高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)三輪專題復(fù)習(xí)素材倒數(shù)第3天

倒數(shù)第3天附加題選做部分[保溫特訓(xùn)]1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：(1)∠AED＝∠AFD；(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.證明(1)連接AD.因為AB為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓．所以∠AED＝∠AFD.(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.連接BC，顯然△ABC∽△AEF，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AF)，即AB·AF＝AE·AC，所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB(BF－AF)＝AB2.2．如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點D，E，求線段AE的長．解在Rt△ABC中，因為AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，因為l為過點C的切線，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.又因為AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.連接OE，在△AOE中，因為∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，所以AE＝AO＝eq\f(1,2)AB＝2.3．求矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))的特征值及對應(yīng)的特征向量．解特征多項式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，將λ1＝1代入特征方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＝0，,－x－y＝0))?x＋y＝0，可取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))為屬于特征值λ1＝1的一個特征向量；同理，當(dāng)λ2＝3時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,－x＋y＝0))?x－y＝0，所以可取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))為屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．綜上所述，矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))有兩個特征值λ1＝1，λ2＝3；屬于λ1＝1的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，屬于λ2＝3的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋y＋2＝0在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1a,b4))對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求實數(shù)a，b的值．解在直線l：x＋y＋2＝0上取兩點A(－2,0)，B(0，－2)．A、B在矩陣M對應(yīng)的變換作用下分別對應(yīng)于點A′，B′.因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1a,b4))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,－2b))，所以點A′的坐標(biāo)為(－2，－2b)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1a,b4))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2a,－8))，所以B′的坐標(biāo)為(－2a，－8)．由題意，A′、B′在直線m：x－y－4＝0上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－－2b－4＝0，,－2a－－8－4＝0.))解得a＝2，b＝3.5．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋2t))(t為參數(shù))，判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．解消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝2x＋1；ρ＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(π,4)))，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，得⊙C的直角坐標(biāo)方程為：(x－1)2＋(x－1)2＝2，圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5)＜eq\r(2)，所以直線l和⊙C相交．6．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2sinθ，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)t＋2，,y＝\f(4,5)t))(t為參數(shù))．(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．解(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＝2ρsinθ.又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0.(2)將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y＝－eq\f(4,3)(x－2)．令y＝0，得x＝2，即M點的坐標(biāo)為(2,0)．又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑r＝1，則MC＝eq\r(5)，所以MN≤MC＋r＝eq\r(5)＋1，即MN的最大值為eq\r(5)＋1.7．解不等式|2x－4|＜4－|x|.解當(dāng)x＞2時，原不等式同解于2x－4＜4－x，解得x＜eq\f(8,3)，所以2＜x＜eq\f(8,3)；當(dāng)0≤x≤2時，原不等式同解于4－2x＜4－x，解得x＞0，所以0＜x≤2；當(dāng)x＜0時，原不等式同解于4－2x＜4＋x，解得x＞0，所以x∈?.綜上所述，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(8,3))))).8．已知m＞0，a，b∈R，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).證明因為m＞0，所以1＋m＞0，所以要證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m)，即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋mb,1＋m)))2≤eq\f(a2＋mb2,1＋m).[知識排查]1．圓的切線性質(zhì)、相交弦定理、切割線定理是處理直線與圓問題的重要定理，要靈活應(yīng)用．2．當(dāng)題目中涉及圓的切線時，常常需要作出過切點的半徑，通過它構(gòu)建垂直關(guān)系．3．作圖和證明要求語言規(guī)范，推理要有邏輯性．4．矩陣的乘法滿足結(jié)合律、加法與乘法的分配律，但不滿足交換律和消去律．5．已知圖形變換前后的位置，求相應(yīng)變換矩陣；求可逆矩陣的逆矩陣的通用方法是待定系數(shù)法．6．要注意矩陣變換的順序不可顛倒．7．在求矩陣的特征值和特征向量時要結(jié)合定義．按步驟規(guī)范求解．8．化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法．9．化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)角，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關(guān)系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常選擇的參數(shù)有有向線段的數(shù)量、斜率、某一點的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))．10．極坐標(biāo)與直