第四章 立體表面交線

第四章立體表面的交線本章教學(xué)目的與要求１、熟悉截交線的性質(zhì)；２、掌握平面和平面立體的截交線畫法；(難點)３、掌握平面和回轉(zhuǎn)體（柱、錐、球）截交線畫法；(重點)４、掌握平面和復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線畫法；(難點)

5、熟悉相貫線的性質(zhì)；

6、了解平面體與回轉(zhuǎn)體的相貫線的畫法；

7、熟練掌握回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體正交相貫線的畫法；（重點）8、熟練掌握利用積聚性求相貫線的方法；（重點）9、了解輔助平面法求相貫線的方法；（難點）10、掌握特殊相貫線;（難點）11、多體正交相貫相貫線的畫法。

下一頁2023/2/31機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌立體表面的交線

回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/32機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.定義：平面立體被平面截切，平面稱截平面，它們的交線稱

截交線。截交線既在立體表面上，又在截平面上，所以是共有線，截交線上所有點是共有點。2.截交線的特性：①交線為封閉的平面圖形（多邊形）；

②交線為共有線（一系列共有點的集合）

動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁第一節(jié)立體表面的截交線一、截交線的概念、性質(zhì)及求取方法2023/2/33機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌求取：求交線可歸結(jié)為找點；截平面處于特殊位置，有積聚性，截交線的一個投影已知，然后用面上求點線的方法求交線其他投影。方法：棱線法（各棱線與截平面的交點）棱面法（各棱面與截平面的交線）步驟：①分析截交線的形狀；②分析截交線的投影（在哪個面有積聚性，在哪個面有類似性）③畫交線投影（連線判別可見性，整理輪廓線）注意：①截交線的投影特性要注意（類似性）；②連線（兩面均垂直與某投影面，交線垂直該投影面）；③判別可見性：截平面與立體均不可見，交線不可見?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁3.求截交線的方法與步驟2023/2/34機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

【例一】已知正垂面和三棱錐相交，求作截交線的投影，并畫出三棱錐截切后的三面投影。分析：截交線為三角形，正面投影積聚在Pv上，水平投影和側(cè)面投影類似形。作圖：1）在正面投影上依次標(biāo)出1′、2′、3′。2）根據(jù)線上取點的方法求得相應(yīng)的水平投影1、2、3、和側(cè)面投影1″、2″、3″。3）連線并判別可見性。4）整理輪廓線?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁動畫演示二、平面與平面立體相交（平面立體截切）2023/2/35機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌作圖步驟上一頁下一頁回章節(jié)目錄2023/2/36機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例二】已知正三棱錐被一正垂面和一水平面截切，試完成其截切后的水平投影和側(cè)面投影。分析：正垂面和水平面截切產(chǎn)生的截交線形狀均為四邊形。正垂面水平投影和側(cè)面投影為類似形。水平面的水平投影反映實形，側(cè)面投影積聚為線?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁

動畫演示2023/2/37機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌作圖步驟下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/38機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例三】已知四棱臺被兩個側(cè)平面和一個水平面所截切，求截切后交線的水平投影和側(cè)面投影。回章節(jié)目錄上一頁下一頁分析：兩個側(cè)平面所截的截交線形狀為等腰梯形，水平投影積聚為線，側(cè)面投影反映實形。水平面所截的截交線形狀為距形。水平投影反映實形，側(cè)面投影積聚為線。動畫演示2023/2/39機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例四】已知四棱柱被五個面所截切，求截切后形體的俯視圖。動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/310機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌三、平面與回轉(zhuǎn)體相交截交線的特性：

①交線為封閉的平面圖形（平面曲線或多邊形）；②交線為共有（一系列共有點的集合）求取：同平面立體

對圓錐、圓球等用素線法或緯圓法作圖求交點。注意：①同平面立體；②找點：特殊點（轉(zhuǎn)向輪廓線點如最高、最底、最前、最后、最左、最右）；一般點。連線：多點光滑相連；③同平面立體；④曲面立體截交線要明確其特點?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁2023/2/311機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1.平面與圓柱截切的截交線回章節(jié)目錄上一頁下一頁動畫演示動畫演示2023/2/312機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（一）

