結(jié)構(gòu)力學(xué)課件-結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算

第十二章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算§12-2兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例§12-1兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述§12-3有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法§12-4無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法§12-5無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定——能量法1前面的各個(gè)章節(jié)討論了各類結(jié)構(gòu)在外因作用下內(nèi)力和位移的計(jì)算方法。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中內(nèi)力計(jì)算要確定結(jié)構(gòu)是否有足夠的強(qiáng)度，位移計(jì)算要確定結(jié)構(gòu)是否有足夠的剛度。工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐證明，在不少情況下，僅以以上兩種計(jì)算，來(lái)判斷結(jié)構(gòu)的可靠性是不夠的。對(duì)于由柔性桿件和壓彎桿件所組成的結(jié)構(gòu)，例如，梁、桁架、拱、薄壁結(jié)構(gòu)等，尤其如此。即是說(shuō)：結(jié)構(gòu)可能強(qiáng)度安全但是穩(wěn)定不安全。從現(xiàn)在的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)看，趨向于輕質(zhì)的大跨形式(近代工程的優(yōu)化設(shè)計(jì))，對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性要求非常嚴(yán)格，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必須考慮三個(gè)方面：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定?！?2-1兩類穩(wěn)定問(wèn)題概述在材料力學(xué)課中大家已經(jīng)對(duì)“壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題”進(jìn)行過(guò)討論，在此，我們對(duì)桿件結(jié)構(gòu)的各種穩(wěn)定問(wèn)題作進(jìn)一步的討論。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)當(dāng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算和穩(wěn)定驗(yàn)算。強(qiáng)度驗(yàn)算是最基本的必不可少的，而穩(wěn)定驗(yàn)算則是在某些情況下顯得重要。如薄壁結(jié)構(gòu)(與厚壁結(jié)構(gòu)相比)、高強(qiáng)度材料的結(jié)構(gòu)(與低強(qiáng)度材料的結(jié)構(gòu)－磚石結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)相比)、主要受壓的結(jié)構(gòu)(與主要受拉的結(jié)構(gòu)相比)容易喪失穩(wěn)定，穩(wěn)定驗(yàn)算對(duì)這些結(jié)構(gòu)顯得更為重要。一、結(jié)構(gòu)的三種平衡狀態(tài)結(jié)構(gòu)的三種平衡狀態(tài)(從穩(wěn)定性角度考察)：穩(wěn)定平衡狀態(tài)、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)和中性平衡狀態(tài)。解釋：設(shè)結(jié)構(gòu)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，受到輕微干擾而稍微偏離其原來(lái)位置。1、穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當(dāng)干擾消失后，如結(jié)構(gòu)回到原來(lái)位置，則原來(lái)的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當(dāng)干擾消失后，結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來(lái)位置，則原來(lái)的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3、中性平衡狀態(tài)：結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過(guò)渡的狀態(tài)稱為中性平衡狀態(tài)。三種不同的平衡狀態(tài)：穩(wěn)定平衡狀態(tài)、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)和中性平衡狀態(tài)。二、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算理論1、小撓度理論采用小撓度理論計(jì)算可以用比較簡(jiǎn)單的方法得到基本正確的結(jié)論。工程上通常采用小撓度理論進(jìn)行計(jì)算。2、大撓度理論大撓度理論是比較復(fù)雜的理論，利用其計(jì)算可以得到更為精確的結(jié)論。但是，計(jì)算的難度相當(dāng)大，用到比較高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。