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文檔簡介
2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域(圖中的陰影部分)的面積,畫一個邊長為4m的正方形,使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內(nèi).現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機投擲小球(假設(shè)小球落在正方形內(nèi)每一點都是等可能的),經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗,發(fā)現(xiàn)小球落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.65附近,由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積約為()A.2.6m2 B.5.6m2 C.8.25m2 D.10.4m22.在平面直角坐標系中,點A的坐標是(﹣1,0),點B的坐標是(3,0),在y軸的正半軸上取一點C,使A、B、C三點確定一個圓,且使AB為圓的直徑,則點C的坐標是()A.(0,) B.(,0) C.(0,2) D.(2,0)3.如圖,點A、B、C在⊙O上,∠OAB=25°,則∠ACB的度數(shù)是()A.135° B.115° C.65° D.50°4.下列各類數(shù)中,與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系的是()A.有理數(shù)B.實數(shù)C.分數(shù)D.整數(shù)5.如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以點B為圓心,BA為半徑的圓弧與BC交于點E,四邊形AECD是平行四邊形,AB=3,則的弧長為()A. B.π C. D.36.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,點D在邊BC上,BD=2CD.把△ABC繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)m(0<m<180)度后,如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上,那么m=()A.35° B.60° C.70° D.70°或120°7.某種微生物半徑約為0.00000637米,該數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.0.637×10﹣5B.6.37×10﹣6C.63.7×10﹣7D.6.37×10﹣78.實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示,則正確的結(jié)論是()A.a(chǎn)+b<0 B.a(chǎn)>|﹣2| C.b>π D.9.在⊙O中,已知半徑為5,弦AB的長為8,則圓心O到AB的距離為()A.3 B.4 C.5 D.610.下列分子結(jié)構(gòu)模型的平面圖中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.A、B兩地之間為直線距離且相距600千米,甲開車從A地出發(fā)前往B地,乙騎自行車從B地出發(fā)前往A地,已知乙比甲晚出發(fā)1小時,兩車均勻速行駛,當甲到達B地后立即原路原速返回,在返回途中再次與乙相遇后兩車都停止,如圖是甲、乙兩人之間的距離s(千類)與甲出發(fā)的時間t(小時)之間的圖象,則當甲第二次與乙相遇時,乙離B地的距離為_____千米.12.如圖,拋物線交軸于,兩點,交軸于點,點關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為,點,分別在軸和軸上,則四邊形周長的最小值為__________.13.為了綠化校園,30名學(xué)生共種78棵樹苗,其中男生每人種3棵,女生每人種2棵,設(shè)男生有x人,女生有y人,根據(jù)題意,所列方程組正確的是()A. B. C. D.14.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:,,;,,其中正確的結(jié)論序號是______15.函數(shù)y=的定義域是________.16.如圖,在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離取點A1,A2,A3,A4,…,An,分別過這些點做x軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點P1,P2,P3,P4,…Pn,再分別過P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分別為B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,連接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一組Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,則Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面積為_____.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)計算:(-1)-1-++|1-3|18.(8分)已知:如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B兩點(A在B左),y軸交于點C(0,-3).(1)求拋物線的解析式;(2)若點D是線段BC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值;(3)若點E在x軸上,點P在拋物線上.是否存在以B、C、E、P為頂點且以BC為一邊的平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.19.(8分)如圖,AB為⊙O的直徑,點D、E位于AB兩側(cè)的半圓上,射線DC切⊙O于點D,已知點E是半圓弧AB上的動點,點F是射線DC上的動點,連接DE、AE,DE與AB交于點P,再連接FP、FB,且∠AED=45°.求證:CD∥AB;填空:①當∠DAE=時,四邊形ADFP是菱形;②當∠DAE=時,四邊形BFDP是正方形.20.(8分)如圖,一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12m的住房墻,另外三邊用25m長的建筑材料圍成,為方便進出,在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門,所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時,豬舍面積為80m2?21.(8分)如圖,數(shù)軸上的點A、B、C、D、E表示連續(xù)的五個整數(shù),對應(yīng)數(shù)分別為a、b、c、d、e.(1)若a+e=0,則代數(shù)式b+c+d=;(2)若a是最小的正整數(shù),先化簡,再求值:a+1a-2(3)若a+b+c+d=2,數(shù)軸上的點M表示的實數(shù)為m(m與a、b、c、d、e不同),且滿足MA+MD=3,則m的范圍是.22.(10分)已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是對角線BD上一點,且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如果∠BDC=30°,DE=2,EC=3,求CD的長.23.(12分)[閱讀]我們定義:如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么稱這個三角形為“中邊三角形”,把這條邊和其邊上的中線稱為“對應(yīng)邊”.[理解]如圖1,Rt△ABC是“中邊三角形”,∠C=90°,AC和BD是“對應(yīng)邊”,求tanA的值;[探究]如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=2β,點P,Q從點A同時出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動,記點P經(jīng)過的路程為s.當β=45°時,若△APQ是“中邊三角形”,試求的值.24.已知△ABC中,D為AB邊上任意一點,DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α,(1)如圖1所示,當α=60°時,求證:△DCE是等邊三角形;(2)如圖2所示,當α=45°時,求證:=;(3)如圖3所示,當α為任意銳角時,請直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關(guān)系:=_____.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】
首先確定小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率,然后利用概率公式求得其面積即可.【詳解】∵經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗,發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.65附近,∴小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率為0.65,∵正方形的邊長為4m,∴面積為16m2設(shè)不規(guī)則部分的面積為sm2則=0.65解得:s=10.4故答案為:D.【點睛】利用頻率估計概率.2、A【解析】
直接根據(jù)△AOC∽△COB得出OC2=OA?OB,即可求出OC的長,即可得出C點坐標.【詳解】如圖,連結(jié)AC,CB.
