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？師生活動：學(xué)生思考，舉手回答，教師講解．教師總結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動員在這段時間里的平均速度為0.顯然，在這段時間內(nèi)，運(yùn)動員并不處于靜止?fàn)顟B(tài).因此，用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動員在這一時間段里的運(yùn)動狀態(tài).設(shè)計(jì)意圖：通過物體運(yùn)動問題，抽象出函數(shù)平均變化率、平均速度的概念．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．知識點(diǎn)2：瞬時速度為了精確刻畫運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.問題4：瞬時速度與平均速度有什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生分小組討論，每組選出一位代表回答，教師總結(jié)、講解教師總結(jié)：設(shè)運(yùn)動員在時刻附近某一時間段內(nèi)的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于運(yùn)動員在時刻的瞬時速度.設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出平均速度與瞬時速度的概念．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．問題5：你能利用平均速度與瞬時速度的關(guān)系求運(yùn)動員在t=1s時的瞬時速度嗎？師生活動：學(xué)生分小組討論，每組選出一位代表回答，教師總結(jié)、講解教師講解：為了求運(yùn)動員在時的瞬時速度，我們在之后或之前，任意取一個時刻，是時間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.當(dāng)時，在1之后；當(dāng)時，在1之前.當(dāng)時，把運(yùn)動員在時間段內(nèi)近似看成做勻速直線運(yùn)動，計(jì)算時間段內(nèi)的平均速度，用平均速度近似表示運(yùn)動員在時的瞬時速度.當(dāng)時，在時間段內(nèi)可作類似處理.為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格.當(dāng)時，在時間段內(nèi)當(dāng)時，在時間段內(nèi)…………問題6：給出更多的值，利用計(jì)算工具計(jì)算對應(yīng)的平均速度的值.當(dāng)無限趨近于0時，平均速度有什么變化趨勢？師生活動：學(xué)生一起觀察、歸納，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)無限趨近于0，即無論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度都無限趨近于.教師講解：由可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于，這與前面得到的結(jié)論一致.數(shù)學(xué)中，我們把叫做“當(dāng)無限趨近于0時，的極限”，記為.從物理的角度看，當(dāng)時間間隔無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于時的瞬時速度.因此，運(yùn)動員在時的瞬時速度.設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出瞬時速度的求解，在此過程中，使學(xué)生理解解決瞬時速度問題的方法，感受其中蘊(yùn)含的極限思想．【鞏固練習(xí)】例1在一次高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.（1）求運(yùn)動員在t=2s時的瞬時速度；（2）如何求運(yùn)動員從起跳到入水過程中在t0某一時刻的瞬時速度？師生活動：學(xué)生分小組討論，每組選出一位代表板演，教師完善預(yù)設(shè)的答案：（1）由，當(dāng)無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于-14.8，所以運(yùn)動員在t=2s時的瞬時速度為-14.8m/s.（2）由，當(dāng)無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于，所以運(yùn)動員在t=t0s時的瞬時速度為()m/s.設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握平均速度與瞬時速度的算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié):求運(yùn)動物體瞬時速度的三個步驟:設(shè)非勻速直線運(yùn)動中物體的位移隨時間變化的函數(shù)為s＝s(t)，則求物體在t＝t0時刻的瞬時速度的步驟如下：(1)寫出時間改變量Δt，位移改變量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);(2)求平均速度：;(3)求瞬時速度v：當(dāng)Δt→0時，→v是常數(shù).例2．某物體的運(yùn)動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度．師生活動：學(xué)生單獨(dú)完成，教師巡視并完善.預(yù)設(shè)的答案：∵，∴，∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.變式1:在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．師生活動：學(xué)生討論后完成，教師巡視并完善.預(yù)設(shè)的答案:求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵，∴，∴物體在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.變式2:在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.師生活動：學(xué)生分組討論，一代表板演，教師完善.預(yù)設(shè)的答案:設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s.又，∴，則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.設(shè)計(jì)意圖：通過該典型例題的分析和解決，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握平均速度與瞬時速度的算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié):當(dāng)已知運(yùn)動物體在t0時刻的瞬時速度求t0時，先利用求瞬時速度的方法和步驟求出瞬時速度，列出方程求t0．練習(xí)：教科書P61頁練習(xí)1、2、3設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計(jì)：5.1.1變化率問題二、新知探究三、鞏固練習(xí)1．平均速度的概念例1知識點(diǎn)1：例22．瞬時速度的概念知識2：2．總結(jié)概括：平均速度、瞬時速度的概念及求法.3．課堂作業(yè)：教科書P70習(xí)題5.11、3【目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)】1．物體自由落體的運(yùn)動方程為，g＝9.8m/s2，若m/s，那么下列說法中正確的是()A．9.8m/s是物體從0s到1s這段時間內(nèi)的速度B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度C．9.8m/s是物體在t＝1s這一時刻的速度D．9.8m/s是物體從1s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步理解平均速度與瞬時速度的概念.2.若質(zhì)點(diǎn)按照規(guī)律運(yùn)動，則在時的瞬時速度為()A.6 B.18 C.5