2019-2020年高中數(shù)學 第二章 平面向量 第二節(jié) 平面向量的線性運算(第一課時)示范教案 新人教A版必修4

2019-2020年高中數(shù)學第二章平面向量第二節(jié)平面向量的線性運算（第一課時）示范教案新人教A版必修4教學分析《向量》這一章是前一輪教材中新增的內(nèi)容．高考考綱有明確說明，同時新課標也提出向量是數(shù)學的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在兩個方面：①向量的基本概念和基本運算；②向量作為工具的應用．另外，在今后學習復數(shù)的三角形式與向量形式時，還要用到向量的有關知識及思想方法，向量也是將來學習高等數(shù)學以及力學、電學等學科的重要工具．教材的第2.1節(jié)通過物理實例引入了向量的概念，介紹了向量的模、相等的向量、單位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本節(jié)課是繼向量基本概念的第一節(jié)課．向量的加法是向量的第一運算，是最基本、最重要的運算，是學習向量其他運算的基礎．它在本單元的教學中起著承前啟后的作用，同時它在實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應用．正如第二章的引言中所說：如果沒有運算，向量只是一個“路標”，因為有了運算，向量的力量無限．學生學習情況分析學生在高一學習物理中的位移和力等知識時，已初步了解了矢量的合成，而物理學中的矢量相當于數(shù)學中的向量，這為學生學習向量知識提供了實際背景．設計理念教學矛盾的主要方面是學生的學．學是中心，會學是目的．因此，在教學中要不斷指導學生學會學習．在教學過程中，從教材和學生的實際出發(fā)，按照學生認知活動的規(guī)律，精練、系統(tǒng)、生動地講授知識，發(fā)展學生的智能，陶冶學生的道德情操；要充分發(fā)揮學生在學習中的主體作用，運用各種教學手段，調(diào)動學生學習的主動性和積極性，啟發(fā)學生開展積極的思維活動，通過比較、分析、抽象、概括，得出結論；進一步理解、掌握和運用知識，從而使學生的智力、能力和其他心理品質(zhì)得到發(fā)展．教學目標根據(jù)新課標的要求：培養(yǎng)數(shù)學的應用意識是當今數(shù)學教育的主題，本節(jié)課的內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，更應強化數(shù)學來源于實際又應用于實際的意識．集本節(jié)教材的特點和高一學生對矢量的認知特點，我把本節(jié)課的教學目標確定為：1．理解向量加法的意義，掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的運算律．2．理解和體驗實際問題抽象為數(shù)學概念的過程和思想，增強數(shù)學的應用意識．3．培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力．4．進行辯證唯物主義思想教育、數(shù)學審美教育，提高學生學習數(shù)學的積極性．教學重點與難點1．教學重點：兩個向量的和的概念及其幾何意義．(兩個向量的和的概念是向量加法的基礎，而向量加法是向量運算的基礎．向量的線性運算的另一個特點是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種向量運算后，總是要考查一下它的幾何意義，正因為向量的幾何意義，使得向量在解決幾何問題時可以發(fā)揮很好的作用．)2．教學難點：向量加法的運算律．(設計讓學生先猜想后驗證來學習運算律，需要利用類比的思想進行猜測，還要在猜測的基礎上加以驗證，有一定難度．)導入新課(約5分鐘)引例：有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000牛，F(xiàn)2＝2000牛，牽繩之間的夾角θ＝60°.如果只用一條拖輪來牽引，而產(chǎn)生的效果跟原來的相同，試求出這條拖輪的牽引力的大小和方向．圖1在物理中，我們已知道，兩個不在一條直線的共點力與的合力是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線所表示的力．這就是說，是與相加所得到的和．設計說明引導學生利用物理中合力的概念，來解決這個實際問題，以現(xiàn)有的知識為出發(fā)點培養(yǎng)學生的知識類比、遷移能力．學情預設把實際問題抽象為數(shù)學概念是學生的認知難點．(約5分鐘)一般地，把以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線，叫做與兩個向量的和，記作＋.求兩個不平行向量的和可按平行四邊形法則進行．問題1：如何求兩個平行向量的和向量？問題2：任意一個向量與一個零向量的和是什么？求兩個向量的和的運算叫做向量的加法．設計說明補充說明兩個向量和的概念，同時讓學生體驗分類的思想．(約15分鐘)練習：根據(jù)圖2中所給向量a，b，c畫出向量：(1)a＋b；(2)a＋b＋c.圖2解法一：將兩個向量起點重合，應用平行四邊形法則畫出兩個向量的和向量．解法二：將一個向量的起點與另一向量的終點重合，也可以畫出兩個向量的和向量．設計說明1．學生通過練習題(1)可加深對向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法則．圖32．通過對比的方式讓學生了解向量的加法既可以按照平行四邊形法則進行，也可以按照三角形法則進行．在向量加法運算中，通過向量的平移使兩個向量首尾相接，可使用三角形法則．引申：求n(n>3)個向量的和向量．設計說明求n(n>3)個向量的和向量時，讓學生進一步體會應用首尾相接的三角形法則的優(yōu)越性．學情預設學生對從特殊到一般的理解較抽象．結論：求n個向量的和向量可應用多邊形法則．運算律的歸納問題：向量的加法既然是一種運算，它應該具有哪些運算律？如何進行驗證呢？設計說明引導學生類比實數(shù)加法的運算律，得出向量加法的運算律，培養(yǎng)學生的類比、遷移歸納能力．(約10分鐘)(1)已知平面內(nèi)有三個非零向量、、，它們的模都相等，并且兩兩的夾角都是120°，求證：＋＋＝0；(2)在平面內(nèi)能否構造三個非零向量a、b、c，使a＋b＋c＝0；(3)能否說出(2)的實際模型？設計說明題(1)是基本的例題；題(2)是題(1)的拓展；題(3)能體現(xiàn)數(shù)學來源于實際又應用于實際的思想．(約5分鐘)已知a、b是非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|有什么關系？