三年級奧數(shù)-盈虧問題

第4講盈虧問題教學目標本講主要學習三種類型的盈虧問題：理解掌握條件轉型盈虧問題：理解掌握關系互換性盈虧問題;理解掌握其他類型的盈虧問題，本節(jié)課要求老師首先上學生理解盈虧問題其本公式的含義，在通過例題讓學生掌握解答應困問題的其本技巧，培養(yǎng)學生的思維分析能力。經(jīng)典精講盈虧問題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)程這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問題的關鍵是專注兩次分配時盈虧總量的變化。我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。1.“盈虧”型例如：學而思學校四年級基礎班的同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？【分析】由題目條件知道，同學的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分4粒就多9粒，，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為15SKIPIF1<0（位），糖果的粒數(shù)為：SKIPIF1<0（粒）。2.“盈盈”型例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？分析：老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧綜合是9-2=7（個），兩次分配之差是11-10-1（個）有盈虧問題公式得，有小猴子：SKIPIF1<0（只），老猴子有7SKIPIF1<0（個）桃子。3.“虧虧”型例如：學而思學校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差9本，第二次就只差2本了呢？因為兩次分配數(shù)量不一樣，第一次分配時每人少發(fā)一本，也就是共有7SKIPIF1<0（人）書有SKIPIF1<0（本）。根據(jù)以上具體題目的分析，可以得出盈虧問題的基本關系式：(盈+虧)SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（盈-盈）SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（虧-虧）SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)條件轉化型的盈虧問題這種類型的題目不能直接計算，要將其中的一個條件轉化，使之成為普通盈虧問題。軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人住一個房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個房間？【分析】每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，也就是第二次分配少6SKIPIF1<0（人），那么兩次分配方案人數(shù)相差20+10=30（人），即可以空出10-50SKIPIF1<0（間）房間?！句亯|】學校給一批新入學分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果每個房間住14人，則空出4個房間。求學生宿舍有多少間，住宿學生有多少人？【分析】把“每個房間住14人，則空出4個房間”轉化為“每間住14人，則少14SKIPIF1<0（人）”這樣兩種方案就可以比較了。第一種方案多出34人，第二種方案少56人，90SKIPIF1<0（間），學生數(shù)為：12SKIPIF1<0（人）[例2]媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6人，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個？全加共有多少人？【分析】由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個，”轉化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結果就多了4+4=8個：由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個。結果就少了12-2=10個，轉變成了盈虧問題的一半類型,則：全家的人數(shù)：SKIPIF1<0（人）橘子的個數(shù)：SKIPIF1<0（個）【鋪墊】實驗小學的少先隊員去植樹。如果每人種5棵還有3棵每人種；如果其中2人各種4棵。其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊員參加植樹，一共iozhong多少課樹苗？【分析】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把他們統(tǒng)一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹（6-4）SKIPIF1<0（棵）。因此，原問題就轉化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種;如果每人種6棵數(shù)樹苗，還缺4棵。問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？人數(shù)：[3+(6-4)SKIPIF1<0]SKIPIF1<0(人)，棵樹：SKIPIF1<0（棵）或SKIPIF1<0（棵）【小結】盈虧問題必須是將一定數(shù)量的物體平均分給固定對象，而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數(shù)相同。碰到此類似情況時，不需將其調(diào)整成兩次都是平均分，然后解答。學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？【分析】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60SKIPIF1<0米，如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50SKIPIF1<08=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以奪走600-400=200（米），從而可以求出小明由家道校所需時間。（1）10分鐘走多少米？SKIPIF1<0（米），（2）8分鐘走多少米？SKIPIF1<0（米）（3）需要時間：（600-400）SKIPIF1<0（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校。（4）由家到校的路程：SKIPIF1<0（米）或SKIPIF1<0（米）.