經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D11-5對(duì)坐標(biāo)曲面積分

溫馨提示：向哪個(gè)坐標(biāo)面投影，由所給積分曲面方程的形式?jīng)Q定.第一類曲面積分的計(jì)算法:-------化為二重積分計(jì)算1第五節(jié)一、有向曲面及有向曲面元素的投影二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第十一章2一、有向曲面及有向曲面元素的投影1.曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶分上側(cè)和下側(cè)分內(nèi)側(cè)和外側(cè)分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)

3其方向用法向量指向表示:2.指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定4注:3.有向曲面元的投影：5同理可定義：回顧：61.引例分析:

若是面積為S的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)7對(duì)一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則8類似地：2.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義(又叫“第二類曲面積分”)9說明:取上側(cè)時(shí),取下側(cè)時(shí),有P228題2103.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)：11三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法：從而有證明12由所給積分的形式確定將向哪個(gè)坐標(biāo)面投影.注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).---化為二重積分1.“分面投影法”13概括為：代換：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù),然后代入被積函數(shù)一代換、二投影、三定號(hào)將其化成二元函數(shù).投影：將積分曲面投影到與有向面積元素(如dxdy)中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上(如xoy面).定號(hào):由曲面的方向,即曲面的側(cè)確定二重積分前的正負(fù)號(hào).注：積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加②確定正負(fù)號(hào)的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正，曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù).14例1.解：下側(cè)則由公式得：15例2.根據(jù)對(duì)稱性思考:下述解法是否正確:解：下側(cè)上側(cè)o1yx1P2474(4)16下側(cè)上側(cè)o1yx117說明：積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加.②要寫出積分曲面的方程、側(cè)及投影區(qū)域.由所給積分的形式確定將向哪個(gè)坐標(biāo)面投影.③第二類曲面積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法有：ⅰ.利用積分曲面的方程代入被積函數(shù),化簡(jiǎn)被積函數(shù).ⅱ.利用積分曲面的垂直性.ⅲ.利用兩類曲面積分的關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算第二類曲面積分.18四、兩類曲面積分的聯(lián)系192.“合一投影法”或“點(diǎn)積法”注：由這個(gè)關(guān)系式就可把第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分,用第一類面積分的計(jì)算方法計(jì)算第二類面積分.20∴原式=解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有下側(cè)2122例4.解:利用向量點(diǎn)積法下側(cè)23內(nèi)容小結(jié)1.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義3.計(jì)算方法：(2)“合一投影法”(1)“分面投影法”24由所給積分的形式確定將向哪個(gè)坐標(biāo)面投影.注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).---