楊輝三角王平

楊輝三角楊輝三角四（2）王平

楊輝-明代官員基本信息中文名楊輝國(guó)籍：中國(guó)出生地浙江杭州逝世日期1298年楊輝，字謙光，漢族，錢(qián)塘(今杭州)人，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，生平履歷不詳。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知，楊輝擔(dān)任過(guò)南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學(xué)書(shū)共五種二十一卷。他在總結(jié)民間乘除捷算法、“垛積術(shù)”、縱橫圖以及數(shù)學(xué)教育方面，均做出了重大的貢獻(xiàn)。他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著有《詳解九章算法》、《日用算法》、《乘除通變本末》、《田畝比類(lèi)乘除捷法》、《續(xù)古摘奇算法》。與秦九韶、李冶、朱世杰并稱(chēng)“宋元數(shù)學(xué)四大家”。楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數(shù)學(xué)書(shū)共五種二十一卷，它們是:《詳解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通變本末》3卷(1274年，第3卷與他人合編)，《田畝比類(lèi)乘除捷法》2卷(1275年)，《續(xù)古摘奇算法》2卷(1275年，與他人合編)，其中后三種為楊輝后期所著，一般稱(chēng)之為《楊輝算法》。他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國(guó)數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。楊輝三角簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介楊輝三角形，又稱(chēng)賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年)一書(shū)中用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律。北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算。楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱(chēng)之為“開(kāi)方作法本源”圖，并說(shuō)明此表引自11世紀(jì)前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫(huà)了“古法七乘方圖”。故此，楊輝三角又被稱(chēng)為“賈憲三角”。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》（1303年）擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。意大利人稱(chēng)之為“塔塔利亞三角形”以紀(jì)念在16世紀(jì)發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞。在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。布萊士·帕斯卡的著作（1655年）介紹了這個(gè)三角形。帕斯卡搜集了幾個(gè)關(guān)于它的結(jié)果，并以此解決一些概率論上的問(wèn)題，影響面廣泛，（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來(lái)稱(chēng)呼這個(gè)三角形。近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形”（Chinesetriangle）楊輝三角的秘密楊輝三角最本質(zhì)的特征是：它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。其實(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁(yè)。楊輝，字謙光，北宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱(chēng)之為“開(kāi)方作法本源”圖。而這樣一個(gè)三角在我們的奧數(shù)競(jìng)賽中也是經(jīng)常用到，最簡(jiǎn)單的就是叫你找規(guī)律。具體的用楊輝三角的簡(jiǎn)史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》（1961年）記載并保存了“賈憲三角”，故稱(chēng)楊輝三角。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》（1303年）擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。時(shí)間上:楊輝(一二六一)朱世杰(一三○三)也明顯就可以知道是楊輝發(fā)現(xiàn)的朱世杰只是擴(kuò)充了其中的內(nèi)容同時(shí)這也是多項(xiàng)式(a+b)^n打開(kāi)括號(hào)后的各個(gè)項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律即為因此楊輝三角第x層第y項(xiàng)直接就是（ynCrx）我們也不難得到第x層的所有項(xiàng)的總和為2^(x-1)(即(a+b)^x中a,b都為1的時(shí)候)[上述y^x指y的x次方;(anCrb)指組合數(shù)]而這樣一個(gè)三角在我們的奧數(shù)競(jìng)賽中也是經(jīng)常用到，最簡(jiǎn)單的就是叫你找規(guī)律。具體的用法我們會(huì)在教學(xué)內(nèi)容中講授。在國(guó)外,這也叫做“帕斯卡三角形”.S1：這些數(shù)排列的形狀像等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1S2：從右往左斜著看,從左往右斜著看，和前面的看法一樣。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列是左右對(duì)稱(chēng)的。S3：上面兩個(gè)數(shù)之和就是下面的一行的數(shù)。S4：這行數(shù)是第幾行，就是第二個(gè)數(shù)加一?！梅剑谖覈?guó)也稱(chēng)縱橫圖，它的神奇特點(diǎn)吸引了無(wú)數(shù)人對(duì)它的癡迷。從我國(guó)古代的“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之”的傳說(shuō)起，系統(tǒng)研究幻方的第一人，當(dāng)數(shù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家——楊輝。楊輝，字謙光，錢(qián)塘(今杭州)人，我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，與秦九韶、李冶、朱世杰并稱(chēng)宋元四大數(shù)學(xué)家，他在我國(guó)古代數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育史上占有十分重要的地位。楊輝對(duì)幻方的研究源于一個(gè)小故事。當(dāng)時(shí)楊輝是臺(tái)州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童擋道，楊輝問(wèn)明原因方知是一孩童在地做一道數(shù)學(xué)算題，楊輝一聽(tīng)來(lái)了興趣，下轎來(lái)到孩童旁問(wèn)是什么算題。原來(lái)，這個(gè)孩童在算一位老先生出的一道趣題：把1到9的數(shù)字分行排列，不論豎著加、橫著加，還是斜著加，結(jié)果都等于15。楊輝看到這個(gè)算題，時(shí)想起來(lái)他在西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》一書(shū)中也見(jiàn)過(guò)。楊輝想到這兒，和孩童一起算了起來(lái)，直到午后，兩人終于將算式擺出來(lái)了。后來(lái)，楊輝隨孩童來(lái)到老先生家里，與老先生談?wù)撈饠?shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)。老先生說(shuō)：“北周的甄彎注《數(shù)術(shù)記遺》一書(shū)中寫(xiě)過(guò)‘九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央?！薄瘲钶x聽(tīng)了，這與自己與孩童擺出來(lái)的完全一樣。便問(wèn)老先生：“你可知這個(gè)九宮圖是如何造出來(lái)的?”老先生說(shuō)不知道。楊輝回到家中，反復(fù)琢磨。一天，他終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律，并總結(jié)成四句話(huà)：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出”。就是說(shuō)：先把l～9九個(gè)數(shù)依次斜排，再把上l下9兩數(shù)對(duì)調(diào)，左7右3兩數(shù)對(duì)調(diào)，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣三階幻方就填好了。楊輝研究出三階幻方(也叫絡(luò)書(shū)或九宮圖)的構(gòu)造方法后