三、結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)：隨著荷載的增大，結(jié)構(gòu)的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。失穩(wěn)的兩種基本形式：分支點(diǎn)失穩(wěn)、極值點(diǎn)失穩(wěn)。1、分支點(diǎn)失穩(wěn)(1)基本情況：圖a所示的簡(jiǎn)支壓桿的完善體系(理想體系)，桿件軸線是理想的直線(沒(méi)有初曲率)，荷載FP是理想的中心受壓荷載(沒(méi)有偏心)。(a)FPl/2l/2(2)P-曲線隨著P的逐漸增大，P與中間點(diǎn)撓度的關(guān)系曲線稱為P-曲線(平衡路徑)。見(jiàn)圖(b)(3)過(guò)程分析當(dāng)FP1<FPcr=2EI/l2時(shí)，壓桿只是單純受壓。不發(fā)生彎曲變形(撓度=0)，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)(稱為原始平衡狀態(tài))。其FP-曲線用直線OAB表示，稱為原始平衡路徑。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr此時(shí)，若壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當(dāng)干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。故，當(dāng)FP1<FPcr時(shí)，原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。亦即是說(shuō)，在原始平衡路徑I，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。這時(shí)，原始平衡形式是唯一的平衡形式。當(dāng)FP2>FPcr=2EI/l2時(shí)，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)，還可處于彎曲形式的平衡狀態(tài)。亦即是說(shuō)：這時(shí)存在兩種形式的平衡狀態(tài)。與此相應(yīng)，在圖b中有兩條不同的FP-曲線：原始平衡路徑I(BC)和第二條平衡路徑II(根據(jù)大撓度理論，由曲線BD表示；如果采用小撓度理論進(jìn)行近似計(jì)算，則曲線BD退化為水平直線BD)。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr可以看出：這時(shí)原始平衡狀態(tài)(C點(diǎn))是不穩(wěn)定的。即：若壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)干擾消失后，壓桿并不能回到C點(diǎn)的原始平衡狀態(tài)，而是繼續(xù)彎曲，直到D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。所以，當(dāng)FP2>FPcr=2EI/l2時(shí)，在原始的平衡路徑I上，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr分支點(diǎn)：兩條平衡路徑I和II的交點(diǎn)稱為分支點(diǎn)。分支點(diǎn)的意義：分支點(diǎn)B將原始平衡路徑I分為兩段：OB段上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡。BC段上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。(4)分支點(diǎn)即：在分支點(diǎn)B上原始平衡路徑I和新平衡路徑II同時(shí)并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性，原始平衡路徑I由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。分支點(diǎn)失穩(wěn)：具有原始平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡特征的失穩(wěn)形式稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)。臨界荷載和臨界狀態(tài)：分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載稱為臨界荷載，分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。(5)分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象舉例(見(jiàn)下圖a、b、c)特征：在分支點(diǎn)P=Pcr處，原始平衡形式由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的平衡形式。(c)FPcr(a)承受結(jié)點(diǎn)荷載的門式剛架：在原始平衡形式中，各柱單純受壓，剛架無(wú)彎曲變形；在新的平衡形式中，剛架產(chǎn)生側(cè)移，出現(xiàn)彎曲變形。(a)FPcrFPcr(b)qcr(b)承受水壓力的圓拱，在原始平衡形式中，拱單純受壓，拱軸保持為圓形；在新的平衡形式中，拱軸不再保持為圓形，出現(xiàn)壓彎組合變形。(c)端部受荷載作用的懸臂窄條梁，在原始平衡形式中，梁處于平面彎曲狀態(tài)；在新的平衡形式中，梁處于斜彎曲和扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。2、極值點(diǎn)失穩(wěn)(1)基本情況：非完善體系。壓桿具有初曲率和承受偏心荷載(圖a、b)。(a)FP(b)FPFPB(極值點(diǎn))FPeACFPcrO(c)非完善壓桿從一開(kāi)始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。(2)FP-曲線小撓度理論：其FP-曲線見(jiàn)圖c的曲線OA。初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當(dāng)FP接近中心壓桿的歐拉臨界荷載FPe時(shí)，撓度趨于無(wú)窮大。

