等差數(shù)列的概念　課件 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.1等差數(shù)列的概念及通項公式

授課教師：數(shù)學(xué)教研組XX

2022年11月XX日教學(xué)目標(biāo)01等差數(shù)列的概念02等差中項03等差數(shù)列的通項公式04從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列新知導(dǎo)入

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容（如單調(diào)性、奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型.

類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并運用它們解決實際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用.

下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手.新知導(dǎo)入請看下面幾個問題中的數(shù)列.1.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81.①新知導(dǎo)入2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48.②3.測量某地垂直地面方向海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：）依次為25.0,24.4,23.8，23.2,22.6

③新知導(dǎo)入4.某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年.如果個人貸款月利率為,那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金（=）元，每月支付給銀行的利息（單位：元）依次為新知導(dǎo)入ar，

ar-br，

ar-2br，

ar-3br，….④新知講解9，18，27，36，45，54，63，72，81.①思考：你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？對于①，我們發(fā)現(xiàn)：18=9+9，27=18+9，…，81=72+9，換一種寫法，就是：18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.如果用{}表示數(shù)列

①，那么有：，，…，

.這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù).新知講解數(shù)列②~④也有這樣的取值規(guī)律嗎？自己動手寫寫過程38，40，42，44，46，48.②

ar，

ar-br，

ar-2br，

ar-3br，….④25.0,24.4,23.8，23.2,22.6

③新知講解等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.例如①的公差=9.（文字語言）

（符號語言）概念解析：新知講解(1)“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調(diào)了：①作差的順序；②這兩項必須相鄰．(2)定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數(shù)，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．新知講解等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做

a與

b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.（1）條件：如果a，A，b成等差數(shù)列（2）結(jié)論：A叫做a與b的等差中項（3）滿足的關(guān)系式是2A=a+b試試看(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．(

)概念辨析：判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．(

)(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．(

)××√日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列.例如，在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級（如前面例子中的上衣尺碼）你能舉出一些例子嗎？新知講解新知講解等差數(shù)列的通項公式探究:你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？可得，

，所以：

，，，….于是，

……即為等差數(shù)列

的遞推公式設(shè)一個等差數(shù)列{}的首項為，公差為.根據(jù)等差數(shù)列的定義，新知講解歸納可得.當(dāng)n=1時，上式為

這就是說，上式當(dāng)=1時也成立.因此，首項為，公差為d的等差數(shù)列{}的通項公式為思考：上面的推導(dǎo)采用了不完全歸納法，還有其他的方法嗎？怎么做?新知講解提示：還可以用累加法

，，……

將上述（-1）個式子相加得

，當(dāng)=1時，上式為，符合上式，所以

所以

.新知講解從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列思考：觀察等差數(shù)列的通項公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？由于

，所以當(dāng)時，等差數(shù)列{}的第項是一次函數(shù)

當(dāng)時的函數(shù)值，即.如圖4.2-1，在平面直角坐標(biāo)系中畫出就得到一條斜率為，截距為的直線.，的圖象，新知講解在這條直線上描出點

就得就得到了等差數(shù)列{}的圖象.事實上，公差的等差數(shù)列{}的圖象是點(n,)組成的集合，這些點均勻分布在直線上.反之，任給一次函數(shù),

(k,

b為常數(shù))，則:構(gòu)成一個等差數(shù)列,,首項為,公差為1：已知等差數(shù)列{}的通項公式為，求{}的公差和首項；分析：已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由

即可求出公差；

可得

把n=1代入，得所以，{}的公差為2，首項為3.范例引領(lǐng)范例引領(lǐng)2：求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.分析：可以先根據(jù)數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列的第20項.解：由已知條件，得d=58=3.把，=3代入,得.把

n=20代入上式，得

所以，這個數(shù)列的第20項是49.范例引領(lǐng)

分析：先求出數(shù)列的通項公式，它是一個關(guān)于n的方程，再看-401是否能使這個方程有正整數(shù)解.解：由，=9(5)=4，得這個數(shù)列的通項公式為.令，解這個關(guān)于

n的方程，

得=100.所以，401是這個數(shù)列的項，是第100項.課堂練習(xí)1：判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是,寫出它的公差.(1)95,82,69,56,43,30;(2)1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111;(3)1,2,3,4,5,6;(4)1，，，，，，;（1）是等差數(shù)列，公差為13（2）不是等差數(shù)列（3）不是等差數(shù)列（4）是等差數(shù)列，公差為解：課堂練習(xí)2：在等差數(shù)列中，解：∵解得∴∴課堂練習(xí)3：在等差數(shù)列中，

解：設(shè)數(shù)列的公差為.由已知得，

解得

課堂練習(xí)4：《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春風(fēng)、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春風(fēng)的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，求立夏的日影子長。解:因為從冬至之日起，小寒等這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，故可設(shè)該等差數(shù)列為，則冬至、小寒、大寒、…、芒種的日影子長分別記為由題可得：解之得所以立夏的日影子長為：(尺)小結(jié)提升1等差數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前