設計說明設置這一研討題可以將本節(jié)課與上節(jié)課的知識聯(lián)系起來，并進一步滲透分類的思想．(約4分鐘)讓學生自主回顧和歸納本節(jié)的內(nèi)容．設計說明1．向量加法的意義；2.理解實際問題數(shù)學化的思想，增強數(shù)學的應用意識；3.理解分類討論等數(shù)學思想，培養(yǎng)類比、遷移等能力．學情預設要求學生不僅對知識體系進行歸納，還要對本節(jié)課中所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法及數(shù)學能力進行總結，有一定的難度．(約1分鐘)課本本節(jié)練習1,2,3,4.設計說明1．鞏固所學的內(nèi)容.2.對所學內(nèi)容的檢測、反饋與及時補充不足．本節(jié)課采用“探究——討論”教學法．“探究——研討”教學法是美國哈佛大學教育專家蘭本達所倡導的．“探究——研討”教學法把教學過程分為兩個步驟：第一步驟是“探究”．我所設計的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，將有關材料有層次地提供給學生，讓學生獨立地支配它，進而探索、研究它．學生通過對這些“有結構”的材料進行探究，獲得對向量加法的感性認識和形成各自對向量加法概念的了解．第二步驟是“研討”，即在探究的基礎上，組織學生研討自己在探究中的發(fā)現(xiàn)，通過互相交流、啟發(fā)、補充、爭論，使學生對向量加法的認識從感性的認識上升到理性認識，獲得一定水平層次的科學概念．這節(jié)課主要是教給學生“動手做，動腦想；多訓練，勤鉆研．”的研討式學習方法．這樣做，增加了學生主動參與的機會，增強了參與意識，教給學生獲取知識的途徑和思考問題的方法．使學生真正成為教學的主體．也只有這樣做，才能使學生“學”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”．學生才會逐步感到數(shù)學的美，會產(chǎn)生一種成功感，從而提高學生學習數(shù)學的興趣；也只有這樣做，才能適應素質(zhì)教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要．2019-2020年高中數(shù)學第二章平面向量第二節(jié)平面向量的線性運算（第三課時）示范教案新人教A版必修4教學分析向量的數(shù)乘運算，其實是加法運算的推廣及簡化，與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算．教學時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分展現(xiàn)了數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．實數(shù)與向量的乘積，仍然是一個向量，既有大小，也有方向．特別是方向與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理．共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容，應用相當廣泛，且容易出錯．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應用主要用于證明點共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識有著緊密的聯(lián)系．三維目標1．通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律．2．理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行．3．通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神．通過解決具體問題，體會數(shù)學在生活中的重要作用．重點難點教學重點：1.實數(shù)與向量積的意義.2.實數(shù)與向量積的運算律.3.兩個向量共線的等價條件及其運用．教學難點：對向量共線的等價條件的理解運用．課時安排1課時導入新課思路1.前面兩節(jié)課，我們一起學習了向量加減法運算，這一節(jié)，我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣．在代數(shù)運算中，a＋a＋a＝3a，故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算．思路2.一物體做勻速直線運動，一秒鐘的位移對應的向量為a，那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課．推進新課①已知非零向量a，試一試作出a＋a＋a和－a＋－a＋－a.②你能對你的探究結果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎？③引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關系嗎？怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動：引導學生回顧相關知識并猜想結果，對于運算律的驗證，點撥學生通過作圖來進行．通過學生的動手作圖，讓學生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義．教師要引導學生特別注意0·a＝0，而不是0·a＝0.這個零向量是一個特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系．實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如λ＋a，λ－a都無法進行．向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數(shù)乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．判斷兩個向量是否平行(共線)，實際上就是看能否找出一個實數(shù)，使得這個實數(shù)乘以其中一個向量等于另一個向量．一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段．對問題①，學生通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，＝＋＋＝a＋a＋a.類似數(shù)的乘法，可把a＋a＋a記作3a，即＝3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|.