按大撓度理論：其FP-曲線見(jiàn)圖c的曲線OBC。(3)極值點(diǎn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)B點(diǎn)為極值點(diǎn)，在極值點(diǎn)荷載達(dá)到極大值。在極值點(diǎn)前的曲線段OB，其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；在極值點(diǎn)后的曲線段BC，其相應(yīng)的荷載反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。FPB(極值點(diǎn))FPeACFPcrO(c)極值點(diǎn)失穩(wěn)：在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡的失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。極值點(diǎn)失穩(wěn)的特征：平衡形式不會(huì)出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而其FP-曲線具有極值點(diǎn)。一般說(shuō)來(lái)，非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。(4)特例扁拱式結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)可能伴隨有“跳躍”現(xiàn)象。圖a所示的扁桁架，矢高為f，高跨比f(wàn)/l<<1。在跨度中點(diǎn)作用豎向荷載FP，產(chǎn)生豎向位移。其FP-曲線如圖b所示。(a)FPl/2l/2f(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr(c)ffffA點(diǎn)FP=0FPcrB點(diǎn)FP=0FP=0C點(diǎn)E點(diǎn)F點(diǎn)D點(diǎn)FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr這里我們?cè)O(shè)想通過(guò)一個(gè)控制機(jī)構(gòu)進(jìn)行加載，F(xiàn)P值可為正值或負(fù)值(圖c)。初始階段，平衡路徑由圖b中的實(shí)線AB表示，平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在A點(diǎn)，F(xiàn)PA=0，在B點(diǎn)荷載極值為FPB=FPcr。(c)ffffA點(diǎn)FP=0FPcrB點(diǎn)FP=0FP=0C點(diǎn)E點(diǎn)F點(diǎn)D點(diǎn)FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr極值點(diǎn)B以后，平衡路徑由虛線BCD表示，荷載的代數(shù)值減少，C點(diǎn)的FPC=0，在D點(diǎn)出現(xiàn)下極限點(diǎn)，F(xiàn)PD=-FPcr。BCD線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定平衡。下極限點(diǎn)D以后，荷載的代數(shù)值又上升，E點(diǎn)的FPE=0，F(xiàn)點(diǎn)的FPF=FPcr。若無(wú)控制機(jī)構(gòu)，則實(shí)際的FP-曲線應(yīng)為ABFG，在極值點(diǎn)B以后有一段水平線BF，結(jié)構(gòu)發(fā)生跳躍后，達(dá)到F點(diǎn)對(duì)應(yīng)的新平衡位置。F點(diǎn)以后的平衡路徑FG又屬于穩(wěn)定平衡。在本例中，通過(guò)人為控制進(jìn)行加載，解釋了扁桁架在荷載FP的作用下，由穩(wěn)定平衡狀態(tài)到新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的跳躍現(xiàn)象。目的是告訴我們，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)一般不允許發(fā)生跳躍，應(yīng)取極值點(diǎn)B相應(yīng)的荷載為臨界荷載。§12-2兩類穩(wěn)定問(wèn)題計(jì)算簡(jiǎn)例主要內(nèi)容：(1)用單自由度體系說(shuō)明兩類失穩(wěn)問(wèn)題的具體分析方法；(2)分析完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題；(3)分析非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題；(4)用大撓度理論得出精確結(jié)果；(5)用小撓度理論得出近似結(jié)果。一、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)基本情況：?jiǎn)巫杂啥韧晟企w系。圖a所示的剛性壓桿，承受中心壓力FP，底端A為鉸支座，頂端B有水平彈簧支承，其剛度系數(shù)為k。(1)按大撓度理論分析原始平衡形式(圖a)：桿AB處于豎直位置時(shí)，體系能夠處于平衡。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl問(wèn)題：考察圖b所示的傾斜位置是否還存在新的平衡形式。圖b狀態(tài)的平衡條件：MA=0(a)式中，彈簧的反力FR為：即可得出：(b)方程(b)有兩個(gè)解：(c)(d)(b)BFPABFRl(c)解代表原始平衡形式，其FP-曲線由直線OAB表示，稱為原始平衡路徑I；(d)解代表新的平衡形式，其FP-曲線由曲線AC表示，此即為第二平衡路徑II。ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP討論分支點(diǎn)：A點(diǎn)是兩條路徑的交點(diǎn)。A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)荷載稱為臨界荷載。臨界荷載為：(e)A點(diǎn)將原始平衡路徑I分為兩段：OA上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡，AB上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。第二路徑II，當(dāng)增大時(shí)，荷載反而減小；路徑II上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。分支點(diǎn)A處的臨界平衡狀態(tài)也是不穩(wěn)定的。ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP注意：對(duì)這類具有不穩(wěn)定分支點(diǎn)的完善體系，在進(jìn)行穩(wěn)定驗(yàn)算時(shí)要特別小心，一般應(yīng)當(dāng)考慮初始缺陷(初曲率、偏心)的影響，按非完善體系進(jìn)行驗(yàn)算。(2)按小撓度理論分析設(shè)<<1，則式(a)、(b)簡(jiǎn)化為(f)(g)其第一個(gè)解仍為式(c)，第二個(gè)解為：分析：兩條平衡路徑I和II如右圖所示。(h)ABI(不穩(wěn)定)II(隨遇平衡)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP與大撓度理論分析的結(jié)果比較可以看出：小撓度理論能夠得出臨界荷載的正確結(jié)果[見(jiàn)式(e)]，但是未能反映當(dāng)較大時(shí)平衡路徑II的下降趨勢(shì)；而平衡路徑II對(duì)應(yīng)于隨遇平衡狀態(tài)的結(jié)論，則是由于采用假定而帶來(lái)的一種假象。路徑II簡(jiǎn)化為水平直線，因而路徑II上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)隨遇平衡狀態(tài)。二、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)基本情況：圖a所示的單自由度非完善體系，桿AB有初傾角，其余同前。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl(1)按大撓度理論分析加載一開(kāi)始，桿件就進(jìn)一步傾斜，見(jiàn)圖b。彈簧的反力為：平衡條件為：MA=0可求得：(i)討論不同初傾角時(shí)的FP-曲線(圖a)。其中=0為完善體系。觀察FP-曲線，其具有極值點(diǎn)。(a)=0.1=0=0=0.1=0.2=0.2令，得：相應(yīng)的極值荷載為(j)其FPcr-曲線見(jiàn)圖b。(b)0.6950.5360.4150.30.20.10分析可知：這個(gè)非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。臨界荷載FPcr隨初傾角而變，越大，則FPcr越小。(k)(l)右圖給出FP-曲線。設(shè)：<<1，<<1，則式(i)和(j)簡(jiǎn)化為：=0=0.1=0.2=010.80.60.40.200.40.81.21.6(2)按小撓度理論分析可知：各條曲線都以水平直線FP/(kl)=1為漸近線，并得出相同的臨界荷載值。與大撓度理論的結(jié)果相比可知：對(duì)于非完善體系，小撓度理論未能得出隨著的增大FPcr逐漸減小的結(jié)論。三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般說(shuō)來(lái)，完善體系是分支點(diǎn)失穩(wěn)；非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。(2)分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征是：存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)處出現(xiàn)平衡形式的二重性。極值點(diǎn)失穩(wěn)形式的特征：雖然只存在一個(gè)平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。(3)只有根據(jù)大撓度理論才能得出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問(wèn)題的精確結(jié)論，小撓度理論也有其優(yōu)點(diǎn)(能正確得出分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題臨界荷載值)，但也應(yīng)注意它的局限性。特別指出：后面只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題，并根據(jù)小撓度理論求臨界荷載。(1)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般說(shuō)來(lái)，完善體系是分支點(diǎn)失穩(wěn)；非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。(2)分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征是：存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)處出現(xiàn)平衡形式的二重性。§12-3有限自由度體系的穩(wěn)定

