高中數(shù)學(xué)北師大版5本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量評估

第一章一、選擇題(共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．設(shè)集合A＝{x|y＝log2(4－2x－x2)}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)≥1))))，則A∩B等于()A．{x|－1<x<eq\r(5)－1}B．{x|－3<x≤2}C．{x|－1<x<1}D．{x|－1－eq\r(5)<x<－3或eq\r(5)－1<x≤2}解析：不等式4－2x－x2>0可轉(zhuǎn)化為x2＋2x－4<0，解得－1－eq\r(5)<x<－1＋eq\r(5)，∵A＝{x|－1－eq\r(5)<x<－1＋eq\r(5)}；不等式eq\f(3,x＋1)≥1可轉(zhuǎn)化為eq\f(x－2,x＋1)≤0，解得－1<x≤2，∴B＝{x|－1<x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x<eq\r(5)－1}．答案：A2．不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))<1的解集為()A．{x|0<x<1}∪{x|x>1} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|x<0}解析：方法一：特值法：顯然x＝－1是不等式的解，故選D．方法二：不等式等價于|x＋1|<|x－1|，即(x＋1)2<(x－1)2，解得x<0，故選D．答案：D3．設(shè)a、b是正實數(shù)，以下不等式①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)，②a>|a－b|－b，③a2＋b2>4ab－3b2，④ab＋eq\f(2,ab)>2恒成立的序號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，即eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，故①不正確，排除A、B；∵ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(2)>2，即④正確．答案：D4．已知a>0，b>0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析：∵a>b，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(2,\r(ab))·2\r(ab))＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1且eq\f(2,\r(ab))＝2eq\r(ab)時成立，能取等號，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值為4，故選C．答案：C5．設(shè)x>0，y>0，x＋y＝1，eq\r(x)＋eq\r(y)的最大值是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2eq\r(xy)，∴eq\f(1,2)≥eq\r(xy)，∴eq\r(x)＋eq\r(y)≤eq\r(2x＋y)＝eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時取“＝”)．答案：B6．a(chǎn)>0，b>0，則“a>b”是“a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．即不充分也不必要條件解析：a－eq\f(1,a)－b＋eq\f(1,b)＝a－b＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab))).∵a>0，b>0，∴由a>b?(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0?a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b).可得“a>b”是“a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)”成立的充要條件．答案：C7．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．2 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(1,2)解析：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,loga3)＋eq\f(1,logb3)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3eq\f(a＋b2,4)＝log33＝1，故選C．答案：C8．0<a<1，下列不等式一定成立的是()A．|log1＋a(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log1＋a(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|解析：令a＝eq\f(1,2)，代入可排除B、C、D．答案：A9．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是A．18 B．6C．2eq\r(3) D．eq\r(4,3)解析：3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝2eq\r(32)＝6.答案：B10．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，P＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)，Q＝a＋b，則()A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q解析：P－Q＝eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)－(a＋b)＝eq\f(a3＋b3－aba＋b,ab)＝eq\f(a＋ba2＋b2－2ab,ab)＝eq\f(a＋ba－b2,ab).∵a，b都是正實數(shù)，且a≠b，∴eq\f(a＋ba－b2,ab)>0，∴P>Q.答案：A11．若a，b，c>0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，則a＋b＋c的最小值是A．2eq\r(3) B．3C．2 D．eq\r(3)解析：a2＋2ab＋2ac＋4＝a(a＋2c)＋2b(a＋2＝(a＋2c)(a＋2b≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a＋2c＋a＋2b,2)))2，∴(a＋b＋c)2≥12，又a，b，c>0，∴a＋b＋c≥2eq\r(3).答案：A12．當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時，函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值為()A．2 B．2eq\r(3)C．4 D．4eq\r(3)解析：方法一：f(x)＝eq\f(2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx)＝eq\f(1＋4tan2x,tanx)＝4tanx＋eq\f(1,tanx)≥4.這里tanx>0，且tanx＝eq\f(1,2)時取等號．方法二：f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)＝eq\f(5－3cos2x,sin2x)(0<2x<π)．令μ＝eq\f(5－3cos2x,sin2x)，有μsin2x＋3cos2x＝5.eq\r(μ2＋9)sin(2x＋φ)＝5,∴sin(2x＋φ)＝eq\f(5,\r(μ2＋9)).∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(μ2＋9))))≤1，得μ2≥16.∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.∴μ≥4即f(x)≥4.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上)13．設(shè)a＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\r(6)－eq\r(5)，c＝eq\r(7)－eq\r(6)，則a，b，c的大小順序是__________．解析：用分析法比較，a>b?eq\r(3)＋eq\r(5)>eq\r(2)＋eq\r(6)?8＋2eq\r(15)>8＋2eq\r(12)，同理可比較得b>c.答案：a>b>c14．設(shè)集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，則a的取值范圍是____________．解析：∵|x－2|>3，∴x－2>3或x－2<－3，∴x>5或x<－1，即S＝{x|x>5或x<－1}．又∵T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，∴畫數(shù)軸可知a需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1,a＋8>5))，∴－3<a<－1.答案：－3<a<－115．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值為________．解析：∵x>－1，∴x＋1>0，y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)＝eq\f([x＋1＋4][x＋1＋1],x＋1)＝(x＋1)＋5＋eq\f(4,x＋1)≥2·eq\r(x＋1·\f(4,x＋1))＋5＝9.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1時，等號成立．∴y的最小值是9.答案：916．某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格(每件x元)在50<x≤80時，每天售出的件數(shù)P＝eq\f(105,x－402)，若想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應(yīng)定為____________元。解析：設(shè)銷售價格定為每件x元(50<x≤80)，每天獲得利潤y元，則：y＝(x－50)·P＝eq\f(105x－50,x－402)，設(shè)x－50＝t，則0<t≤30，∴y＝eq\f(105t,t＋102)＝eq\f(105t,t2＋20t＋100)＝eq\f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq\f(105,20＋20)＝2500.當(dāng)且僅當(dāng)t＝10，即x＝60時，ymax＝2500.答案：60三、解答題(共6小題，74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)解不等式|x＋1|＋|x|<2.解析：方法一：利用分類討論的思想方法．當(dāng)x≤－1時，－x－1－x<2，解得－eq\f(3,2)<x≤－1；當(dāng)－1<x<0時，x＋1－x<2，解得－1<x<0；當(dāng)x≥0時，x＋1＋x<2，解得0≤x<eq\f(1,2).因此，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<\f(1,2))).方法二：利用方程和函數(shù)的思想方法．令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0，,－1－1≤x<0，,－2x－3x<－1.))作函數(shù)f(x)的圖象(如圖)，知當(dāng)f(x)<0時，－eq\f(3,2)<x<eq\f(1,2).故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<\f(1,2))).方法三：利用數(shù)形結(jié)合的思想方法．由絕對值的幾何意義知，|x＋1|表示數(shù)軸上點P(x)到點A(－1)的距離，|x|表示數(shù)軸上點P(x)到點O(0)的距離．由條件知，這兩個距離之和小于2.作數(shù)軸(如圖)，知原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<\f(1,2))).18．(12分)求函數(shù)y＝3x＋eq\f(4,x2)(x>0)的最值．解析：由已知x>0，∴y＝3x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(3x,2)·\f(3x,2)·\f(4,x2))＝3eq\r(3,9)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3x,2)＝eq\f(3x,2)＝eq\f(4,x2)，即x＝eq\f(2\r(3,9),3)時，取等號．∴當(dāng)x＝eq\f(2\r(3,9),3)時，函數(shù)y＝3x＋eq\f(4,x2)的最小值為3eq\r(3,9).19．(12分)已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.證明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時取等號．20．(12分)若x，y>0，且x＋y>2，則eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個小于2.證明：反設(shè)eq\f(1＋y,x)≥2且eq\f(1＋x,y)≥2，∵x，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y兩邊相加，則2＋(x＋y)≥2(x＋y)，可得x＋y≤2，與x＋y>2矛盾，∴eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個小于2.21．(12分)在某交通擁擠地段，交通部門規(guī)定，在此地段內(nèi)的車距d(m)正比于車速v(km/h)的平方與車身長s(m)的積，且最小車距不得少于半個車身長，假定車身長均為s(m)，且車速為50km/h時車距恰為車身長s，問交通繁忙時，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使此地段的車流量Q最大？解析：由題意，知車身長s為常量，車距d為變量．且d＝kv2s，把v＝50，d＝s代入，得k＝eq\f(1,2500)，把d＝eq\f(1,2)s代入d＝eq\f(1,2500)v2s，得v＝25eq\r(2).所以d＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)s0<v≤25\r(2)，,\f(1,2500)v2sv>25\r(2).))則車流量Q＝eq\f(1000v,d＋s)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1000v,\f(3,2)s)0<v≤25\r(2)，,\f(1000v,s1＋\f(v2,2500))v>25\r(2).))當(dāng)0<v≤25eq\r(2)時，Q為v的增函數(shù)，所以當(dāng)v＝25eq\r(2)時，Q1＝eq\f(1000v,\f(3,2)s)＝eq\f(50000\r(2),3s).當(dāng)v>25eq\r(2)時，Q＝eq\f(1000v,s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(v2,2500))))＝eq\f(1000,s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,v)＋\f(v,2500))))≤eq\f(1000,s·2\r(\f(1,v)·\f(v,2500)))＝eq\f(25000,s).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,v)＝eq\f(v,2500)，即v＝50時，等號成立．即當(dāng)v＝50時，Q取得最大值Q2＝eq\f(25000,s).因為Q2>Q1