自動(dòng)控制-08b系統(tǒng)分析的描述函數(shù)法

§8－4描述函數(shù)法描述函數(shù)法是達(dá)尼爾(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是線性系統(tǒng)頻域法在非線性系統(tǒng)中的推廣，是非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的近似判別法，它要求系統(tǒng)具有良好的低通特性并且非線性較弱。描述函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是能用于高階系統(tǒng)。描述函數(shù)法本質(zhì)上是一種諧波線性化方法，其基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近似。

(1)描述函數(shù)的定義

在頻率特性一章中，我們已經(jīng)看到，對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)，輸出和輸入只有幅值和相位的差別。對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)輸出是同頻率的非正弦函數(shù)，也就是說輸出中含有高次諧波，可見線性系統(tǒng)的頻率法不適用于非線性系統(tǒng)?，F(xiàn)在，我們?cè)噲D將線性系統(tǒng)中的頻率法改進(jìn)后用于非線性系統(tǒng)?？紤]下圖所示的系統(tǒng)，如果其線性動(dòng)態(tài)部分具有良好的低通特性，那么系統(tǒng)信號(hào)中的高次諧波就被大大衰減，可以用一次諧波來近似，這是非線性特性在頻域的線性化。

1、描述函數(shù)的基本概念

對(duì)上圖系統(tǒng)做如下假設(shè)：（1）高次諧波的幅值通常要比基波的幅值小；（2）系統(tǒng)的線性部分G(s)具有低通濾波特性；所以可以認(rèn)為只有一次諧波分量沿閉環(huán)回路反饋到N

的輸入端，而高次諧波經(jīng)低通濾波后衰減得可以忽略不計(jì)。在這種假設(shè)條件下，可以只考慮y的一次諧波分量。此外，設(shè)非線性特性為對(duì)稱型。為了將頻率法推廣到非線性系統(tǒng),我們首先定義靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù),設(shè)非線性環(huán)節(jié)y=f(x)的輸入為正弦函數(shù)：

式中，A是正弦函數(shù)的幅值。將非線性環(huán)節(jié)的輸出分解為傅立葉級(jí)數(shù)：

式中

如果非線性特性是奇對(duì)稱的，那么直流分量A0=0，這時(shí)輸出的基波分量是：

如果函數(shù)y=f(x)是已知的，A是一個(gè)待定常數(shù)，由上式求出的

只與A有關(guān)，記作。描述函數(shù)定義為輸出的一次諧波分量與輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)比：

顯然，描述函數(shù)是A的函數(shù)，描述函數(shù)可以理解為非線性環(huán)節(jié)在忽略高次諧波情況下的非線性增益——這個(gè)增益與輸入正弦函數(shù)的幅值有關(guān)。如果非線性特性是單值奇對(duì)稱的，那么：只有當(dāng)非線性元件具有儲(chǔ)能特性時(shí)，描述函數(shù)才既是輸入振幅又是角頻率的函數(shù)。(2)描述函數(shù)分析的應(yīng)用條件1）非線性系統(tǒng)應(yīng)能夠簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)；2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對(duì)稱函數(shù)；3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波特性。需強(qiáng)調(diào)指出，描述函數(shù)中相位差是由于非線性元件的非單位特性引起的，與線性系統(tǒng)的頻率特性中相位差不是一回事。下面用幾個(gè)例子說明描述函數(shù)是如何計(jì)算出來的。

（1）死區(qū)飽和非線性環(huán)節(jié)考慮圖8－37所示死區(qū)特性，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出如圖8－37所示，因?yàn)閳D中的y(t)是單值奇對(duì)稱的，所以，2、典型非線性特性的描述函數(shù)圖8－37死區(qū)特性的描述函數(shù)

所以

綜合以上：（2）繼電特性

圖8－38繼電特性的描述函數(shù)考慮圖8－38帶滯環(huán)的繼電特性，當(dāng)輸入為時(shí)，輸出y(t)如8－38所示，并且（3）一般非線性