——靜力法和能量法內(nèi)容：有限自由度體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題，按小撓度理論求其臨界荷載。確定臨界荷載的兩類方法：(1)靜力法：根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征提出的方法；(2)能量法：根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征提出的方法。本節(jié)以單自由度體系說(shuō)明以上兩種解法。圖a的單自由度體系，AB是剛性壓桿，A端為彈性支承，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)為k。求：臨界荷載FPcr。(a)BFPlAk(b)BFPlAMA=kB一、靜力法已知：分支點(diǎn)失穩(wěn)臨界狀態(tài)的靜力特征是平衡形式的二重性。要點(diǎn)：尋求分支點(diǎn)，確定臨界荷載。分支點(diǎn)：原始平衡路徑I和新平衡路徑II的交叉點(diǎn)。新的平衡形式：桿AB處于傾斜位置時(shí)的新的平衡形式，見(jiàn)圖b。新的平衡形式的確定：根據(jù)小撓度理論，圖b體系的平衡方程為：MA=0(b)BFPlAMA=kB因?yàn)閺椥灾ё姆戳貫镸A=k，所以由式(a)得：齊次方程有兩類解：零解和非零解。零解：=0，對(duì)應(yīng)于原始路徑I。非零解：不為零，對(duì)應(yīng)于新的平衡形式。(a)(b)方程(b)是以為未知量的齊次方程。為了得到非零解，方程(b)的系數(shù)應(yīng)為零，即：式(c)稱為特征方程。(c)由特征方程可知，第二平衡路徑II為水平直線。由兩條路徑的交點(diǎn)得到分支點(diǎn)，分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載為臨界荷載。因此，臨界荷載為(d)二、能量法前述圖(a)所示的體系，把荷載FP看作重量；體系的勢(shì)能EP為彈簧應(yīng)變能U與荷載勢(shì)能UP之和。由圖b可知：(b)BFPlAMA=kB彈簧應(yīng)變能為注意：是靜荷載做功荷載勢(shì)能為這里為B點(diǎn)的豎向位移：因此有體系的勢(shì)能為(e)應(yīng)用勢(shì)能駐值條件，可得式(f)和式(b)等價(jià)，也說(shuō)是說(shuō)，勢(shì)能駐值條件等價(jià)于用位移表示的平衡方程。由(f)式可根據(jù)位移有非零解的條件導(dǎo)出特征方程(c)，從而求得臨界荷載FPcr。綜上可知：在分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值，且位移有非零解。能量法是根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征求臨界荷載的。進(jìn)一步討論勢(shì)能EP由式(e)可以看出：勢(shì)能EP是位移的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。(f)若FP<k/l，剛關(guān)系曲線如右圖a所示。(e)(a)EPOFP<FPcr當(dāng)為任意非零值時(shí)，勢(shì)能EP恒為正值，即勢(shì)能是正定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)(=0)時(shí)，勢(shì)能EP為極小，因而原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)。若FP=k/l，剛關(guān)系曲線如右圖b所示。(b)EPOFP=FPcr當(dāng)為任意非零值時(shí)，勢(shì)能EP恒為零，體系處于中性平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài)，這時(shí)的荷載稱為臨界荷載，即FPcr=k/l。這個(gè)結(jié)果與靜力法所得的相同。若FP>k/l，則關(guān)系曲線如圖c所示。當(dāng)為任意非零值時(shí)，勢(shì)能EP恒為負(fù)值，即勢(shì)能是負(fù)定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)時(shí)，勢(shì)能EP為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。(c)EPOFP>FPcr因此，臨界狀態(tài)的的能量特征還可表述為：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能EP由正定過(guò)渡到非正定，對(duì)于單自由度體系，則由正定過(guò)渡到負(fù)定。例12-1-1圖a所示是一個(gè)具有兩個(gè)變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。體系在D端有壓力FP作用。試用兩種方法求其臨界荷載FPcr。例12-1-1圖a所示是一個(gè)具有兩個(gè)變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。體系在D端有壓力FP作用。試用兩種方法求其臨界荷載FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD解：(1)靜力法設(shè)體系由原始平衡狀態(tài)(水平位置)轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)(圖b)，設(shè)B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移分別為y1和y2，相應(yīng)的支座反力分別為同時(shí)，A點(diǎn)和D點(diǎn)的支座反力為注：對(duì)B'點(diǎn)左側(cè)取矩求FyA；對(duì)C'點(diǎn)右側(cè)取矩求FyD變形狀態(tài)的平衡條件為(C左)(B右)即(a)式(a)是關(guān)于y1和y2的齊次方程。如果系數(shù)行列式不等于零，即則零解(即y1和y2全為零)是齊次方程(a)的唯一解。也就是說(shuō)，原始平衡形式是唯一的平衡形式。(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD如果系數(shù)行列式等于零，即(b)則除零解外，齊次方程(a)還有非零解。也就是說(shuō)，除原始平衡形式外，體系還存在新的平衡形式。這樣，平衡形式即具有二重性，這就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程(b)就是穩(wěn)定問(wèn)題的特征方程。展開(kāi)式(b)，得由此解得兩個(gè)特征值：其中最小的特征值叫做臨界荷載，即將特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。這時(shí)位移y1、y2組成的向量稱為特征向量。如將FP=kl/3代回，則得y1=-y2，相應(yīng)的變形曲線如下圖a所示。如將FP=kl代回，則得y1=y2，相應(yīng)的變形曲線如下圖b所示。(a)y1FP=kl/3y2=-y1(b)y1FP=kly2=y1(2)能量法討論臨界荷載的能量特征。圖b中D點(diǎn)的水平位移為(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD(c)彈性支座的應(yīng)變能為(d)荷載勢(shì)能為(e)體系的勢(shì)能為(f)即應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：得：(g)式(g)就是前面導(dǎo)出的式(a)。勢(shì)能駐值條件等價(jià)于用位移表示的平衡方程。能量法求多自由度體系臨界荷載FPcr的步驟：(1)寫(xiě)出勢(shì)能表達(dá)式，建立勢(shì)能駐值條件。(2)應(yīng)用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出荷載的特征值FPi(i=1、2、…、n)。(3)在FPi中選取最小值，即得到臨界荷載FPcr。定性討論：式(f)可改寫(xiě)為可見(jiàn)，勢(shì)能EP是位移y1和y2的二次式。

