實(shí)驗(yàn)九 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的有關(guān)計(jì)算

實(shí)驗(yàn)九數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的有關(guān)計(jì)算數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是受隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)的一門應(yīng)用學(xué)科。數(shù)據(jù)樣本少則幾個(gè)，多則成千上萬，人們希望能用少數(shù)幾個(gè)包含其最多相關(guān)信息的數(shù)值來體現(xiàn)數(shù)據(jù)樣本總體的規(guī)律。描述性統(tǒng)計(jì)就是搜集、整理、加工和分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使之系統(tǒng)化、條理化，以顯示出數(shù)據(jù)資料的趨勢、特征和數(shù)量關(guān)系。它是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，實(shí)用性較強(qiáng)，在統(tǒng)計(jì)工作中經(jīng)常使用。面對(duì)一批數(shù)據(jù)如何進(jìn)行描述與分析，需要掌握參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)這兩個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的最基本方法。1統(tǒng)計(jì)的基本概念1.1總體和樣本總體是人們研究對(duì)象的全體，又稱母體，如工廠一天生產(chǎn)的全部產(chǎn)品（按合格品及廢品分類），學(xué)校全體學(xué)生的身高?？傮w中的每一個(gè)基本單位稱為個(gè)體，個(gè)體的特征用一個(gè)變量（如^）來表示，如一件產(chǎn)品是合格品記X=0，是廢品記X=1；一個(gè)身高170（cm）的學(xué)生記x=170。從總體中隨機(jī)產(chǎn)生的若干個(gè)個(gè)體的集合稱為樣本，或子樣，如〃件產(chǎn)品，100名學(xué)生的身高，或者一根軸直徑的10次測量。實(shí)際上這就是從總體中隨機(jī)取得的一批數(shù)據(jù)，不妨記作氣,七'七，n稱為樣本容量。簡單地說，統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是由樣本推斷總體。1.2頻數(shù)表和直方圖一組數(shù)據(jù)（樣本）往往是雜亂無章的，作出它的頻數(shù)表和直方圖，可以看作是對(duì)這組數(shù)據(jù)的一個(gè)初步整理和直觀描述。將數(shù)據(jù)的取值范圍劃分為若干個(gè)區(qū)間，然后統(tǒng)計(jì)這組數(shù)據(jù)在每個(gè)區(qū)間中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為頻數(shù)，由此得到一個(gè)頻數(shù)表。以數(shù)據(jù)的取值為橫坐標(biāo)，頻數(shù)為縱坐標(biāo)，畫出一個(gè)階梯形的圖，稱為直方圖或頻數(shù)分布圖。若樣本容量不大，能夠手工作出頻數(shù)表和直方圖，當(dāng)樣本容量較大時(shí)則可以借助Matlab這樣的軟件了。讓我們以下面的例子為例，介紹頻數(shù)表和直方圖的作法。例1學(xué)生的身高和體重學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測量他們的身高和體重，所得數(shù)據(jù)如表身高體重身高體重身高體重身高體重身高體重17275169551696417165167471716216867165521696216865166621686516459170581656416055175671737417264168571555717664172691695817657173581685016952167721705716655161491735717576158511706316963173611645916562167531716116670166631725317360178641635716954169661786017766170561675416958173731705816065179621725016347173671655817663162521656617259177661826917575170601706216963186771746616350172591766016676167631725717758177671697216650182631766817256173591746417159175681655616965168621776418470166491717117059(=1\*romani)數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)輸入通常有兩種方法，一種是在交互環(huán)境中直接輸入，如果在統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)量比較大，這樣作不太方便；另一種辦法是先把數(shù)據(jù)寫入一個(gè)純文本數(shù)據(jù)文件data.txt中，格式如例1的表格，有20行、10列，數(shù)據(jù)列之間用空格鍵或Tab鍵分割，該數(shù)據(jù)文件data.txt存放在matlab\work子目錄下，在Matlab中用load命令讀入數(shù)據(jù)，具體作法是：loaddata.txt這樣在內(nèi)存中建立了一個(gè)變量data，它是一個(gè)包含有2010個(gè)數(shù)據(jù)的矩陣。