依△AOC∽△COB的結(jié)論可得:OC2=OAOB,即OC2=1×3=3,解得:OC=或?(負數(shù)舍去),故C點的坐標為(0,).故答案選:A.【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握坐標與圖形的性質(zhì).3、B【解析】
由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠AOB=130°,則根據(jù)圓周角定理得∠P=
∠AOB,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解.【詳解】解:在圓上取點
P
,連接
PA
、
PB.∵OA=OB
,∴∠OAB=∠OBA=25°
,∴∠AOB=180°?2×25°=130°
,∴∠P=∠AOB=65°,∴∠ACB=180°?∠P=115°.故選B.【點睛】本題考查的是圓,熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】
根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系解答.【詳解】實數(shù)與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系,故選:B.【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系,每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示,反過來,數(shù)軸上的每個點都表示一個唯一的實數(shù),也就是說實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).5、B【解析】∵四邊形AECD是平行四邊形,
∴AE=CD,
∵AB=BE=CD=3,
∴AB=BE=AE,
∴△ABE是等邊三角形,
∴∠B=60°,∴的弧長=.故選B.6、D【解析】
①當點B落在AB邊上時,根據(jù)DB=DB1,即可解決問題,②當點B落在AC上時,在RT△DCB2中,根據(jù)∠C=90°,DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°,由此即可解決問題.【詳解】①當點B落在AB邊上時,∵DB=DB∴∠B=∠DB∴m=∠BDB②當點B落在AC上時,在RT△DCB∵∠C=90°,DB∴∠CB∴m=∠C+∠CB故選D.【點睛】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是考慮多種情況,進行分類討論.7、B【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).【詳解】0.00000637的小數(shù)點向右移動6位得到6.37所以0.00000637用科學(xué)記數(shù)法表示為6.37×10﹣6,故選B.【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.8、D【解析】
根據(jù)數(shù)軸上點的位置,可得a,b,根據(jù)有理數(shù)的運算,可得答案.【詳解】a=﹣2,2<b<1.A.a+b<0,故A不符合題意;B.a<|﹣2|,故B不符合題意;C.b<1<π,故C不符合題意;D.<0,故D符合題意;故選D.【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸,利用有理數(shù)的運算是解題關(guān)鍵.9、A【解析】解:作OC⊥AB于C,連結(jié)OA,如圖.∵OC⊥AB,∴AC=BC=AB=×8=1.在Rt△AOC中,OA=5,∴OC=,即圓心O到AB的距離為2.故選A.10、C【解析】
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.【詳解】解:A是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;B,C,D是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.故選:C.【點睛】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形:如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合,這樣的圖形叫做軸對稱圖形;中心對稱圖形:在同一平面內(nèi),如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、【解析】
根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以分別求得甲乙的速度,從而可以得到當甲第二次與乙相遇時,乙離B地的距離.【詳解】設(shè)甲的速度為akm/h,乙的速度為bkm/h,,解得,,設(shè)第二次甲追上乙的時間為m小時,100m﹣25(m﹣1)=600,解得,m=,∴當甲第二次與乙相遇時,乙離B地的距離為:25×(-1)=千米,故答案為.【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.12、【解析】