下面針對(duì)不同的FP值，分別說(shuō)明勢(shì)能EP的特征。若FP<kl/3，勢(shì)能EP是正定的；若FP=kl/3=FPcr，EP是半正定的(y1=-y2時(shí)，EP=0)；若kl/3<FP<kl，EP是不定的；若FP=kl，勢(shì)能EP是半負(fù)定的(y1=y2時(shí)，EP=0)；若FP>kl，則勢(shì)能EP是負(fù)定的。例12-1-2

用靜力法分析圖示結(jié)構(gòu)，求臨界荷載。FPEI1=aEIahABDC(a)EIFPABDC(b)BB'FP(c)BFP解：設(shè)體系轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)(圖b)。由得設(shè)A點(diǎn)轉(zhuǎn)角為，則有，隔離體受力圖見(jiàn)圖c。非零解為：即：注意：靈活運(yùn)用以下情況的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度計(jì)算公式。a)

SAB=4ib)

SAB=3id)

SAB=0c)

SAB=iSABiABSABiABSABiABSABiAB其中：A端為近端，B端為遠(yuǎn)端，。例12-1-3

用能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr。解：設(shè)體系轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)(圖b)。FPEI1=EIhABC(a)EA=DFPABC(b)BxB'D'DDy

ByFP(c)BFN設(shè)A點(diǎn)轉(zhuǎn)角為，則有，。隔離體受力圖見(jiàn)圖c。FP(c)BFN(d)Dx

=BxFN由圖d可知：支桿的彈性應(yīng)變能為：荷載勢(shì)能為：因此，總勢(shì)能為：應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：得：故臨界荷載為：例12-1-4設(shè)各桿I=，彈性鉸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)為k，見(jiàn)圖a。試求其臨界荷載FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解：(1)

靜力法新平衡位置見(jiàn)圖b。設(shè)B、C點(diǎn)豎向位移分別為y1和y2，則支座反力為(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12由圖b可得：AFPBk1FPCDFPk2對(duì)AB'隔離體圖，由可得：對(duì)C'D'隔離體圖，由可得：聯(lián)立①、②式可得關(guān)于y1、y2的齊次方程：其特征方程為：即：所以：(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解：(2)

能量法討論臨界荷載的能量特征。圖b中D點(diǎn)的水平位移為彈性鉸的應(yīng)變能為荷載勢(shì)能為體系的勢(shì)能為即應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：得：與用靜力法計(jì)算的結(jié)果相同。其特征方程為：整理后得：§12-4無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定

——靜力法注意：無(wú)限自由度體系，其平衡方程是微分方程。一、方法例題(2)受力分析與平衡方程的建立臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)，柱頂水平反力FR，彈性曲線的微分方程為EIlFP(1)基本情況：圖示等截面壓桿，用靜力法求臨界荷載。xFRyyy<0xEIlFPxFRyyy<0x(3)微分方程的解上式可改寫(xiě)為材料力學(xué)知識(shí)方程的解為：常數(shù)A、B和反力FR可由邊界條件確定。(4)確定常數(shù)A、B，建立特征方程當(dāng)x=0時(shí)，y=0，可得A=0。當(dāng)x=l時(shí)，y=0和y'=0，由此得出：(a)因?yàn)閥(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全為零?？芍?a)中的系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即：展開(kāi)行列式可得超越方程：可用試算法或圖解法求解該超越方程。(5)本題采用圖解法求解，作y=l和y=tgl兩組線，其交點(diǎn)即為方程的解答，可知有無(wú)窮多個(gè)解。如何選解？因彈性桿有無(wú)限個(gè)自由度，所以有無(wú)窮多個(gè)特征荷載值，其中最小的一個(gè)是臨界荷載FPcr(利用FP=2EI來(lái)求)。由(l)min=4.493，可求得二、例題例12-4-1