為了得到我們需要的100個(gè)身高和體重各為一列的矩陣，應(yīng)做如下的改變：high=data(:,1:2:9);high=high(:)weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:)(=2\*romanii)作頻數(shù)表及直方圖用hist命令實(shí)現(xiàn)，其用法是：[N,X]=hist(Y,M)數(shù)組(行、列均可)Y的頻數(shù)表。它將區(qū)間[min(Y),max(Y)]等分為M份(缺省時(shí)M設(shè)定為10)，N返回M個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)，X返回M個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)。hist(Y,M)數(shù)組Y的直方圖。對(duì)于例1的數(shù)據(jù)，編寫程序如下：loaddata.txt;high=data(:,1:2:9);high=high(:);weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);[n1,x1]=hist(high)[n2,x2]=hist(weight)subplot(1,2,1)hist(high)subplot(1,2,2)hist(weight)計(jì)算結(jié)果略，直方圖如下圖所示：

150 160 170 180 19040 50 60 70 80150 160 170 180 19040 50 60 70 80從直方圖上可以看出，身高的分布大致呈中間高、兩端低的鐘形；而體重則看不出什么規(guī)律。要想從數(shù)值上給出更確切的描述，需要進(jìn)一步研究反映數(shù)據(jù)特征的所謂“統(tǒng)計(jì)量”。直方圖所展示的身高的分布形狀可看作正態(tài)分布，當(dāng)然也可以用這組數(shù)據(jù)對(duì)分布作假設(shè)檢驗(yàn)。1.3統(tǒng)計(jì)量假設(shè)看一個(gè)容量為n的樣本(朗一組數(shù)據(jù))記作x=(x"氣，…，x)需要對(duì)它進(jìn)行一假設(shè)有1容量為的樣本(即組數(shù)據(jù))，記IF 12n，需要對(duì)匕進(jìn)行定的加工，才能提出有用的信息，用作對(duì)總體(分布)參數(shù)的估計(jì)和檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)量就是加工出來的、反映樣本數(shù)量特征的函數(shù)，它不含任何未知量。下面我們介紹幾種常用的統(tǒng)計(jì)量。(=1\*romani)表示位置的統(tǒng)計(jì)量一算術(shù)平均值和中位數(shù)算術(shù)平均值(簡稱均值)描述數(shù)據(jù)取值的平均位置，記作亍，_ 1寸x-Ex(2)((2)(1)i=1中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位置的那個(gè)數(shù)值。Matlab中mean(x)返回x的均值，median(x)返回中位數(shù)。(=2\*romanii)表示變異程度的統(tǒng)計(jì)量一標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差標(biāo)準(zhǔn)差S定義為E(X-x)2n-1ii=1它是各個(gè)數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量，這種偏離不妨稱為變異。方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方技?！鯺辛BX(X，X,..?,X)陋旦估旦，1、估丹半極差是12n的最大值與最小值之差。Matlab中std(x)返回x的標(biāo)準(zhǔn)差，var(x)返回方差，range(x)返回極差。你可能注意到標(biāo)準(zhǔn)差s的定義(2)中，對(duì)n個(gè)(Xi—x)的平方求和，卻被(n-1)除，這是出于無偏估計(jì)的要求。若需要改為被n除，Matlab可用std(x,1)和var(x,1)來實(shí)現(xiàn)。(=3\*romaniii)中心矩、表示分布形狀的統(tǒng)計(jì)量一偏度和峰度隨機(jī)變量X的〃階中心矩為E(X—EX)'。

隨機(jī)變量x的偏度和峰度指的是x的標(biāo)準(zhǔn)化變量(*—E"DD的三階中心矩和四階中心矩：—J「D-e(D)tL或-e(d)*IV廣EI^JD(x^Jl=(D(D)'、4)、4)4](D(D)》偏度反映分布的對(duì)稱性，Vi>0稱為右偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多；Vi<0稱為左偏態(tài)，情況相反；而〃i接近0則可認(rèn)為分布是對(duì)稱的。峰度是分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為3,若〃2比3大得多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可以用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一。Matlab中moment(x,order)返回x的order階中心矩，order為中心矩的階數(shù)。skewness(x)返回x的偏度，kurtosis(x)返回峰度。在以上用Matlab計(jì)算各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的命令中，若x為矩陣，則作用于x的列，返回一個(gè)行向量。