連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

1.6

連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、連續(xù)性定義三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0T(時(shí)間)溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題的提出1.函數(shù)的增量一.連續(xù)性定義定義1.6.12.連續(xù)的定義在的某鄰域內(nèi)有定義,

則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義1.6.23.單側(cè)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)顯然有:若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),

則稱它在該區(qū)間上連續(xù),

或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.如果此區(qū)間包含端點(diǎn)，那么（1）函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指在左端點(diǎn)右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指在右端點(diǎn)左連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作4.連續(xù)函數(shù)在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有例如,在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1.6.2證明例1.6.3討論在處的連續(xù)性．解

由于即左右極限不相等，所以該函數(shù)在但是，因?yàn)辄c(diǎn)不連續(xù)．，所以函數(shù)在處左連續(xù)．定義1.6.3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則這樣的點(diǎn)下列情形之一函數(shù)

f(x)在點(diǎn)雖有定義,

但雖有定義

,

且稱為間斷點(diǎn)

.在無(wú)定義

;二、間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類:為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).三.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)１、有界性與最大值最小值定理注意:

若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.即:設(shè)則使或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷

點(diǎn)

,例如,無(wú)最大值和最小值也無(wú)最大值和最小值又如,

定理1.6.2(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使(證明略)定理1.6.33(介值定理)設(shè)且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)使至少有(可利用零點(diǎn)定理證明)２、零點(diǎn)定理和介值定理證:

顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即一個(gè)根.在區(qū)間內(nèi)至少有例1.６.４證明方程一個(gè)根.在區(qū)間內(nèi)至少有方程左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