下頁(yè)圖所示等截面壓桿，試用靜力法求其臨界荷載。EIlFPxFRyyx解：(1)

受力分析與平衡方程的建立在臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)。彈性曲線的微分方程為(2)微分方程的解上式可改寫(xiě)為這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程。其通解為：FR=0常數(shù)A、B可由邊界條件確定。(3)確定常數(shù)A、B，建立特征方程當(dāng)x=0時(shí)，y=0，可得：A=0。當(dāng)x=l時(shí)，y=0，可得：Bsinl=0因?yàn)閥(x)不恒等于零，故A、B不全為零。所以有sinl=0計(jì)算可得：l=n(n=1、2、…)由此得當(dāng)n=1時(shí)有兩端鉸支、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載公式，即歐拉公式。例12-4-2

求排架的臨界荷載和柱AB的計(jì)算長(zhǎng)度。(a)BFP剛性桿I1lACI2=nI1D(c)BAFPcryyI1xy<0xFR在臨界狀態(tài)下，桿AB的變形如圖c所示，這時(shí)在柱頂處有未知的水平力FR，彈性曲線的微分方程為解：圖b所示為此排架的計(jì)算簡(jiǎn)圖。這里，柱AB在B點(diǎn)具有彈性支座，它反映柱CD所起的支承作用，彈性支座的剛度系數(shù)為：。(b)BAFPk可改寫(xiě)為上式的解為求導(dǎo)可得常數(shù)A、B和未知力FR可由邊界條件確定。當(dāng)x=0時(shí)，y=0，由此求得A=0。當(dāng)x=l時(shí)，y=和y=0，有：由于FR=k，即=FR/k，所以上式變?yōu)橐驗(yàn)閥(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全為零?？芍鲜降南禂?shù)行列式應(yīng)等于零，即：展開(kāi)上式得利用FP=2EI1并化簡(jiǎn)，得到如下的超越方程(a)下面討論給定三種k值(即給出I1/I2的比值)的解：(1)

I2=0，則k=0，這時(shí)方程(a)變?yōu)楫?dāng)EI1為有限值時(shí)，因?yàn)?，若EI1為有限值則也為有限值，即l，所以這個(gè)方程的最小根為因此懸臂柱，計(jì)算長(zhǎng)度(與兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿對(duì)比)為l0=2l。(2)

I2=，則k=，這時(shí)方程(a)變?yōu)檫@個(gè)方程的最小根為因此相當(dāng)于上端鉸支、下端固定的情況，計(jì)算長(zhǎng)度為l0=0.7l。(3)一般情況是k在0~的范圍內(nèi)，l在/2~4.493范圍內(nèi)變化。當(dāng)I2=I1時(shí)，則。方程(a)變?yōu)橄旅嬗迷囁惴ㄇ蠼?。先將上式表示為如下形式：?dāng)l=2.4時(shí)，tgl=-0.916，D=1.192當(dāng)l=2.0時(shí)，tgl=-2.185，D=-1.518當(dāng)l=2.2時(shí)，tgl=-1.374，D=-0.025當(dāng)l=2.21時(shí)，tgl=-1.345，D0由此求得l=2.21，因此所以，當(dāng)I2=I1時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度為l0=1.42l?！?2-5無(wú)限自由度體系的穩(wěn)定

——能量法解題思路：(1)對(duì)于滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)，可求得勢(shì)能EP；(2)由勢(shì)能的駐值條件EP=0，可得包含待定參數(shù)的齊次方程組；(3)由齊次方程組非零解條件，知其系數(shù)行列式的值應(yīng)為零，由此可求得特征荷載值，臨界荷載FPcr是特征值中的最小值。具體算法以下頁(yè)圖a所示壓桿為例說(shuō)明。(a)FPlBAxydx設(shè)壓桿有任意可能位移，變形曲線為(a)其中i(x)是滿足位移邊界條件的已知