根據(jù)拋物線解析式求得點D(1,4)、點E(2,3),作點D關(guān)于y軸的對稱點D′(﹣1,4)、作點E關(guān)于x軸的對稱點E′(2,﹣3),從而得到四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′,當點D′、F、G、E′四點共線時,周長最短,據(jù)此根據(jù)勾股定理可得答案.【詳解】如圖,在y=﹣x2+2x+3中,當x=0時,y=3,即點C(0,3),∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x-1)2+4,∴對稱軸為x=1,頂點D(1,4),則點C關(guān)于對稱軸的對稱點E的坐標為(2,3),作點D關(guān)于y軸的對稱點D′(﹣1,4),作點E關(guān)于x軸的對稱點E′(2,﹣3),連結(jié)D′、E′,D′E′與x軸的交點G、與y軸的交點F即為使四邊形EDFG的周長最小的點,四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′==∴四邊形EDFG周長的最小值是.【點睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)以及兩點間的距離公式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合得出答案.13、A【解析】
該班男生有x人,女生有y人.根據(jù)題意得:,故選D.考點:由實際問題抽象出二元一次方程組.14、【解析】
由拋物線的開口方向判斷a的符號,由拋物線與y軸的交點判斷c的符號,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理,進而對所得結(jié)論進行判斷.【詳解】由圖象可知:拋物線開口方向向下,則,對稱軸直線位于y軸右側(cè),則a、b異號,即,拋物線與y軸交于正半軸,則,,故正確;對稱軸為,,故正確;由拋物線的對稱性知,拋物線與x軸的另一個交點坐標為,所以當時,,即,故正確;拋物線與x軸有兩個不同的交點,則,所以,故錯誤;當時,,故正確.故答案為.【點睛】本題考查了考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.15、【解析】分析:根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0,即可求解.詳解:由題意得:x-2≠0,即.故答案為點睛:本題考查了使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍的確定.函數(shù)是整式型,自變量去全體實數(shù);函數(shù)是分式型,自變量是使分母不為0的實數(shù);根式型的函數(shù)的自變量去根號下的式子大于或等于0的實數(shù);當函數(shù)關(guān)系式表示實際問題時,自變量不僅要使函數(shù)關(guān)系式有意義,還要使實際問題有意義.16、【解析】
解:設(shè)OA1=A1A2=A2A3=…=An-2An-1=An-1An=a,∵當x=a時,,∴P1的坐標為(a,),當x=2a時,,∴P2的坐標為(2a,),……∴Rt△P1B1P2的面積為,Rt△P2B2P3的面積為,Rt△P3B3P4的面積為,……∴Rt△Pn-1Bn-1Pn的面積為.故答案為:三、解答題(共8題,共72分)17、-1【解析】試題分析:根據(jù)運算順序先分別進行負指數(shù)冪的計算、二次根式的化簡、0次冪的運算、絕對值的化簡,然后再進行加減法運算即可.試題解析:原式=-1-=-1.18、(1);(2);(3)P1(3,-3),P2(,3),P3(,3).【解析】
(1)將的坐標代入拋物線中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)的坐標,易求得直線的解析式.由于都是定值,則的面積不變,若四邊形面積最大,則的面積最大;過點作軸交于,則可得到當面積有最大值時,四邊形的面積最大值;(3)本題應(yīng)分情況討論:①過作軸的平行線,與拋物線的交點符合點的要求,此時的縱坐標相同,代入拋物線的解析式中即可求出點坐標;②將平移,令點落在軸(即點)、點落在拋物線(即點)上;可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),得出點縱坐標(縱坐標的絕對值相等),代入拋物線的解析式中即可求得點坐標.【詳解】解:(1)把代入,可以求得∴(2)過點作軸分別交線段和軸于點,在中,令,得設(shè)直線的解析式為可求得直線的解析式為:∵S四邊形ABCD設(shè)當時,有最大值此時四邊形ABCD面積有最大值(3)如圖所示,如圖:①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1,過點P1作P1E1∥BC交x軸于點E1,此時四邊形BP1CE1為平行四邊形,
∵C(0,-3)
∴設(shè)P1(x,-3)
∴x2-x-3=-3,解得x1=0,x2=3,
∴P1(3,-3);
②平移直線BC交x軸于點E,交x軸上方的拋物線于點P,當BC=PE時,四邊形BCEP為平行四邊形,
∵C(0,-3)
∴設(shè)P(x,3),
∴x2-x-3=3,
x2-3x-8=0
解得x=或x=,
此時存在點P2(,3)和P3(,3),
綜上所述存在3個點符合題意,坐標分別是P1(3,-3),P2(,3),P3(,3).【點睛】此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識,綜合性強,難度較大.19、(1)詳見解析;(2)①67.5°;②90°.【解析】
(1)要證明CD∥AB,只要證明∠ODF=∠AOD即可,根據(jù)題目中的條件可以證明∠ODF=∠AOD,從而可以解答本題;(2)①根據(jù)四邊形ADFP是菱形和菱形的性質(zhì),可以求得∠DAE的度數(shù);②根據(jù)四邊形BFDP是正方形,可以求得∠DAE的度數(shù).【詳解】(1)證明:連接OD,如圖所示,∵射線DC切⊙O于點D,∴OD⊥CD,即∠ODF=90°,∵∠AED=45°,∴∠AOD=2∠AED=90°,∴∠ODF=∠AOD,∴CD∥AB;(2)①連接AF與DP交于點G,如圖所示,∵四邊形ADFP是菱形,∠AED=45°,OA=OD,∴AF⊥DP,∠AOD=90°,∠DAG=∠PAG,∴∠AGE=90°,∠DAO=45°,∴∠EAG=45°,∠DAG=∠PEG=22.5°,∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°,故答案為:67.5°;②∵四邊形BFDP是正方形,∴BF=FD=DP=PB,∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°,∴此時點P與點O重合,∴此時DE是直徑,∴∠EAD=90°,故答案為:90°.