《計算電磁學(xué)》第一講

Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，

HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Oct.

9,

2011ComputationalElectromagnetics

計算電磁學(xué)

E-mail:pdu@2/4/2023為什么要學(xué)習(xí)《計算電磁學(xué)》？

?為何要學(xué)習(xí)科學(xué)計算？

現(xiàn)代科學(xué)研究的基本模式——科學(xué)實驗、理論分析、科學(xué)高性能計算（或高性能計算）?？茖W(xué)計算是20世紀(jì)重要的科技進步之一。伴隨著電子計算機的出現(xiàn)迅速發(fā)展并得到廣泛應(yīng)用。目前，其已成為促進重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科技進步的重要手段?，F(xiàn)今科學(xué)計算已是體現(xiàn)國家科學(xué)技術(shù)核心競爭力的重要標(biāo)志，是國家科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵要素之一。

科學(xué)計算技術(shù)：硬件+軟件。硬件：計算機

軟件：算法第一講緒論2/4/2023

?為何要學(xué)習(xí)《計算電磁學(xué)》？它的重要性是什么？

隨著科技的發(fā)展，比如分析深亞微米集成電路的Crosstalk問題、信號完整性問題；軍用目標(biāo)（比如戰(zhàn)機）的電磁特性；大型天線陣列的設(shè)計等，人們對快速精確計算的要求越來越高。戰(zhàn)機的電磁特性，如雷達散射截面(RCS)的計算，一般要在設(shè)計時就要得到。美國在上世紀(jì)90年代開發(fā)了FISC、XPATCH等分析該問題的軟件。目前，我國雖然也開發(fā)了幾款類似軟件，但據(jù)說計算精度和實際要求還有一定差距。因此需要繼續(xù)研究《計算電磁學(xué)》。

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《計算電磁學(xué)》的研究特點？

先建立電磁、數(shù)學(xué)模型，然后通過適當(dāng)?shù)乃惴ㄔ谟嬎銠C上實現(xiàn)。算法(algorithm)，簡單說就是解決具體問題時計算機所能執(zhí)行的步驟。算法的評價標(biāo)準(zhǔn)：能否得到結(jié)果、精度是否滿足要求、計算量等。

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算法得到的結(jié)果與真實結(jié)果之間總會存在誤差，其主要來源有：模型誤差

觀測誤差方法誤差舍入誤差另外，收斂性和穩(wěn)定性問題也要考慮。

2/4/2023電磁場問題求解方法

三類：解析法、數(shù)值法、半解析數(shù)值法。

?解析法

偏微分方程：分離變量法(Separationofvariables)

積分方程：變換法

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優(yōu)點：可將解答表示為已知函數(shù)的顯式，從而可計算出精確的數(shù)值結(jié)果；

可作為近似解和數(shù)值解的檢驗標(biāo)準(zhǔn)；可方便觀察到問題的內(nèi)在聯(lián)系和各參數(shù)對數(shù)值結(jié)果所起的作用。

缺點：只能解決很少量的問題。比如，標(biāo)量亥姆霍茲問題，只有在11種坐標(biāo)系下才能用分離變量法求解。所分析問題的邊界面只能為11種坐標(biāo)系中的一個或幾個的組合；另外，邊界條件只能為一類或二類才行。對積分方程，只有其核為某些形式時才能用變換法得到解。因而近似解析法就顯得十分重要。2/4/2023

近似解析法常見的有微擾法、變分法、多極子展開近似等。高頻近似法，如幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、一致性繞射理論（UTD）、物理繞射理論(PTD)、彈跳射線法(ShootingandBouncingRays,SBR)。低頻近似法，如準(zhǔn)靜態(tài)場近似。這些近似法共同點是：根據(jù)求解問題的解的范圍(定義域、值域)作出該范圍內(nèi)成立的近似假設(shè)，從而得到簡化模型和求解過程的目的。2/4/2023

?數(shù)值方法：

優(yōu)點：普適性強；用戶不必掌握高度專業(yè)化的電磁場理論、數(shù)學(xué)及數(shù)值技術(shù)方面的知識就能用提供的程序解決實際問題。