對(duì)例1給出的學(xué)生身高和體重，用Matlab計(jì)算這些統(tǒng)計(jì)量，程序如下：clcloaddata.txt;high=data(:,1:2:9);high=high(:);weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);shuju=[highweight];jun_zhi=mean([highweight])zhong_wei_shu=median(shuju)biao_zhun_cha=std(shuju)ji_cha=range(shuju)pian_du=skewness(shuju)feng_du=kurtosis(shuju)統(tǒng)計(jì)量中最重要、最常用的是均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由于樣本是隨機(jī)變量，它們作為樣本的函數(shù)自然也是隨機(jī)變量，當(dāng)用它們?nèi)ネ茢嗫傮w時(shí)，有多大的可靠性就與統(tǒng)計(jì)量的概率分布有關(guān)，因此我們需要知道幾個(gè)重要分布的簡單性質(zhì)。1.4統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)重要的概率分布1.4.1分布函數(shù)、密度函數(shù)和分位數(shù)隨機(jī)變量的特性完全由它的(概率)分布函數(shù)或(概率)密度函數(shù)來描述。設(shè)有隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)定義為XJD的概率，即F(D)=P{X-D}。若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則其密度函數(shù)p(D)與F(D)的關(guān)系為F(x)=jxp(x)dx—8 .分位數(shù)是下面常用的一個(gè)概念，其定義為：對(duì)于0〈aV1,使某分布函數(shù)F(x)=□的X，成為這個(gè)分布的a分位數(shù)，記作"a。我們前面畫過的直方圖是頻數(shù)分布圖，頻數(shù)除以樣本容量"，稱為頻率，n充分大時(shí)頻率是概率的近似，因此直方圖可以看作密度函數(shù)圖形的(離散化)近似。1.4.2統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)重要的概率分布(=1\*romani)正態(tài)分布正態(tài)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)曲線呈中間高兩邊低、對(duì)稱的鐘形，期望(均值)EX=R，方差DX，記作X~N(口q2)/稱均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)四=°，"=1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(°，1)。正態(tài)分布完全由均值H和方差"2決定，它的偏度為0，峰度為3。正態(tài)分布可以說是最常見的(連續(xù)型)概率分布，成批生產(chǎn)時(shí)零件的尺寸，射擊中彈著點(diǎn)的位置，儀器反復(fù)量測的結(jié)果，自然界中一種生物的數(shù)量特征等，多數(shù)情況下都服從正態(tài)分布，這不僅是觀察和經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，而且有著深刻的理論依據(jù)，即在大量相互獨(dú)立的、作用差不多大的隨機(jī)因素影響下形成的隨機(jī)變量，其極限分布為正態(tài)分布。鑒于正態(tài)分布的隨機(jī)變量在實(shí)際生活中如此地常見，記住下面3個(gè)數(shù)字是有用的：68%的數(shù)值落在距均值左右1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，即P{^—"<X<日+b}=0.68；95%的數(shù)值落在距均值左右2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，即尸{日一2"<X<日+2"}=0.95；99.7%的數(shù)值落在距均值左右3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，即尸山一3"<X<日+3"}=0.997.(=2\*romanii)*2分布(Chisquare)若X1，X2，，X為相互獨(dú)立的、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的隨機(jī)變量，則它們的平方Y(jié)=/X2和頃’服從*2分布，記作Y~*2(n)，n稱自由度，它的期望EY=n，方差DY=2n。(=3\*romaniii)'分布若X~N(0,1)，Y~*2(n)，且相互獨(dú)立，則vY/n服從t分布，記作b~t(n)，n稱自由度。t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布。t分布的密度函數(shù)曲線和N(0,1)曲線形狀相似。理論上nT8時(shí)，T~'(n)TN(0,1)，實(shí)際上當(dāng)n>30時(shí)它與N(0,1)就相差無幾了。(=4\*romaniv)F分布F="若X?X2(ni)，Y-X2(n2)，且相互獨(dú)立，則 Y/n2服從F分布，記作F~F(n,n) (n,n'等、1 2， 1 2稱口田度。1.4.3Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱(Toolbox'Stats)1中的概率分布Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中有20種概率分布，這里只對(duì)上面所述4種分布列出命令的字符：norm正態(tài)分布；chi2X之分布；t'分布 fF分布工具箱對(duì)每一種分布都提供5類函數(shù)，其命令的字符是：pdf概率密度；cdf分布函數(shù)；inv分布函數(shù)的反函數(shù)；stat均值與方差；rnd隨機(jī)數(shù)生成當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時(shí)，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量(可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣)和參數(shù)就行了，如：p=normpdf(x,mu,sigma)均值mu、標(biāo)準(zhǔn)差sigma的正態(tài)分布在*的密度函數(shù)(mu=0，sigma=1時(shí)可缺省)。