同樣，由圖1可知，圖1＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．顯然3(－a)的方向與a的方向相反，3(－a)的長度是a的長度的3倍，這樣，3(－a)＝－3a.對問題②，上述過程推廣后即為實數(shù)與向量的積．我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反．由(1)可知，λ＝0時，λa＝0.根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律．實數(shù)與向量的積的運算律設λ、μ為實數(shù)，那么1λμa＝λμa；2λ＋μa＝λa＋μa；3λa＋b＝λa＋λb.特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.對問題③，向量共線的等價條件是：如果a(a≠0)與b共線，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.推證過程教師可引導學生自己完成，推證過程如下：對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa，那么由向量數(shù)乘的定義，知a與b共線．反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么當a與b同方向時，有b＝μa；當a與b反方向時，有b＝－μa.關于向量共線的條件，教師要點撥學生作進一步深層探究，讓學生思考，若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識．在判斷兩個非零向量是否共線時，只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．討論結果：①數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數(shù)的正負及原向量的方向確定，大小由|λ|·|a|確定．②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小．③向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點；而向量的平行既包含沒有交點的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形．思路1例1計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．活動：本例是數(shù)乘運算的簡單應用，可讓學生自己完成，要求學生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律．教學中，點撥學生不能將本題看作字母的代數(shù)運算，可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義，使學生明確向量數(shù)乘運算的特點．同時向?qū)W生點出，向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.點評：運用向量運算的運算律，解決向量的數(shù)乘．其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”.變式訓練若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b.②3×②得3m－9n＝3b.③①－③得11n＝a－3b.∴n＝a－b.④將④代入②，有m＝b＋3n＝a＋b.點評：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中，利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2如圖2，已知任意兩個非零向量a、b，試作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？圖2活動：本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法，這是判斷三點共線常用的方法．教學中可以先引導學生作圖，通過觀察圖形得到A，B，C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共線．本題只要引導學生理清思路，具體過程可由學生自己完成．另外，本題是一個很好的與信息技術整合的題材，教學中可以通過計算機作圖，進行動態(tài)演示，揭示向量a、b變化過程中，A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律．解：如圖3，分別作向量、、，過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點共線．圖3事實上，因為＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是＝2.所以A、B、C三點共線．點評：關于三點共線問題，學生接觸較多，這里是用向量證明三點共線，方法是必須先證明兩個向量共線，并且有公共點．教師引導學生解完后進行反思，體會向量證法的新穎獨特．例3如圖4，ABCD的兩條對角線相交于點M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和嗎？圖4活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì)．另外，用向量表示幾何元素(點、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，教學中可以給學生明確指出這一點．解：在ABCD中，∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分，∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，＝＝(a－b)＝a－b，＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.點評：結合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則，將兩個向量的和或差表示出來，這是解決這類幾何題的關鍵．思路2例1凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F，求證：＝(＋)．