主要有：有限元法(FEM)時域有限差分法(FDTD)矩量法(MoM).2/4/2023

?半解析數(shù)值法

它結(jié)合了純解析法和純數(shù)值法的優(yōu)點，使數(shù)值計算工作量顯著降低，適合微機計算。同時，保留了純數(shù)值法的靈活性和通用性。比如，直線法(MethodofLines)2/4/2023常用的幾種數(shù)值計算方法

?有限元法（FEM法)：離散泛函形式的麥克斯韋方程。早在1940年代就提出，

1950年代用于飛機設(shè)計；但開創(chuàng)性工作是R.W.Clough在1960年的著作中奠定的。

1960年代末-70年代初，被移植到電磁場工程領(lǐng)域。

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早期：里茲有限元：應(yīng)用瑞利-里茲方法，廣泛應(yīng)用于求解Laplace方程和Poisson方程所描述的場問題。后來：伽略金(最小二乘)有限元法：應(yīng)用加權(quán)余量法中的伽略金(Galerkin)法或最小二乘法也可以得到有限元方程。這樣，F(xiàn)EM法能夠分析任何微分方程所描述的各類物理場。另外，它也能用于分析時變場、非線性場以及復(fù)雜媒質(zhì)中的電磁場問題。

2/4/2023有限元法的幾個優(yōu)點：采用物理上離散與分片多項式插值，對材料邊界、激勵有廣泛適應(yīng)性；基于變分原理，將數(shù)理方程變?yōu)榇鷶?shù)方程組求解；采用矩陣形式和單元組裝方法，其各環(huán)節(jié)易于標(biāo)準(zhǔn)化，程序通用性強，且具有較高的計算精度，便于編寫程序和維護，適宜于制作商業(yè)軟件.國際學(xué)術(shù)界對有限元法的理論、計算技術(shù)和各方面的應(yīng)用做了大量的工作，許多問題均有現(xiàn)成的程序，可用的商業(yè)軟件資源相對較多。電磁領(lǐng)域有HFSS。

2/4/2023早期有限元法存在幾個缺點：出現(xiàn)偽解，這是由于未強加散度條件引起的；在材料邊界和導(dǎo)體表面強加邊界條件不便；處理導(dǎo)體和介質(zhì)邊緣及角有困難。

1980年代末、90年代初，提出了矢量有限元法(VectorFEM)，也叫棱邊元(edgeelement)。該方法克服了上面提到的缺點。2/4/2023

FEM法因為其優(yōu)點受到了人們的歡迎。但隨著對FEM的研究，特別是工程上實際應(yīng)用的深入，一些新問題也隨之出現(xiàn)：所解問題的復(fù)雜性和經(jīng)費、時間以及計算機能力有限之間存在著矛盾；

FEM法為區(qū)域性解法，分割的元素數(shù)和節(jié)點數(shù)較多，導(dǎo)致所需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜、使用不便。但利用剖分軟件如ANSYS、Patran等商業(yè)軟件可以將分析區(qū)域自動剖分成三角形單元(二維問題，如波導(dǎo)的本征值問求解)或四面體單元(三維問題，如介質(zhì)體的散射計算)。

(Tobecont’d)2/4/2023有限元產(chǎn)生的代數(shù)矩陣方程的條件數(shù)。隨著網(wǎng)格細(xì)分，單元尺寸h變小，條件數(shù)將變壞，導(dǎo)致計算結(jié)果很差。

為求解壞條件數(shù)的矩陣方程，人們提出了預(yù)條件技術(shù)(Preconditioningtechniques)，如稀疏近似逆（SAI）、雙層(Two-level)預(yù)條件技術(shù)、稀疏化遞歸Cholesky分解以及折疊預(yù)條件(Foldedpreconditioning)(IEEETRANS.MAGNETICS,VOL.46,No.7,Jul.2010)等。

(Tobecont’d)2/4/2023對于無限大區(qū)域中的問題，由于其邊界條件難以妥善處理，即使能求得結(jié)果，誤差也較大。兩個解決辦法：1.采用效果較好的截斷邊界條件；它可以保持FEM中矩陣方程稀疏性、但計算空間較大；2.采用有限元法+邊界積分方程(FE-BI)。邊界積分破壞了矩陣方程的稀疏性，但大多數(shù)情況下能夠減少計算空間。

基于FEM法的商業(yè)軟件如AnsoftHFSS。2/4/2023?