【鋪墊】童童從家到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時間提前2分鐘奪走60-50=10（米），就可以奪走150+120=270（米），童童從家到學校所用時間是：270SKIPIF1<0（分鐘），加到學校的距離是：50SKIPIF1<0（米）?！纠?】（第二屆“華杯賽”試題）有一個半同學去劃船。他們計算以下，如果增加一條船，正好每條船作6人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6人。如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少學生【分析】先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6SKIPIF1<0（名）同學。改為每條船9人，也就是說，每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同學全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12SKIPIF1<0（條）船，而全班同學的人數(shù)是9SKIPIF1<0（人）。【鞏固】增加兩條船，正好每條船坐6人，然后去掉四條船，就會余下SKIPIF1<0（人），改為每只船9人，即每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以現(xiàn)在船數(shù)為24SKIPIF1<0（條），這個班的人數(shù)為9SKIPIF1<0（人）?！拘〗Y】這部分的題目不能直接運用公式計算，首先需要將一定的條件轉化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運用公式計算。關系互換型的盈虧問題這種題型中會出現(xiàn)兩種物品，一半兩者之間還存在數(shù)量關系，如和差關系、倍數(shù)關系等，我們應該先利用數(shù)量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據(jù)盈虧問題的解法計算?！纠?】（2004“走進美妙的數(shù)學花園”數(shù)學邀請賽）幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2個小朋友這袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加2個小朋友，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳?粒缺16粒，每人4粒多4?！钡挠潌栴}。小班有SKIPIF1<0（人）。這袋糖果有SKIPIF1<0（粒）。【拓展】（2007年湖北省“創(chuàng)新杯”決賽）四（2）班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13千克，還差4元;如果買奶糖15千克，則還剩2元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，，輔導員老師帶了_____________元錢.[分析]這筆錢買了13千克芒果還差4元,若把13千克芒果換成奶糖就會多出13SKIPIF1<0元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢埋15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：（22-2）SKIPIF1<0（元）。輔導老師共帶了10SKIPIF1<0（元）【例6】（2004南京市少年數(shù)學智力冬令營）乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封，甲每封信用2張信紙信紙，乙每封信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩20張信封，乙用完所有信紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙。這是盈虧問題，盈虧總額為（20+30）張信紙，兩次分配的差為（3-2）張信紙，所有的信封（20+30）SKIPIF1<0（個），有信紙SKIPIF1<0）（張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用3張信紙。結果甲的信封用完時還剩50張信紙，乙的信紙用完時還剩50個信封，原來他們各自有信封多少個？信紙多少張？【分析】乙要想用完剩余的50個信封，還需再多50SKIPIF1<03=150張信紙，也就是要用完同樣多的信封，甲多50張信紙，乙少150張信紙。信封的個數(shù)：SKIPIF1<0（個）信紙的張數(shù)：100+50=150（張）【小結】不同的人，相同的物品，假設都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關聯(lián)點，問題便于解決了?！纠?】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5個還多余10個乒乓球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個乒乓球還缺少8個，問有乒乓球多少個？【分析】考慮人數(shù)增加3倍后，相當于按原人數(shù)每人給SKIPIF1<0（個），每人給5個與給6個，總數(shù)相差10+8=18（個），所以原有人數(shù)18SKIPIF1<0（人），乒乓球總數(shù)是SKIPIF1<0（個）【拓展】臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只大熊貓，那么每只大熊貓分2個還缺8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少課？【注意】以上題型中會出現(xiàn)兩種物品，一般兩者之間還存在數(shù)量關系，如和差關系、倍數(shù)關系等，我們應該先利用數(shù)量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據(jù)普通盈虧問題的解法計算。【例8】幼兒園阿姨拿來水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個數(shù)是奶糖的2倍。如果每個小朋友分2個奶糖，就多余4個奶糖；如果每個小朋友分5個水果糖，則少2個水果糖。阿姨拿來了水果糖和奶糖個多少個？