分析截交線空間形狀：橢圓。截交線的投影：正面投影積聚在PV上，側(cè)面投影積聚在圓上，故只求水平投影。回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例五】已知水平圓柱被一正垂面P所截，求作截交線的投影。2023/2/313機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（二）作圖1）求特殊點：A、B、C、D、2）求一般點：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ3）連線并判斷可見性，4）整理輪廓線：

回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/314機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例六】已知圓柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圓柱被切后的側(cè)面投影和水平投影。動畫演示2023/2/315機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌（一）分析：圓柱可以看作兩個正平面和一個側(cè)平面切割而成。截交線空間形狀：距形和不完整圓。

截交線的投影：正面投影積聚在PV上；側(cè)面投影積聚在不完整圓上，故只求水平投影。

動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例七】已知圓柱的左端被四個面切口，完成圓柱被截切后的水平投影。2023/2/316機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例八】已知圓柱的左端被四個面切口，完成圓柱被截切后的水平投影。

動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/317機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例九】已知圓柱的左和右端均被四個面切口，如下圖所示，完成圓柱被截切后的水平投影。動畫演示思考：圓柱中間挖一個通孔，截交線的投影如何畫。2023/2/318機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十】已知圓筒的左端被四個面切口，完成圓筒被截切后的水平投影。動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/319機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十一】已知圓筒的左端被四個面切口，完成圓筒被截切后的水平投影?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁

動畫演示2023/2/320機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十二】已知圓柱被下面五個面所切，完成圓柱被截切后的水平投影。動畫演示下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/321機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

2.平面與圓錐截切的截交線回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/322機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌動畫演示動畫演示

動畫演示動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁圓錐截切模型2023/2/323機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：截交線是雙曲線的一葉，其水平投影積聚在截平面的水平投影上，正面投影反映實形，左右對稱。回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例十三】已知圓錐被正平面所截，求截交線的正面投影。動畫演示2023/2/324機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例十四】已知圓錐被一個平面所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁動畫演示求特殊點

2023/2/325機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌求一般點連線整理輪廓線判別可見性回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/326機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌*【例十五】已知圓錐被一個四棱柱所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。

動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/327機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄上一頁下一頁*【例題十六】已知圓錐被四個面所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。動畫演示2023/2/328機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌3.平面與圓球截切的截交線回章節(jié)目錄上一頁下一頁截面位置與V面平行與H面平行與W面平行與V面垂直立體圖投影圖2023/2/329機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

動畫演示動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁圓球截切模型2023/2/330機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例題十七】已知圓球被三個面所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。動畫演示2023/2/331機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例題十八】已知圓球被三個面所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/332機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄上一頁下一頁【例題十九】已知圓球被兩個面所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。動畫演示2023/2/333機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌4．復(fù)合回轉(zhuǎn)體截交線分解多體為基本體，分析各基本體截交線形狀，畫出交線的投影。

[例二十]已知圓錐被兩個平面P、Q所截，求截交線的水平投影和側(cè)面投影。（一）分析：截交線空間形狀：截錐為雙曲線；截圓柱為距形和不完整橢圓。截交線的投影：正面投影積聚在PV和QV上；側(cè)面投影積聚在不完整圓上,故只求水平投影。

動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/334機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌在日常生活中,我們經(jīng)常見到一個圓柱從另一個圓柱上貫穿而過,即兩立體相交,它們表面產(chǎn)生的交線稱之為相貫線。1、相貫線的定義由概述可知：兩立體相交，他們的交線稱為相貫線?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁相貫線概念動畫第二節(jié)立體表面的相貫線一、概述2023/2/335機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌平面立體與平面立體（簡稱平、平相貫）（建筑類重點研究）平面立體與曲面立體（簡稱平、曲相貫）（難點）曲面立體與曲面立體（簡稱曲、曲相貫）（重點）二、相貫線的分類動畫演示動畫演示動畫演示下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/336機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1)一般情況下，為光滑封閉的空間圖形。平、曲相貫：多段截交線組成的封閉空間圖形曲、曲相貫：為光滑封閉的空間曲線（特殊：為平面曲線）2)它是同屬于兩曲面的公有線。（是一系列公有點集合）思考：相貫線的形狀取決于回轉(zhuǎn)面的形狀、大小和它們軸線的相對位置?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁3、相貫線的特性：2023/2/337機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌二、平面立體與回轉(zhuǎn)體相貫求取方法及步驟：