p=tcdf(x,n)'分布(自由度n)在x的分布函數(shù)。x=chi2inv(p,n)X2分布(自由度n)使分布函數(shù)F(x)=p的x(即p分位數(shù))。[m,v]=fstat(n1,n2)F分布(自由度n1,n2)的均值m和方差v。幾個(gè)分布的密度函數(shù)圖形就可以用這些命令作出，如：x=6:0.01:6y=normpdf(x)z=normpdf(x,0,2)plot(x,y,x,z),gtext('N(0,1)'),gtext('N(0,2八2)')分布函數(shù)的反函數(shù)的意義從下例看出：x=chi2inv(0.9,10)x=15.9872如果反過來計(jì)算，則P=chi2cdf(15.9872,10)P=0.90001.5正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布用樣本來推斷總體，需要知道樣本統(tǒng)計(jì)量的分布，而樣本又是一組與總體同分布的隨機(jī)變量，所以樣本統(tǒng)計(jì)量的分布依賴于總體的分布。當(dāng)總體服從一般的分布時(shí)，求某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布是很困難的，只有在總體服從正態(tài)分布時(shí)，一些重要的樣本統(tǒng)計(jì)量(均值、標(biāo)準(zhǔn)差)的分布才有便于使用的結(jié)果。另一方面，現(xiàn)實(shí)生活中需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的總體，多數(shù)可以認(rèn)為服從(或近似服從)正態(tài)分布，所以統(tǒng)計(jì)中人們在正態(tài)總體的假定下研究統(tǒng)計(jì)量的分布，是必要的與合理的。

X~^N（ILA,b2）X,X,,x日n S設(shè)總體 '）,12 n為一谷量n的樣本，其均值X和標(biāo)準(zhǔn)差S由式（1）、（2）確定，則用X和s構(gòu)造的下面幾個(gè)分布在統(tǒng)計(jì)中是非常有用的。x?N(A,胃) ?N(0,1)n或b/*n(n-1)s2?12(n-1).b2二?t(n-1)s/5(3)(4)(5)確定的均值X'、和標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)'S2，則(七叩-(y-叩?n(0,1)Jb2/n+b2/n(x-叩-(y-七)?(3)(4)(5)確定的均值X'、和標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)'S2，則(七叩-(y-叩?n(0,1)Jb2/n+b2/n(x-叩-(y-七)?t(n*n-2)^s2/n+s2/n1 2s2其中(n—1)s2+(n—1)s2

―1 1 2 3-n+n—2s2/b2s2/b2?F(n1-1,n2-1)(6)(7)(8)對(duì)于（7）式，假定b1=b2，但它們未知，于是用’代替。在下面的統(tǒng)計(jì)推斷中我們要反復(fù)用到這些分布。2參數(shù)估計(jì)利用樣本對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一類問題是參數(shù)估計(jì)，即假定已知總體的分布，通常是X?N（A,b2），估計(jì)參數(shù)的分布，如A,b2。參數(shù)估計(jì)分點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。2.1點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量確定總體參數(shù)的一個(gè)數(shù)值。評(píng)價(jià)估計(jì)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)有無偏性、最小方差性、有效性等，估計(jì)的方法有矩法、極大似然法等。最常用的是對(duì)總體均值A(chǔ)和b2方差（或標(biāo)準(zhǔn)差b）作點(diǎn)估計(jì)。讓我們暫時(shí)拋開評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)從一個(gè)樣本按照式（1）、（2）算出樣本均值X和方差s2后，對(duì)A和b2（或b）個(gè)自然、合理的點(diǎn)估計(jì)顯然是（在字母上加”表示它的估計(jì)值）

R=R=Xb2=S2 b=S，，(9)2.2區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)雖然給出了待估參數(shù)的一個(gè)數(shù)值，卻沒有告訴我們這個(gè)估計(jì)值的精度和可信程度。一般地，總體的待估參數(shù)記作0（如p,b2），由樣本算出的0的估計(jì)量記作0，人們常希望給出一個(gè)區(qū)間[常希望給出一個(gè)區(qū)間[01，62]，使0以一定的概率落在此區(qū)間內(nèi)。若有P{0P{0<0<0}=1—a120<a<1(10)E>t[^^.0] I—-*>、—f0.0八r.i-Cf,、t，,,，—I~*rm-Ti-i，,,,rn1—fV-f-r.、r，,,，inn*>-t、則L1，2」稱為的直信區(qū)間，1，2分別稱為直信下限和直信上限，1頃稱為直信概率或置信水平，a稱為顯著性水平。給出的置信水平為】—a的置信區(qū)間[01,02]，稱為0的區(qū)間估計(jì)。