大學物理習題課-經典力學-20111.3.30

大學物理習題課

質點運動學、牛頓定律、守恒定律、剛體定軸轉動質點運動函數(shù)的描述參考系，常見參考系坐標系：直角坐標、極坐標、自然坐標軌跡函數(shù)F(x,y,z)=0

位移和速度位移速度大小方向：軌跡切線質點運動學質點運動函數(shù)的描述參考系，常見參考系坐標系：直角坐標、極坐標、自然坐標位置矢量，運動方程：軌跡函數(shù)F(x,y,z)=0

位移和速度位移速度大小方向：軌跡切線加速度加速度方向：指向軌道曲線凹下的一側常見的幾種運動質點運動問題的求解正問題：位置（運動函數(shù)）速度加速度——求導反問題：加速度速度位置（運動函數(shù)）——積分勻加速運動拋體運動ax=0ay=-g

圓周運動角速度角加速度加速度(切向分量，法向分量)

伽利略變換：絕對速度＝相對速度＋牽連速度牛頓運動定律牛頓運動定律第一定律慣性和力的概念、慣性參考系第二定律第三定律（適用于慣性系）1.萬有引力2.彈性力正壓力支持力拉力張力彈簧的彈力（虎克定律）3.摩擦力滑動摩擦力靜摩擦力大小可變最大靜摩擦力4.黏滯阻力相對速率較小時（垂直接觸面）（與相對運動或相對運動趨勢方向相反）（與相對運動方向相反）相對速率較大時力學中常見的幾種力重力（向下）牛頓運動定律的解題基本思路－認物體－看運動－查受力－列方程－解方程－討論慣性系和非慣性系非慣性系中的力學定律，引入慣性力，則平動加速參考系轉動參考系，慣性離心力守恒定律及其應用功動能定理一個質點 質點系勢能保守力沿任一閉合路徑移動一周做功為零的力勢能萬有引力勢能（無窮遠為零點）重力勢能（地面為勢能零點）彈簧彈性勢能（自然伸長位置為零點）功能原理機械能守恒定律

若則有動量定理沖量—力對時間的累積效應

質點動量定理—合外力對物體的沖量等于動量的增量質點系動量定理—作用于質點系的合外力的沖量等于系統(tǒng)的動量的增量動量守恒定律（慣性系適用）系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變＝恒量則質心概念質心位矢質心運動定理質點角動量定義對于某一定點角動量定理（合外力矩與角動量對同一定點定義）角動量守恒定律如則碰撞完全彈性碰撞：動量守恒，動能守恒。非完全彈性碰撞：動量守恒。完全非彈性碰撞：動量守恒。1.描述剛體定軸轉動的物理量角位置角位移角速度

角加速度基本概念和規(guī)律剛體的定軸轉動2.力矩和轉動慣量(1)力矩(2)轉動慣量當剛體質量連續(xù)分布組合體的轉動慣量角量與線量的關系O力矩的大?。篎rsinθ=Fr0r0

力臂

3.剛體的定軸轉動定律4.角動量和沖量矩剛體的角動量恒力矩的沖量矩變力矩的沖量矩5.角動量定理和角動量守恒定律角動量定理微分形式O積分形式沖量矩是反映力矩對時間累積效應的物理量6.力矩的功轉動動能剛體定軸轉動動能定理機械能守恒定律:只有保守內力做功時力矩的功率P＝Mω角動量守恒定律:當合外力矩為零時7.質點的運動和剛體的定軸轉動物理量對比

質點直線運動剛體的定軸轉動位移x速度加速度功

角位移

角速度角加速度質量m

轉動慣量功動能轉動動能動量角動量功率角功率作業(yè)中問題矢量的符號，量綱不能丟解題過程的規(guī)范化（參考系/坐標/自定義符號的物理意義）給出解題時采用的圖示，一目了然懶惰害人，不騙你?。?！1.一質點在平面上作曲線運動，其速率v與路程S的關系為則其切向加速度以路程S來表示的表達式為at＝？2.有一列火車，在水平地面上以不變的加速度沿著直線向前運動，在某時刻從火車天花板上掉下一個螺絲帽，則在地面上靜止的人看到螺絲帽的加速度大小為？方向是？，而在火車上靜止的人看到螺絲帽的加速度大小為？（相對運動題目）3.一光滑直桿OA與豎直軸Oz成角（為常數(shù)），直桿以勻角速度繞Oz轉動，桿上有一質量為m的小滑環(huán)，在距離O點為l處與直桿相對靜止如圖所示。試以OA桿為參考系求出此時桿的角速度ω，并討論小環(huán)是否處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)？（慣性力題目）解：如圖有沿著桿方向取投影有是否穩(wěn)定平衡，實際上是討論例1已知:求:

2秒末速度的大小（基本概念題目）解一：解二：判斷正誤并說明理由思考例2.圖中A為定滑輪，B為動滑輪，三個物體m1＝200g，m2＝100g，m3＝50g，滑輪及繩子的質量以及摩擦力忽略不計。求（1）每個物體的加速度；（2）兩根繩子的張力T1和T2。（滑輪組、相對運動題目）解：以地面為參照系，用隔離法，畫出各物體的受力圖；標示各物體的假定加速度，并以它們?yōu)檎较?。按牛頓第二定律，應有