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個(gè)例子:因?yàn)樗菃沃灯鎸?duì)稱的，，先求出y(t)：

所以

概括起來，求描述函數(shù)的過程是：先根據(jù)已知的輸入x(t)=Asinωt和非線性特性y=f(x)求出輸出，然后由積分式求出，最后得N(A)。主要工作量和技巧主要在積分。此外，描述函數(shù)也可以由實(shí)驗(yàn)近似獲得。當(dāng)系統(tǒng)具有良好的低通特性時(shí)，給系統(tǒng)施加正弦信號(hào)，其輸出也近似為正弦信號(hào)。改變輸入正弦信號(hào)的幅值，記錄輸出信號(hào)的幅值和相位，即可近似求出。

附圖10描述函數(shù)表示的非線性系統(tǒng)考慮附圖10所示的非線性系統(tǒng)，假設(shè)線性動(dòng)態(tài)部分具有良好的低通特性，那么靜態(tài)非線性特性可以用描述函數(shù)N(A)來表示。為了引入頻率特性分析法，我們還假設(shè)G(s)是最小相位環(huán)節(jié)。

3、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法（1）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

前幾章已介紹了分析線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的根軌跡法和頻率特性法。如果頻率特性推廣到附圖10所示的非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

特征方程為

為了類比，假設(shè)靜態(tài)環(huán)節(jié)退化為線性環(huán)節(jié)y=kx，即N(A)=k（常數(shù)）。因?yàn)镚(s)是最小相位環(huán)節(jié)，根據(jù)線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于在復(fù)平面上G(jω)曲線是否包圍實(shí)軸上的－1／k點(diǎn)。

現(xiàn)在將上述結(jié)論推廣到N(A)為非線性函數(shù)的情況。因?yàn)锳連續(xù)變化時(shí)N(A)是復(fù)平面上的一根曲線，所以閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于曲線G(jω)是否包圍－1／N(A)曲線。具體講就是：在復(fù)平面上，如果曲線G(jω)不包圍－1／N(A)曲線，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；如果G(jω)曲線包圍－1／N(A)曲線，那么閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；如果曲線G(jω)與曲線－1／N(A)相交，那么閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩（極限環(huán)）。為了方便，我們將曲線－1／N(A)稱為‘負(fù)倒描述函數(shù)曲線’。（2）極限環(huán)的穩(wěn)定性正如相平面法中所討論的，極限環(huán)本身存在一個(gè)穩(wěn)定性問題，極限環(huán)的穩(wěn)定性也可以用描述函數(shù)來分析。參見附圖11

附圖11極限環(huán)的穩(wěn)定性圖中A、B兩點(diǎn)都出現(xiàn)極限環(huán)，先看A點(diǎn)：如果因某種干擾使振蕩幅值略有減小，比如工作點(diǎn)移到D，D點(diǎn)不被G(jω)曲線包圍，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)趨向穩(wěn)定——振蕩幅值應(yīng)逐漸減小到零（停振）；反之，如果因某種干擾使振蕩幅值略有增大，比如工作點(diǎn)移到C，C點(diǎn)被G(jω)曲線包圍，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)趨向不穩(wěn)定——振蕩幅值應(yīng)逐漸增大，工作點(diǎn)移到Ｆ、B．．．；可見A點(diǎn)屬不穩(wěn)定極限環(huán)。再看B點(diǎn)：如果因某種干擾使振蕩幅值略有減小，比如工作點(diǎn)移到F，F(xiàn)點(diǎn)被曲線包圍，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)趨向不穩(wěn)定——振蕩幅值應(yīng)增大，增大后又回到B點(diǎn)；反之，如果因某種干擾使振蕩幅值略有增大，比如工作點(diǎn)移到E，E點(diǎn)不被曲線包圍，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)趨向穩(wěn)定——振蕩幅值應(yīng)減小，減小后又回到B點(diǎn)；可見B點(diǎn)屬穩(wěn)定極限環(huán)。小結(jié)