置信區(qū)間越小，估計(jì)的精度越高；置信水平越大，估計(jì)的可信程度越高。但是這兩個(gè)指標(biāo)顯然是矛盾的，通常是在一定的置信水平下使置信區(qū)間盡量小。通俗地說，區(qū)間估計(jì)給出了點(diǎn)估計(jì)的誤差范圍。2.3參數(shù)估計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中，有專門計(jì)算總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的函數(shù)。對(duì)于正態(tài)總體，命令是[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit（x,alpha）其中X為樣本（數(shù)組或矩陣），alpha為顯著性水平a（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），返回總體均值^和標(biāo)準(zhǔn)差b的點(diǎn)估計(jì)mu和sigma,及總體均值R和標(biāo)準(zhǔn)差Q的區(qū)間估計(jì)muci和sigmaci。當(dāng)x為矩陣時(shí)返回行向量。Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中還提供了一些具有特定分布總體的區(qū)間估計(jì)的命令，如expfit，poissfit，gamfit，你可以從這些字頭猜出它們用于哪個(gè)分布，具體用法參見幫助系統(tǒng)。3假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題。在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式但不知其參數(shù)的情況，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的假設(shè)，又如對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望等于"0的假設(shè)等。假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)做出判斷：是接受還是拒絕。這就是所謂的假設(shè)檢驗(yàn)問題。3.1單個(gè)總體N（呻2）均值R的檢驗(yàn)原假設(shè)（或零假設(shè)）為：H0:p=p0。備選假設(shè)有三種可能:H:^袂H:p>pH:p<pb2已知，關(guān)于^的檢驗(yàn)（u檢驗(yàn)）在Matlab中u檢驗(yàn)法由函數(shù)ztest來實(shí)現(xiàn)，命令為[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)其中輸入?yún)?shù)X是樣本，mu是H0中的四0,sigma是總體標(biāo)準(zhǔn)差Q,alpha是顯著性水平a（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），tail是對(duì)備選假設(shè)H1的選擇：H1為*'*°時(shí)用tail=0（可缺?。籋1為*>*0時(shí)用tail=1；H1為*<*0時(shí)用tail=-1。輸出參數(shù)h=0表示接受Ho，h=1表示拒絕H0，p表示在假設(shè)H0下樣本均值出現(xiàn)的概率，p越小H0越值得懷疑，ci是*0的置信區(qū)間。例3某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝糖果。包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤。某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋，稱得凈重為（公斤）：0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.5110.5200.5150.512問機(jī)器是否正常？解總體^已知，*~N（*°0152），*未知。于是提出假設(shè)H0：*=*0=°?5和H:*。0.5Matlab實(shí)現(xiàn)如下：x=[0.497 0.506 0.518 0.524 0.49...0.511 0.520 0.515 0.512];[h,p,ci]=ztest（x,0.5,0.015）求得h=1，p=0.0248，說明在0.05的水平下，可拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為這天包裝機(jī)工作不正常。G2未知，關(guān)于*的檢驗(yàn)（'檢驗(yàn)）在Matlab中*檢驗(yàn)法由函數(shù)ttest來實(shí)現(xiàn)，命令為[h,p,ci]=ttest（x,mu,alpha,tail）例4某種電子元件的壽命*（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，*,C2均未知.現(xiàn)得16只元件的壽命如下：159 280 101 212 224 379 179 264222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）？解按題意需檢驗(yàn)H:*<*=225,H:*>225取a=0.05。Matlab實(shí)現(xiàn)如下：x=[159 280 101 212 224 379 179 264...222 362 168 250 149 260 485 170];[h,p,ci]=ttest（x,225,0.05,1）求得h=0，p=0.2570，說明在顯著水平為0.05的情況下，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為元件