【分析】水果糖和奶糖的個數(shù)不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設水果糖和奶糖一樣多，也就是假設奶糖是實際數(shù)量的2倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個小朋友可以分到2SKIPIF1<02=4個，而多余的奶糖是SKIPIF1<0（個）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10個，原因是每個小朋友多分了5-4=1個，這樣就可以求出小朋友的人數(shù)，然后根據(jù)太燙和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數(shù)，然后根據(jù)奶糖和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數(shù)，即：SKIPIF1<0（個）小朋友的人數(shù)10SKIPIF1<0(個)奶糖的個數(shù)10SKIPIF1<0（個）水果糖的個數(shù)【注意】本題的解題關鍵在于通過假設，使兩種糖的個數(shù)變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問題盈虧問題有的題型不想普通的盈虧問題那么標準，它是經(jīng)過普通盈虧問題的變形和拓展，解答這類問題也要利用其本盈虧問題解答方法，根據(jù)不同的題型作出相應的應對?！纠?】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8快，還剩10快；若沒人分9塊，左后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？【分析】最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（1+10）SKIPIF1<0（9-8）=11（人），糖果最多有9SKIPIF1<0（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（8+10）SKIPIF1<0（人），糖果最多有9SKIPIF1<0（塊）；所以，這批糖果最多有154塊。【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？【分析】60SKIPIF1<060SKIPIF1<0，說明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8SKIPIF1<0（張），現(xiàn)在時機每人得到60張，即每人需要退4張，其中要有4張式每人60張后多下來的，還有40張我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44SKIPIF1<0（人），說明有11人。【例10】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡，，甲種卡每張1元，丙種卡片每張2元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？【分析】“用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8張，買乙種要比買丙種卡多買6張”所以盈虧總額是：SKIPIF1<0（元），單價相加2-1=1（元），所以工可以買衣種卡SKIPIF1<0（張），媽媽給紅紅的錢數(shù)是：SKIPIF1<0（元），乙種卡每張：28SKIPIF1<0=1元4角?！就卣埂繕窐酚幸粋€儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個;按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣。樂樂共花了多少錢？【分析】假設去掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個二分幣多3分，所以5分幣有：84SKIPIF1<0個2分幣有：28+22=50（個）所以樂樂共存錢：5SKIPIF1<0（分）。鞏固精煉小明讀一本書，如果每天讀6頁，還剩20頁沒有讀完，如果每天讀10也，書還少24頁，這本書共有多少頁，小明打算幾天讀完？【分析】在兩種方法中，數(shù)的頁數(shù)和打算讀的天數(shù)沒有改變，而第一種讀法，書沒讀完，還剩20頁；第二種讀法，不僅可將余下的29頁讀完，如果書還有24頁也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁數(shù)相差20+24=44頁，造成這個差異的原因就是每天多讀天了10-6=4頁。每天多讀4頁就要多讀44頁，因此打算毒的天數(shù)是44SKIPIF1<0天，即：SKIPIF1<0（天）SKIPIF1<0（頁）陽光小學學生乘汽車到香山春游。如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果沒車多坐5人，恰好多于一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學生?[分析]每車多坐5人，實際是每車可坐5+65=70（人），恰好多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人，因而原因問題轉化為：如果沒車坐65人，則多出5人無人乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（5+5+65）SKIPIF1<0（輛）人數(shù)是65SKIPIF1<0（人）或（5+65）SKIPIF1<0（人）王老師由家里到學校，如果騎車每分鐘每分鐘500米，上課就要遲到3分鐘；如果騎車每分鐘600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。王老師家到學校的路程是多少米？【分析】遲到3分鐘轉化成米數(shù)：500SKIPIF1<03=1500（米），提前兩分鐘到校轉化成米數(shù)：600SKIPIF1<02=1200（米），（1500+1200）SKIPIF1<0（600-500）=27（分鐘）500SKIPIF1<0（米）王阿姨去買水果。如果買5千克橙子，就差10元錢；如果買6千克葡萄，則余2元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴4元，每千克橙子和每千克葡萄個多少元？【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以可以設法把兩種水果轉化為一種水果。因為每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以將買5千克橙子換成買5千克葡萄，就要少用4SKIPIF1<05=20（元），于是，“買5千克橙子差10元錢”就可以變成“買5千克葡萄余20-10=10元”，則題目乘為：王阿姨買水果，如果買5千克葡萄，就余下10元錢；如果買6千克葡萄就余2元錢，而每千克橙子比每千克葡萄貴4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答這個問題就不難了。每千克葡萄的價錢：SKIPIF1<0（元）每千克橙子的價錢：