m1g-T1=m1a１

m2g-T2=m2a2T２-m３g=m３a３T１=2T2

另一方面，動滑輪B對地應有向上的加速度a１；設m２對B有向下的加速度a’，則m３對B有向上的加速度a′于是a2=a’-a１

a3=a’+a１代入有關數(shù)據(jù)，即得

a１=1.96m·s-2

a’=3.92m·s-2

a２=1.96

m·s-2T１=2T２=1.57Na3=5.88m·s-2T２=0.785N例3：一輛裝煤車以v=3.0m/s的速率從煤斗下通過，每秒落入車廂的煤為500kg。如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂？忽略車廂與鋼軌間的摩擦。(動量定理題目)對落入車廂的煤：車廂對煤的力f，在dt時間內，使dm的煤速度從0變?yōu)関則動量定理得：fdt=vdm對車廂：受拉力F和煤對車廂的反作用力f’；速度不變所以：（F-f’)dt=0f=f’=FF=vdm/dt=3*500=1500(N)例4.如圖所示，一小物體放在一繞豎直軸勻速轉動的漏斗壁上，漏斗每秒轉n圈，漏斗壁與水平面成角，小物體和壁間的靜摩擦系數(shù)為，小物體中心與軸的距離為r。為使小物體在漏斗壁上不動，n應滿足什么條件？試以r、、等量表示之。（慣性力題目）xy

本題為質點的圓周運動問題。物體有沿著漏斗內壁向下（或向上）滑動的趨勢，靜摩擦力的方向與滑動趨勢方向相反。受力分析：物體受到重力mg，支持力N和摩擦力f的作用，這三個力的合力提供小物體作半徑為r的圓周運動的向心力（水平方向，指向軸線）。在轉速n較低時，物體有下滑趨勢，摩擦力沿漏斗壁向上。建立坐標系沿坐標軸方向進行力的分解，列方程水平方向豎直方向又解得解I：當n較大時，m有上滑趨勢，摩擦力沿漏斗壁向下，力的平衡方程為豎直方向又解得水平方向所以n在介于n1和n2之間時保持靜止，即轉速較低時，靜摩擦力向上，有：

以旋轉的漏斗為參照系，引入慣性力——離心力FNmgfF沿漏斗壁的平行和垂直方向建立坐標系，列力的平衡方程垂直壁方向平行壁方向：解II：xy轉速較高時，靜摩擦力向下，有：得解：例5質量為7.2x10-23kg，速度為6.0x107m/s的粒子A，與另一個質量為其一半而靜止的粒子B發(fā)生二維完全彈性碰撞，碰撞之后A的速率為5.0x107m/s。求：（1）撞后B的速率及相對A原來速度方向的偏角；（2）撞后A的偏角。（碰撞問題）分析：二者以何種方式碰撞，正碰？斜碰？若發(fā)生正碰，根據(jù)動量守恒和完全彈性碰撞前后動能不變的條件，即可得到碰撞后A的速率變?yōu)樵瓉淼娜种唬c題意不符。因此，此題隱含的意思是二者發(fā)生斜碰。βαvbva‘vayx解：如圖建立坐標系水平方向分量式：豎直方向分量式：完全彈性碰撞，機械能守恒：碰撞系統(tǒng)的動量守恒有：聯(lián)立上述等式，可求得：例6如圖所示，用一穿過光滑桌面上小孔的軟繩．將放在桌面上的質點m與懸掛著的質點M連接起來，在桌面上作勻速率圓周運動。問：（1）若繩的質量可以忽略不計，m桌面上作圓周運動的速率v和圓周半徑r滿足什么關系時才能使M靜止不動?（2）若繩的質量為m0，長度為L，則v與r應滿足怎樣的關系？（微積分應用）解：（1）mMrvmgNT’MgTM和m的受力分析如圖對m當M靜止時．對M有解得（2）若繩的質量不為0，則作圓周運動的繩也需要向心力設繩的線密度為距離圓心x處的長度為dx的一段繩質量為在水平方向上有積分得dmTxT’xTxT’’T’’Mg(L-r)gT’豎直繩的力平衡再代入T和T’，整理得xo

例7.質量為m的小球，以速度v0

在水平冰面上滑動，撞在與小球運動方向垂直的一根細木棍的一端，并粘附在木棍上。設木棍的質量為M，長度為l。試求：（1）忽略冰的摩擦，定量地描述小球附在木棍上后，系統(tǒng)的運動情況。（2）剛剛發(fā)生碰撞之后，木棍上有一點p是瞬時靜止的，問該點在何處？(質心平動運動問題＋動量守恒問題)cOMm

棒和球組成的系統(tǒng)為研究對象。碰撞后系統(tǒng)質心作勻速直線運動，同時系統(tǒng)繞質心作勻速轉動。

（1）選m處為坐標原點，系統(tǒng)質心位置c距右端距離①由動量守恒求質心平動速度vc：（2）瞬時靜止的一點p在質心的左側，p點繞質心轉動相應瞬時向下線速度恰好等于質心平動速度vc,即②由角動量守恒求系統(tǒng)繞質心轉動的角速度ω：例8.勻質細桿長為2L，質量m，以與棒長方向垂直的速度v0在光滑水平面內平動時，與前方固定光滑支點O發(fā)生完全非彈性碰撞，如圖所示。求棒在碰撞后瞬時繞O點轉動的角速度。（角動量守恒問題）v0v0L/2L/2LO解：碰橦前瞬間,桿對O點的角動量為式中為桿的線密度,碰橦后瞬間,桿對O點的角動量為碰橦前后角動量守恒例9.如圖:空心環(huán)B半徑R,初始角速度w0,對軸轉動慣量為J0,可繞轉軸自由旋轉；求:小球A無摩擦滑到b,c點時，環(huán)的角速度和球相對于環(huán)的速度各為多少？（守恒問題）w0bO'RBAOacwO'RBAOacvcbvb解:小球下落過程,球與環(huán)組成的系統(tǒng)對軸OO'角動量守恒ab:ac