的平均壽命不大于225小時(shí)。3.2兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)('檢驗(yàn))還可以用*檢驗(yàn)法檢驗(yàn)具有相同方差的2個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)。在Matlab中由函數(shù)ttest2實(shí)現(xiàn)，命令為：[h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)與上面的ttest相比，不同處只在于輸入的是兩個(gè)樣本x,y(長度不一定相同)，而不是一個(gè)樣本和它的總體均值；tail的用法與ttest相似，可參看幫助系統(tǒng)。例5在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外，其它條件都可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐,以后交換進(jìn)行，各煉了10爐,其得率分別為1°標(biāo)準(zhǔn)方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.32°新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1'FL、~V~rr*人I-It-t->—- v,_L,、, i—r 八rt,[ 人-w/J..N( LA ,b2)HrtN( LA ,b2) LA , LA ,b2it-.-I—dz設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立且分別來自正態(tài)總體V1，'和V2， ,「2，均未知，問建議的新方法能否提高得率？(取以=0.05。)解(=1\*romani)需要檢驗(yàn)假設(shè)H:A-A=0H:A-a<0TOC\o"1-5"\h\z0 1 2 ， 1 1 2(=2\*romanii)Matlab實(shí)現(xiàn)77.3];82.1];77.3];82.1];y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2[h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1)求得h=1,p=2.2126X10-4表明在以=0.05的顯著水平下，可以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為建議的新操作方法較原方法優(yōu)。3.3分布擬合檢驗(yàn)在實(shí)際問題中，有時(shí)不能預(yù)知總體服從什么類型的分布，這時(shí)就需要根據(jù)樣本來檢驗(yàn)關(guān)于分布的假設(shè)。下面介紹Z2檢驗(yàn)法和專用于檢驗(yàn)分布是否為正態(tài)的“偏峰、峰度檢驗(yàn)法”。*2檢驗(yàn)法氣：總體％的分布函數(shù)為F(X),H1:總體x的分布函數(shù)不是F(x).在用下述*2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)H0時(shí)，若在假設(shè)H0下F(X)的形式已知，但其參數(shù)值未知，這時(shí)需要先用極大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，然后作檢驗(yàn)。*2檢驗(yàn)法的基本思想如下：將隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的全體Q分為k個(gè)互不相容的事件A,A,A，…,A(F=d1氣=①,,主j」，j= ,k h12 3k i=1 。于是在假設(shè)0卜，我們可

― A\ △A/A\ . . A r/-以計(jì)算p—P（A）（或p—P（A））i-1,2,k在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率fn以計(jì)算I I（或I I）， 。在次試驗(yàn)中，事I十I出現(xiàn)的頻率I與Pi（Pi）往往有差異，但一般來說，若H0為真，且試驗(yàn)的次數(shù)又甚多時(shí)，則這種差異不應(yīng)該很大。基于這種想法，皮爾遜使用Z2=Z( 竺)2i=1 nPir2k（fi~npi）2Z2=Z( 竺)2i=1 nPii=1 nPi(11)1J(11)H作為檢驗(yàn)假設(shè)"0的統(tǒng)計(jì)量。并證明了以下定理。定理若n充分大，則當(dāng)H0為真時(shí)（不論H0中的分布屬什么分布），統(tǒng)計(jì)量（11）總是近似地服從自由度為k-r-1的Z2分布，其中r是被估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。于是，若在假設(shè)H0下算得（11）有Z2>Z2（k-r-1）,在顯著性水平口下拒絕H0，否則就接受。注意：在使用Z2檢驗(yàn)法時(shí)，要求樣本容量n不小于50,以及每個(gè)nPi都不小于5,而且理i最好是在5以上。否則應(yīng)適當(dāng)?shù)睾喜i，以滿足這個(gè)要求。例6下面列出了84個(gè)伊特拉斯坎（Etruscan）人男子的頭顱的最大寬度（mm）,試檢驗(yàn)這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體（取以=0.1）。141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145解編寫Matlab程序如下:clcx=[141148 132 138154142150 146 155 15.150140147148144150149145149 15...143141144144126140144142141 14...145135147146141136140146142 13...148154137139143140131143141 14...

