高等數(shù)學(xué)12古典概型和幾何概型

1.2古典概型和幾何概型第一章隨機(jī)事件與概率一、古典概型：1、定義1.2:

將滿足以下兩個條件的概率模型稱為古典概型：(1)隨機(jī)試驗的樣本空間只含有有限個樣本點(diǎn);(2)每一個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.2、定理1.2：例1.7一個袋子中裝有10個大小相同的球，其中3個黑（1）從袋子中任取一球，這個球是黑球的概率；（2）從袋子中任取兩球，正好1黑1白的概率以及

2個球全是白球的概率解（1）這是一個古典概型問題.種取法.球，7個白球，求設(shè)事件A表示“取到的球是黑球”,則設(shè)事件B表示“取到的球剛好是一黑一白”,設(shè)事件C表示“2球均是白球”,則例1.8某單位新錄用了15名工作人員,其中有3名女士.（1）每一科室恰好分到一名女士的概率是多少；（2）3名女士分到同一科室的概率是多少?設(shè)A表示“每一個科室恰好分到一名女士”，將他們隨機(jī)地平均分到3個科室.問:

B表示“3名女士分到同一科室”.例1.9將3個球隨機(jī)地放在4個杯子中,求杯中球的最多個數(shù)分別為1、2、3的概率.

解設(shè)A表示“杯中球最多個數(shù)為1”，B表示“杯中球最多個數(shù)為2”，C表示“杯中球最多個數(shù)為3”，例1.10某班有10名學(xué)生是同一年出生的（這年365天），試求下列事件的概率（1）至少有兩人是同一天出生的（2）至少有一人是10月1日出生的“至少有兩人是同一天出生的”，則設(shè)B表示“至少有一人是10月1日出生的”，則例1.11從5雙不同的手套中任取4只，試問其中至少有2只配成一雙的概率多大？設(shè)A表示“至少有2只配成一雙”，“取出的4只全不配對”.例1.12在0~9等10個整數(shù)中無重復(fù)地任意取4個數(shù)字,試求所取到的4個數(shù)字組成四位偶數(shù)的概率.設(shè)A={排成的是四位偶數(shù)},例1.13從1~100等100個整數(shù)中任取1個,試求取到的整數(shù)能被6或8整除的概率.設(shè)A={取到的數(shù)能被6整除};B={取到的數(shù)能被8整除}考察A:設(shè)100個整數(shù)中有x個數(shù)能被6整除,則6x≤100所以x=16即A含有16個樣本點(diǎn).同理B含有12個樣本點(diǎn).再考察AB:類似分析,有24y≤100y=4即AB含有4個樣本點(diǎn).=0.24.二、幾何概型:樣本空間為一個線段、平面區(qū)域或空間立體等的例1.14某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺報時,設(shè)電臺每個整點(diǎn)報時一次,求他等待時間短于10分鐘的概率.解因電臺每隔一小時報時一次,自然可以認(rèn)為這個人打開收音機(jī)時處于兩次報時之間,而且取各點(diǎn)的可能性是一樣的,要遇到等待時間短于10分鐘,只有當(dāng)他打開收音機(jī)的時間正好處于整點(diǎn)50分至下一整點(diǎn)之間才有可能隨機(jī)試驗的概率模型，一般采用幾何的方法求解，故將其稱為幾何模型.可能,故相應(yīng)的概率為10/60=1/6.例1.15如果汽車每5分鐘到達(dá)車站一次,某人隨機(jī)地來到此車站,假設(shè)汽車均是準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá),求該人候車時間不超過2分鐘的概率.解由于乘客來到車站的時間具有隨機(jī)性,可以認(rèn)為在0~5分鐘期間的各點(diǎn)被選中的可能性均是一樣的,故相應(yīng)的概率為2/5.例1.16在500mL自來水中有一個大腸桿菌,從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率.解由于取水樣的隨機(jī)性,所求概率等于水樣的體積與總體積之比2/500=1/250.在幾何概型問題中,試驗的可能結(jié)果是某區(qū)域Ω中的因而幾何概型的等可能性是通過下列方式給出其確切含義的:點(diǎn)落在某區(qū)域Ω中任意區(qū)域A的可能性大小與區(qū)域A的度量（長度、面積和體積）成正比,而與一個點(diǎn).這個區(qū)域可以是一維的,也可以是二維的,還可以是三維的,甚至可以是n維的,這時的可能

結(jié)果全體或是所關(guān)心的結(jié)果均是無限的.其位置及形狀是無關(guān)的.即例1.17(會面問題)兩人相約7:00~8:00在某地會面,先到者可等候另一人20分鐘,過時就可離去,試求這兩人能會面的概率.解記7:00為計算時刻的0時,以分鐘為單位,并設(shè)x及y分別表示甲、乙兩