活動：教師引導學生探究，能否構造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創(chuàng)造相同起點，以建立向量間關系．鼓勵學生多角度觀察思考問題．證法一：過點C在平面內(nèi)作＝，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點．(如圖5)圖5∴EF是△ADG的中位線．∴EF綊DG.∴＝.而＝＋＝＋，∴＝(＋)．證法二：如圖6，連接EB、EC，則有＝＋，＝＋，圖6又∵E是AD的中點，∴＋＝0，即有＋＝＋.以與為鄰邊作?EBGC，則由F是BC的中點，可得F也是EG的中點．∴＝＝(＋)＝(＋)．點評：向量的運算主要從以下幾個方面加強練習：(1)加強數(shù)形結合思想的訓練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習，做到準確熟練運用．例2已知和是不共線向量，＝t(t∈R)，試用、表示.活動：教師引導學生思考，由＝t(t∈R)知A、B、P三點共線，而＝＋，然后以表示，進而建立，的聯(lián)系．本題可讓學生自己解決，教師適時點撥．解：＝＋＝＋t·＝＋t·(－)＝(1－t)·＋t·.點評：靈活運用向量共線的條件．若令1－t＝m，t＝n，則＝m·＋n·，m＋n＝1.變式訓練1．設兩個不共線的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，向量b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與向量c共線？解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實數(shù)k使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.由2λ＋2μ＝2k及3μ－3λ＝－9k得λ＝－2μ.故存在這樣的實數(shù)λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d與c共線．2．若非零向量a、b滿足|a＋b|＝|b|，則()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C3．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ等于()A.B.C．－D．－答案：A本節(jié)練習解答：1．圖略．2.＝，＝－.點評：本題可先畫一個示意圖，根據(jù)圖形容易得出正確答案．值得注意的是與反向．3．(1)b＝2a；(2)b＝－a；(3)b＝－a；(4)b＝a.4．(1)共線；(2)共線．5．(1)3a－2b；(2)－a＋b；(3)2ya.6．圖略．1．讓學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：向量的數(shù)乘運算法則，向量的數(shù)乘運算律，向量共線的條件，體會本節(jié)學習中用到的思想方法：特殊到一般，歸納、猜想、類比，分類討論，等價轉(zhuǎn)化．2．向量及其運算與數(shù)及其運算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學習中應予以充分的重視，它是我們學習中偉大的引路人．課本習題2.2

A組題11、12.1．本教案的設計流程符合新課程理念，充分抓住本節(jié)教學中的學生探究、猜想、推證等活動，引導學生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．先由學生探究向量數(shù)乘的結果還是向量(特別地0·a＝0)，它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小，當λ>0時，λa與a方向相同，當λ<0時，λa與a方向相反；向量共線定理用來判斷兩個向量是否共線．然后對所探究的結果進行運用拓展．2．向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn)，因而成為中學數(shù)學知識網(wǎng)絡的一個交匯點，由此可看出在中學數(shù)學教材中的重要地位，也成為近幾年各地高考命題的重點和熱點，教師要引導學生對平面向量中有關知識要點進行歸納整理．一、向量的數(shù)乘運算律的證明設a、b為任意向量，λ、μ為任意實數(shù)，則有(1)λ(μa)＝(λμ)a；

①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

③證明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向．因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以這兩個向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則②顯然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況：當λ、μ同號時，則λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同號，知②式兩邊向量的方向或都與a同向，或都與a反向，即②式兩邊向量的方向相同．綜上所述，②式成立．如果λ、μ異號，當λ>μ時，②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當λ<μ時，②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同．還可證|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)當a＝0，b＝0中至少有一個成立，或λ＝0，λ＝1時，③式顯然成立.當a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時，可分如下兩種情況：當λ>0且λ≠1時如圖7，在平面內(nèi)任取一點O作＝a，＝b，＝λa，＝λb，則＝a＋b，＝λa＋λb.圖7由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||.所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一條直線上，||＝|λ|，與λ的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.當λ<0時，由圖8可類似證明λ(a＋b)＝λa＋λb.圖8所以③式也成立．二、備用習題1.[(2a＋