14813514815214314414114314714...15013214214214315314914614913...14214914213713414414614714014...140137152145]；%求數(shù)據(jù)中的最小數(shù)和最大數(shù)%畫直方圖min(x),max(x)hist(x,8)fi=[length(find(x<135)),...length(find(x>=135&x<138)),length(find(x>=138&x<142)),length(find(x>=142&x<146)),length(find(x>=146&x<150)),length(find(x>=150&x<154)),length(find(x>=154))]mu=mean(x),sigma=std(x)fendian=[135,138,142,146,150,154]p0=normcdf(fendian,mu,sigma)p1=diff(p0)p=[p0(1),p1,1-p0(6)]chi=(fi-84*p).八%求數(shù)據(jù)中的最小數(shù)和最大數(shù)%畫直方圖min(x),max(x)hist(x,8)fi=[length(find(x<135)),...length(find(x>=135&x<138)),length(find(x>=138&x<142)),length(find(x>=142&x<146)),length(find(x>=146&x<150)),length(find(x>=150&x<154)),length(find(x>=154))]mu=mean(x),sigma=std(x)fendian=[135,138,142,146,150,154]p0=normcdf(fendian,mu,sigma)p1=diff(p0)p=[p0(1),p1,1-p0(6)]chi=(fi-84*p).八2./(84*p)chisum=sum(chi)xa=chi2inv(0.9,4)珞區(qū)間上出現(xiàn)的頻數(shù)%均值和標(biāo)準(zhǔn)差%區(qū)間的分點(diǎn)汾點(diǎn)處分布函數(shù)的值%中間各區(qū)間的概率%所有區(qū)間的概率%皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的值%chi2分布的0.9分位數(shù)求得皮爾遜統(tǒng)計(jì)量chisum=1.9723, 0.1 )^0.1 . ，故在水平0.1下接受H0，即認(rèn)為數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體。3.3.2偏度、峰度檢驗(yàn)(留作習(xí)題1)3.4其它非參數(shù)檢驗(yàn)Matlab還提供了一些非參數(shù)方法。Wilcoxon秩和檢驗(yàn)在Matlab中，秩和檢驗(yàn)由函數(shù)ranksum實(shí)現(xiàn)。命令為：[p,h]=ranksum(x,y,alpha)其中x，y可為不等長向量，alpha為給定的顯著水平，它必須為0和1之間的數(shù)量。p返回產(chǎn)生兩獨(dú)立樣本的總體是否相同的顯著性概率，h返回假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。如果x和y的總體差別不顯著，則h為零；如果x和y的總體差別顯著，則h為1。如果p接近于零，則可對(duì)原假設(shè)質(zhì)疑。例7某商店為了確定向公司A或公司B購買某種產(chǎn)品，將4B公司以往各次進(jìn)貨的次品率進(jìn)行比較，數(shù)據(jù)如下所示，設(shè)兩樣本獨(dú)立。問兩公司的商品的質(zhì)量有無顯