連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

1.6

連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)二、函數(shù)的間斷點一、連續(xù)性定義三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0T(時間)溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性問題的提出1.函數(shù)的增量一.連續(xù)性定義定義1.6.12.連續(xù)的定義在的某鄰域內(nèi)有定義,

則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義1.6.23.單側(cè)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)顯然有:若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),

則稱它在該區(qū)間上連續(xù),

或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.如果此區(qū)間包含端點，那么（1）函數(shù)在左端點連續(xù)是指在左端點右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點連續(xù)是指在右端點左連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作4.連續(xù)函數(shù)在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有例如,在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1.6.2證明例1.6.3討論在處的連續(xù)性．解

由于即左右極限不相等，所以該函數(shù)在但是，因為點不連續(xù)．，所以函數(shù)在處左連續(xù)．定義1.6.3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則這樣的點下列情形之一函數(shù)

f(x)在點雖有定義,

但雖有定義

,

且稱為間斷點

.在無定義

;二、間斷點第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點.間斷點分類:為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.三.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)１、有界性與最大值最小值定理注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.即:設(shè)則使或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷

點

,例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

定理1.6.2(零點定理)至少有一點且使(證明略)定理1.6.33(介值定理)設(shè)且則對A

與B

之間的任一數(shù)C,一點使至少有(可利用零點定理證明)２、零點定理和介值定理證:

顯然又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即一個根.在區(qū)間內(nèi)至少有例1.６.４證明方程一個根.在區(qū)間內(nèi)至少有方程左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