①分析立體，求出多段截交線②判別可見性：兩立體表面均可見，交線可見③整理輪廓線。

【例二十一】求四棱柱與圓柱正交的相貫線的投影。空間分析：四棱錐前后兩面截交線為素線；左右兩面截交線為。相貫線為兩段素線和兩段圓弧組成的空間圖形投影分析：左、俯視圖有積聚性，投影已知，求正面投影即可?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁動畫演示2023/2/338機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌思考一：挖四棱柱孔相貫線投影如何畫；圓柱變圓筒相貫線投影如何畫。回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/339機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌思考二：挖三棱柱孔相貫線投影如何畫。

回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/340機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1)利用“三等”關(guān)系，作素線的正面投影2′3′，不可見，畫細(xì)虛線。作圓弧的正面投影1′（2′）4′，1′4′可見畫粗實線。三棱柱孔的三條棱線的正面投影均不可見，畫細(xì)虛線，如圖所示?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁2023/2/341機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2)作橢圓弧的投影，先作特殊點的正面投影1′、3′、5′，再作一般點的正面投影6′、7′，橢圓弧正面投影1′6′5′可見，畫粗實線。5′7′3′不可見，畫細(xì)虛線，如圖所示?；卣鹿?jié)目錄上一頁下一頁2023/2/342機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌3)整理輪廓線：正面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上點Ⅳ、Ⅴ之間的輪廓線被切，其投影應(yīng)擦除，檢查加深圖形，如圖所示。

回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/343機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄下一頁上一頁三、回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫1.求取步驟：

①分析交線情況（是否對稱），投影情況（是否有積聚性）②找公有點（特殊點和一般點）③判別可見性：一曲面立體表面可見，交線可見④整理輪廓線。2.求取方法：

①利用積聚性表面取點法（適合柱、柱相貫）②輔助平面法3.利用積聚性表面取點法求相貫線（主要研究正交情況）2023/2/344機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌空間分析：相貫線前后、上下對稱。投影分析：左、俯視圖相貫線投影有積聚性，故只求正面投影即可?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁【例二十二】求圓柱與圓柱正交的相貫線2023/2/345機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌作圖：

1)求特殊點。相貫線的最左點Ⅰ、最右點Ⅱ分別為兩圓柱正面投影轉(zhuǎn)向輪廓線的交點，最前點Ⅲ和最后點Ⅳ是兩圓柱側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓線的交點。利用“三等”關(guān)系求出1′、2′、3′（4′）。如圖所示。下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/346機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2)求一般點。為了精確求出相貫線的投影并用曲線光滑連接，應(yīng)在適當(dāng)位置求出相貫線上的一般位置點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。利用“三等”關(guān)系求出5′（8′）、6′（7′），如圖所示。下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/347機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌3)依次用曲線光滑連接1′-5′-3′-6′-2′，可得相貫線的正面投影，如圖所示。由于相貫線前后對稱，所以后半部分相貫線的正面投影與前半部分相貫線的正面投影重合。下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/348機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄下一頁上一頁思考：小圓柱改為貫穿孔，投影如何畫。2023/2/349機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄下一頁上一頁思考：大圓柱變圓筒相貫線投影如何畫。2023/2/350機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌4.討論：（1）相貫線變化趨勢：

當(dāng)兩圓柱直徑不相等時，相貫線非積聚性投影（曲線）向大直徑圓柱軸線彎曲。如圖所示。

動畫演示

動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/351機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

回章節(jié)目錄下一頁上一頁（2）相貫線可見性判別：兩外表面相貫、內(nèi)表面與外表面相貫，相貫線可見。動畫演示2023/2/352機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌兩內(nèi)表面相貫，相貫線不可見?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁動畫演示2023/2/353機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌④兩相貫圓柱等徑時，相貫線的投影為交叉二直線。（相貫線為兩垂直的橢圓）

動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/354機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌【例二十三】已知物體的俯、左視圖，求物體的主視圖，如圖所示?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁2023/2/355機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1）先畫外表面相貫線的投影，利用“三等”關(guān)系，找特殊點畫出垂直相交兩線段，如圖所示。