【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、正方形的判定,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件,利用菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)解答.20、10,1.【解析】試題分析:可以設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為m,可以得出平行于墻的一邊的長為m,由題意得出方程求出邊長的值.試題解析:設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為m,可以得出平行于墻的一邊的長為m,由題意得化簡,得,解得:當時,(舍去),當時,,答:所圍矩形豬舍的長為10m、寬為1m.考點:一元二次方程的應(yīng)用題.21、(1)0;(1)a+2a+1,3【解析】
(1)根據(jù)a+e=0,可知a與e互為相反數(shù),則c=0,可得b=-1,d=1,代入可得代數(shù)式b+c+d的值;(1)根據(jù)題意可得:a=1,將分式計算并代入可得結(jié)論即可;(3)先根據(jù)A、B、C、D、E為連續(xù)整數(shù),即可求出a的值,再根據(jù)MA+MD=3,列不等式可得結(jié)論.【詳解】解:(1)∵a+e=0,即a、e互為相反數(shù),∴點C表示原點,∴b、d也互為相反數(shù),則a+b+c+d+e=0,故答案為:0;(1)∵a是最小的正整數(shù),∴a=1,則原式=÷[+]=÷=?=,當a=1時,原式==;(3)∵A、B、C、D、E為連續(xù)整數(shù),∴b=a+1,c=a+1,d=a+3,e=a+4,∵a+b+c+d=1,∴a+a+1+a+1+a+3=1,4a=﹣4,a=﹣1,∵MA+MD=3,∴點M再A、D兩點之間,∴﹣1<x<1,故答案為:﹣1<x<1.【點睛】本題考查了分式的化簡求值,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的相關(guān)知識點.22、(1)證明見解析;(2)CD的長為2.【解析】
(1)首先證得△ADE≌△CDE,由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD,易得∠CDB=∠CBD,可得BC=CD,易得AD=BC,利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形,由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形;(2)作EF⊥CD于F,在Rt△DEF中,根據(jù)30°的性質(zhì)和勾股定理可求出EF和DF的長,在Rt△CEF中,根據(jù)勾股定理可求出CF的長,從而可求CD的長.【詳解】證明:(1)在△ADE與△CDE中,,∴△ADE≌△CDE(SSS),∴∠ADE=∠CDE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CDE=∠CBD,∴BC=CD,∵AD=CD,∴BC=AD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∵AD=CD,∴四邊形ABCD是菱形;(2)作EF⊥CD于F.∵∠BDC=30°,DE=2,∴EF=1,DF=,∵CE=3,∴CF=2,∴CD=2+..【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),菱形的判定,含30°的直角三角形的性質(zhì),勾股定理.證明AD=BC是解(1)的關(guān)鍵,作EF⊥CD于F,構(gòu)造直角三角形是解(2)的關(guān)鍵.23、tanA=;綜上所述,當β=45°時,若△APQ是“中邊三角形”,的值為或.【解析】
(1)由AC和BD是“對應(yīng)邊”,可得AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,可得∴BC=x,可得tanA===(2)當點P在BC上時,連接AC,交PQ于點E,延長AB交QP的延長線于點F,可得AC是QP的垂直平分線.可求得△AEF∽△CEP,=,分兩種情況:當?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即AE=PQ時,==,∴=;當腰AP與它的中線QM相等時,即AP=QM時,QM=AQ,(3)作QN⊥AP于N,可得tan∠APQ===,tan∠APE===,∴=,【詳解】解:[理解]∵AC和BD是“對應(yīng)邊”,∴AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,∵∠C=90°,∴BC===x,∴tanA===;[探究]若β=45°,當點P在AB上時,△APQ是等腰直角三角形,不可能是“中邊三角形”,如圖2,當點P在BC上時,連接AC,交PQ于點E,延長AB交QP的延長線于點F,∵PC=QC,∠ACB=∠ACD,∴AC是QP的垂直平分線,∴AP=AQ,∵∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,∴△AEF∽△CEP,∴===,∵PE=CE,∴=,分兩種情況:當?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即AE=PQ時,==,∴=;當腰AP與它的中線QM相等時,即AP=QM時,QM=AQ,如圖3,作QN⊥
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