時域有限差分法(FDTD):直接離散時域麥克斯韋方程。

有限差分法，在19世紀(jì)末已經(jīng)提出。1950年代，它才與近似數(shù)值分析結(jié)合起來。它簡單、直觀，得到了廣泛應(yīng)用。原理：它是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值方法，它把電磁場連續(xù)域內(nèi)的問題變?yōu)殡x散系統(tǒng)的問題。有限差分法一般是在頻域中應(yīng)用的。1966年K.S.Yee將其應(yīng)用于時域電磁問題，提出了時域有限差分法，即FDTD法。1980年代后期開始受到了人們的重視。2/4/2023

隨著吸收邊界條件(Absorbingboundarycondition,ABC)的不斷完善、各種非標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格劃分技術(shù)、計算量壓縮技術(shù)、抗誤差積累技術(shù)等的深入研究使得它幾乎應(yīng)用于所有電磁問題，如電磁散射、天線特性、電磁波的生物效應(yīng)、波導(dǎo)與諧振腔問題、微波與毫米波集成電路分析等?；贔DTD法的商業(yè)軟件如GEMS。2/4/2023

?矩量法(MoM)：直接離散積分形式麥克斯韋方程。

1963年，K.K.Mei(梅冠香)在博士論文中首次采用了該方法。

1968年R.F.Harrington(哈林頓)在其專著中FieldComputationbyMethodofMoments，對該方法進行了全面深入的分析，用統(tǒng)一的觀點進行了簡單扼要地介紹。

2/4/2023MoM的步驟：將需要求解的微分或積分方程寫成帶有微分或積分算符的算子方程；將待求函數(shù)表示為一組基函數(shù)的線性組合并代入到算子方程；然后選一組權(quán)函數(shù)對所得的方程取內(nèi)積，從而得到矩陣方程或代數(shù)方程組。最后就是利用計算機求解上面所得的方程組。

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MoM能夠分析嚴(yán)格解析法和近似解析法不能解決的邊界比較復(fù)雜的問題。MoM的計算量很大。對于由微分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣多為大型病態(tài)稀疏矩陣；對于由積分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣通常為滿陣(Densematrix)，所有元素都要進行計算。

在電磁學(xué)中，MoM一般應(yīng)用于分析積分方程。這樣，它產(chǎn)生的系數(shù)矩陣為滿陣，其內(nèi)存需求為，CPU時間為，其中N為未知量數(shù)目。因而，該方法只適合分析較小的電磁問題。

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為了能用它分析大型電磁問題，人們提出了許多方法，如快速方法，如

?多層快速多極子方法MLFMA?共軛梯度-快速傅立葉法CG-FFT?自適應(yīng)積分法AIM?pFFT新穎的基函數(shù)，如

?綜合基函數(shù)(SynthesisBasisfunction,SBF)?特征基函數(shù)(CharacteristicBF)?子全域基函數(shù)(SEDBF)混合法，如物理光學(xué)-矩量法(PO-MoM)。2/4/2023基于MoM法的商業(yè)軟件:FEKO（MLFMA）

IE3D

AnsoftDesigner等

2/4/2023本課程主要內(nèi)容：

?FDTD(FDM)FDM:差分格式、差分方程組的求解；FDTD：差分格式及解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件(開域問題)、激勵源的設(shè)置等。ADI-FDTD：基本原理、吸收邊界條件等

?MoM

MoM的基本原理、其在靜電問題、二維/三維散射問題、天線/天線陣中的應(yīng)用。

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目標(biāo)：

掌握FDTD