傅里葉變換小史

傅里葉變換小史寧夏大學(xué)李春樹MobilePhonemail:409761625@2023/2/31傅里葉變換小史在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一個很容易被外行誤解的詞匯：信號(signal)。當數(shù)學(xué)家們說起「一個信號」的時候，他們腦海中想到的并不是交通指示燈所發(fā)出的閃爍光芒或者手機屏幕頂部的天線圖案，而是一段可以具體數(shù)字化的信息，可以是聲音，可以是圖像，也可是遙感測量數(shù)據(jù)。簡單地說，它是一個函數(shù)，定義在通常的一維或者多維空間之上。譬如一段聲音就是一個定義在一維空間上的函數(shù)，自變量是時間，因變量是聲音的強度，一幅圖像是定義在二維空間上的函數(shù)，自變量是橫軸和縱軸坐標，因變量是圖像像素的色彩和明暗，如此等等。

2傅里葉變換小史在數(shù)學(xué)上，關(guān)于一個信號最基本的問題在于如何將它表示和描述出來。按照上面所說的辦法，把一個信號理解成一個定義在時間或空間上的函數(shù)是一種自然而然的表示方式，但是它對理解這一信號的內(nèi)容來說常常不夠。例如一段聲音，如果單純按照定義在時間上的函數(shù)來表示，它畫出來上圖左邊的樣子，這通常被稱為波形圖。毫無疑問，它包含了關(guān)于這段聲音的全部信息。但是同樣毫無疑問的是，這些信息幾乎沒法從上面這個「函數(shù)」中直接看出來，事實上，它只不過是巴赫的小提琴無伴奏PartitaNo.3的序曲開頭幾個小節(jié)。下面是巴赫的手稿，從某種意義上說來，它也構(gòu)成了對上面那段聲音的一個「描述」：上圖右邊

3傅里葉變換小史這兩種描述之間的關(guān)系是怎樣的呢？第一種描述刻劃的是具體的信號數(shù)值，第二種描述刻劃的是聲音的高低（即聲音震動的頻率）。人們直到十九世紀才漸漸意識到，在這兩種描述之間，事實上存在著一種對偶的關(guān)系，而這一點并不顯然。

4傅里葉變換小史

1807年，法國數(shù)學(xué)家傅立葉(J.Fourier)在一篇向巴黎科學(xué)院遞交的革命性的論文Mémoiresurlapropagationdelachaleurdanslescorpssolides（《固體中的熱傳播》）中，提出了一個嶄新的觀念：任何一個函數(shù)都可以表達為一系列不同頻率的簡諧振動（即簡單的三角函數(shù)）的疊加。有趣的是，這結(jié)論是他研究熱傳導(dǎo)問題的一個副產(chǎn)品。這篇論文經(jīng)拉格朗日(J.Lagrange)、拉普拉斯(P-S.Laplace)和勒讓德(A-M.Legendre)等人審閱后被拒絕了，原因是他的思想過于粗糙且極不嚴密。1811年傅立葉遞交了修改后的論文，這一次論文獲得了科學(xué)院的獎金，但是仍然因為缺乏嚴密性而被拒絕刊載在科學(xué)院的《報告》中。傅立葉對此耿耿于懷，直到1824年他本人成為了科學(xué)院的秘書，才得以把他1811年的論文原封不動地發(fā)表在《報告》里。5傅里葉變換小史用今天的語言來描述，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實際上是在說：任何一個信號都可以用兩種方式來表達，一種就是通常意義上的表達，自變量是時間或者空間的坐標，因變量是信號在該處的強度，另一種則是把一個信號「展開」成不同頻率的簡單三角函數(shù)（簡諧振動）的疊加，于是這就相當于把它看作是定義在所有頻率所組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個函數(shù)，自變量是不同的頻率，因變量是該頻率所對應(yīng)的簡諧振動的幅度。這兩個函數(shù)一個定義在時域（或空域）上，一個定義在頻域上，看起來的樣子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個信號。它們就象是兩種不同的語言，乍一聽完全不相干，但是其實可以精確地互相翻譯。在數(shù)學(xué)上，這種翻譯的過程被稱為「傅立葉變換」。6傅里葉變換小史傅立葉變換是一個數(shù)學(xué)上極為精美的對象：●它是完全可逆的，任何能量有限的時域或空域信號都存在唯一的頻域表達，反之亦然。

●它完全不損傷信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個信號之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積），它們的頻域表達之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。

●它不改變信號之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號收斂到一個特定的極限，它們的頻域表達也一定收斂到那個極限函數(shù)的頻域表達。傅立葉變換就象是把信號徹底打亂之后以最面目全非的方式復(fù)述出來，而一切信息都還原封不動的存在著。7傅里葉變換小史在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的是這樣一種特性：一個在時域或空域上看起來很復(fù)雜的信號（譬如一段聲音或者一幅圖像）通常在頻域上的表達會很簡單。這里「簡單」的意思是說作為頻域上的函數(shù)，它只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分數(shù)值都接近于零。例如下圖是一張人臉和它對應(yīng)的傅立葉變換，可以看出，所有的頻域信號差不多都分布在中心周圍，而大部分周邊區(qū)域都是黑色的（即零）。

8傅里葉變換小史這是一個意味深長的事實，它說明一個在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中看起來很可能只不過占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被浪費了的。這就導(dǎo)出了一個極為有用的結(jié)論：一個看起來信息量很大的信號，其實可以只用少得多的數(shù)據(jù)來加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了，這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。

9傅里葉變換小史基本上，這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時代，大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時間的前提下被傳輸，所以數(shù)據(jù)壓縮從來都是最核心的問題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無論是聲音的mp3格式還是圖像的jpg格式，都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明的。從這個意義上說來，幾乎全部現(xiàn)代信息社會都建立在傅立葉的理論的基礎(chǔ)之上。這當然是傅立葉本人也始料未及的。10傅里葉變換小史傅立葉變換這種對偶關(guān)系的本質(zhì)，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個信號可能在空域上顯得內(nèi)容豐富，但是當它在頻域上被重新表達出來的時候，往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。反過來這個關(guān)系也是對稱的：一個空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號，在頻域上通常都會占據(jù)絕大多數(shù)頻率。

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有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡單的例子就是噪聲信號。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號處理的語言來說，這就說明「噪聲本身是不可壓縮的」。這并不違反直覺，因為信號壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來對它進行更簡潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號，自然也就無從得以壓縮。另一方面，有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很簡單呢？換句話說，存不存在一個函數(shù)，它在空間上只分布在很少的幾個區(qū)域內(nèi)，并且在頻域上也只占用了很少的幾個頻率呢？（零函數(shù)當然滿足這個條件，所以下面討論的都是非零函數(shù)。）答案是不存在。這就是所謂的uncertaintyprinciple（不確定性原理）。12傅里葉變換小史

有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡單的例子就是噪聲信號。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號處理的語言來說，這就說明「噪聲本身是不可壓縮的」。這并不違反直覺，因為信號壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來對它進行更簡潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號，自然也就無從得以壓縮。另一方面，有沒有一種信號在空域和頻域上的分