高中數(shù)學(xué)人教A版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第2章對(duì)數(shù)的運(yùn)算

第2課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)．(難點(diǎn))3．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明(易混點(diǎn))．[基礎(chǔ)·初探]教材整理1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)閱讀教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列問(wèn)題．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)積、商的對(duì)數(shù)可以化為對(duì)數(shù)的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()【解析】(1)√.根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知(1)正確；(2)×.根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M應(yīng)為大于0的數(shù)．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2換底公式閱讀教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列問(wèn)題．對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．計(jì)算：log29·log34＝________.【解析】由換底公式可得log29·log34＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.【答案】4[小組合作型]對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18;【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97030098】(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg＋2lg2)；(3)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72；(4)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－52log53.【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，將式子轉(zhuǎn)化為只含一種或少數(shù)幾種真數(shù)的形式再進(jìn)行計(jì)算．【自主解答】(1)法一原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二原式＝lg14－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg1＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝log3eq\f(3\f(3,4),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡(jiǎn)再計(jì)算；化簡(jiǎn)問(wèn)題的常用方法：①“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)之和(差)；②“收”：將同底對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)．[再練一題]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩余的質(zhì)量約是原來(lái)的75%，估計(jì)約經(jīng)過(guò)多少年，該物質(zhì)的剩余量是原來(lái)的eq\f(1,3)(結(jié)果保留1個(gè)有效數(shù)字)？(lg2≈0，lg3≈1)【精彩點(diǎn)撥】由題目可知經(jīng)過(guò)一年物質(zhì)剩余的質(zhì)量約是原來(lái)的75%，由此首先找到剩余量與年數(shù)的關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)計(jì)算．【自主解答】設(shè)物質(zhì)的原有量為a，經(jīng)過(guò)t年，該物質(zhì)的剩余量是原來(lái)的eq\f(1,3)，由題意可得a·＝eq\f(1,3)a，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))t＝eq\f(1,3)，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))t＝lgeq\f(1,3)，∴t(lg3－2lg2)＝－lg3，∴t＝eq\f(－lg3,lg3－2lg2)≈eq\f1,2×0－1)≈4(年)．解對(duì)數(shù)應(yīng)用題的步驟[再練一題]2．地震的震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為R＝eq\f(2,3)(lgE－．根據(jù)英國(guó)天空電視臺(tái)報(bào)道，英格蘭南部2007年4月28日發(fā)生地震，歐洲地震監(jiān)測(cè)站稱，地震的震級(jí)為級(jí)，而2011年3月11日，日本本州島發(fā)生級(jí)地震，那么此次地震釋放的能量是級(jí)地震釋放能量的________倍．【解】設(shè)級(jí)地震所釋放的能量為E1,級(jí)地震所釋放的能量為E2.由＝eq\f(2,3)(lgE1－，得lgE1＝eq\f(3,2)×＋＝.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×＋＝，從而lgE1－lgE2＝－＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，則eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即級(jí)地震釋放的能量是級(jí)地震釋放能量的1000000倍．[探究共研型]對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用探究1假設(shè)eq\f(log25,log23)＝x，則log25＝xlog23，即log25＝log23x，從而有3x＝5，進(jìn)一步可以得到什么結(jié)論？【提示】進(jìn)一步可以得到x＝log35，即log35＝eq\f(log25,log23).探究2由探究1，你能猜測(cè)eq\f(logcb,logca)與哪個(gè)對(duì)數(shù)相等嗎？如何證明你的結(jié)論？【提示】eq\f(logcb,logca)＝logab.假設(shè)eq\f(logcb,logca)＝x，則logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，則x＝logab，所以eq\f(logcb,logca)＝logab.(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)計(jì)算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：02962023】【精彩點(diǎn)撥】各個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)都不相同，需先統(tǒng)一底數(shù)再化簡(jiǎn)求值．【自主解答】(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴l(xiāng)g2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴l(xiāng)og616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·log52＋eq\f(log54,log525)＋eq\f(log58,log5125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))log52＋eq\f(2log52,2log55)＋eq\f(3log52,3log55)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\f(lg2,lg5)＋eq\f(lg4,lg25)＋eq\f(lg8,lg125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·log52＝3×eq\f(13,3)＝13.1．在利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況下是根據(jù)題中所給對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對(duì)數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進(jìn)行換底．2．在運(yùn)用換底公式時(shí)，還可結(jié)合底數(shù)間的關(guān)系恰當(dāng)選用一些重要的結(jié)論，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝eq\f(n,m)logab，logaan＝n，等，將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果．[再練一題]3.求值：log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝log252·log32－4·log53－2＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(－4lg2,lg3)·eq\f(－2lg3,lg5)＝16.【答案】161．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，則下列各式不恒成立的是()①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④ B．①③C．①④ D．②③【解析】∵xy>0，∴①中，若x<0，則不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故選B.【答案】B2．lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)等于()A．lg2 B．lg3C．lg4 D．lg5【解析】lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,16)÷\f(25,81)×\f(32,81)))＝lg2.故選A.【答案】A3．(2023·寶雞高一檢測(cè))已知loga2＝m，loga3＝n，則loga18＝________.(用m，n表示)【解析】loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.【答案】m＋2n4．計(jì)算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.【解析】原式＝(lg2)2＋lg2·(1＋lg5)＋2lg5＝lg2(1＋lg5＋lg2)＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2.【答案】25．已知log189＝a,18b＝5，求log3645.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97030099】【解】法一∵log189＝a,18b＝5，即log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).法二∵log189＝a,18b＝5，