回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/356機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2）畫內(nèi)表面相貫線的投影，先找特殊點，畫相貫線彎向半圓柱孔的軸線，相貫線不可見，畫細(xì)虛線，如圖所示。回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/357機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄下一頁上一頁動畫演示3）整理輪廓線，檢查、加深線段，如圖所示

思考：該題垂直圓柱孔，改為四棱柱孔，三視圖如何變化？2023/2/358機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌[例二十四]已知圓柱與“U”形柱正交的俯、左視圖，補(bǔ)畫出主視圖，如圖所示。上一頁回章節(jié)目錄下一頁2023/2/359機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌作圖：先畫半圓柱與水平圓柱相貫線的投影，再畫四棱柱與水平圓柱相貫的相貫線的投影，相貫線可見，如圖所示。回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/360機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌思考：上題改為圓筒挖“U”形孔，挖切后圓筒的三視圖如何畫？回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/361機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌輔助平面法：就是根據(jù)三面共點原理，利用輔助平面去截兩個相交的回轉(zhuǎn)體，得兩條截交線，兩條截交線的交點，即為輔助平面與兩相交立體三面上共有點，因此也是相貫線上的點。

動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁*5.輔助平面法求相貫線2023/2/362機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌

A立體交線（L1)一系列輔助面

輔助平面P公有點公有點集合B立體交線（L2)（相貫線）特殊位置面包括：投影的平行面（正平面、水平面、側(cè)平面）投影的垂直面（鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面）A立體B立體輔助平面P交線L1交線L2特殊位置面輔助平面Q回章節(jié)目錄下一頁上一頁輔助平面選擇原則：使得輔助平與兩回轉(zhuǎn)體表面截交線的投影為簡單易畫的圖形—直線或圓。2023/2/363機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌〔例二十五〕求錐臺和球相交的相貫線回章節(jié)目錄下一頁上一頁

動畫演示2023/2/364機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：1、相貫線前后對稱。2、球和錐均沒有積聚性，交線三個面的投影均要求出。3、輔助面選：一個正平面、一個側(cè)平面和若干個水平面。水平面

正平面最低點Ⅰ最高點Ⅲ最前點Ⅱ一般點Ⅴ回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/365機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1、求特殊點：〔轉(zhuǎn)向輪廓線上點，如：最高（低）點、最前（后）點、最左（右）點〕選正平面求出最高(低)點Ⅰ、Ⅲ。選側(cè)平面求最前(后)點、Ⅱ、Ⅳ。2、求一般點：選水平面求出一般點Ⅴ、Ⅵ。

3、連線判別可見性：判別可見性的原則：參加相貫的兩立體的表面在該投影面上均可見，則相貫線可見。反之，相貫線不可見。4、整理輪廓線?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁作圖：動畫演示2023/2/366機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌〔例二十六〕求圓錐和圓柱正交相貫線的投影

動畫演示回章節(jié)目錄上一頁下一頁2023/2/367機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌分析：選擇一個過軸線的正平面；一個過圓柱俯視轉(zhuǎn)向輪廓線；一個過錐頂且與圓柱相切的側(cè)錐面若干個水平面?；卣鹿?jié)目錄下一頁上一頁a)選水平面b)選過錐頂?shù)恼矫鎐)過錐頂?shù)妮o助面與圓柱相切2023/2/368機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌回章節(jié)目錄下一頁上一頁作圖：1.先作特殊點2023/2/369機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2.再作一般點回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/370機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌3.連線，判別可見性，整理輪廓線回章節(jié)目錄下一頁上一頁2023/2/371機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌1、回轉(zhuǎn)體共軸相貫（圓球與圓柱、圓錐共軸相貫，相貫線為圓）相貫線的投影：在平行軸線的投影面上投影積聚為直線，在垂直軸線的投影面上投影為圓。

動畫演示動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁四、相貫線特殊情況2023/2/372機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌2．兩軸線平行的圓柱相交，相貫線是兩條平行的線段，不封閉。如圖所示。下一頁上一頁回章節(jié)目錄2023/2/373機(jī)械制圖安徽工業(yè)大學(xué)仝基斌動畫演示回章節(jié)目錄下一頁上一頁3.回轉(zhuǎn)體共軸相貫2023/2/374機(jī)械制圖安徽