第2章 軸向拉伸及壓縮

第2章軸向拉伸與壓縮目錄2.1軸向拉伸和壓縮概述

2.2軸力與軸力圖2.3拉（壓）桿橫截面與斜截面上的應(yīng)力

2.4拉(壓)桿的變形與胡克定律

2.5材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能2.6強(qiáng)度計(jì)算*2.7拉伸和壓縮超靜定問題工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。屋架結(jié)構(gòu)簡圖2.1軸向拉伸和壓縮概述受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿桁架的示意圖（未考慮端部連接情況）受力特點(diǎn)：外力合力作用線與桿軸線重合。變形特點(diǎn)：桿件沿軸線方向伸長或縮短。

材料力學(xué)中的桿件，如果沒說明，通常不計(jì)自重。求圖示拉桿m－m截面的內(nèi)力PNxY｝

mmPP2.2軸力與軸力圖N：分布內(nèi)力系的合力稱為內(nèi)力，代表移去部分對保留部分的作用。由平衡方程N(yùn)P=0

N=P

N

總是與軸線重合，故稱為軸力。軸力通常用字母N表示，它的單位即為力的單位，基本單位為牛頓(N)，常用單位有千牛(kN)。PNxY｝

保留右段時(shí)：PN=0N=P

N與N大小相等，方向相反，為一對作用力與反作用力。mmPPPNxYPN｝

(1)假想的截面截開指定截面m－m

；(2)用內(nèi)力代替另一部分對所取分離體的作用力；(3)根據(jù)分離體的平衡求出內(nèi)力值。截面法求軸力的步驟：符號規(guī)定：

正號軸力--N的方向與截面外法線方向一致。負(fù)號軸力--N的方向與截面外法線方向相反。也即：拉伸為正、壓縮為負(fù)。

例2－1一直桿受力如圖所示。試求各段中橫截面上的軸力。6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1II解：在AB段內(nèi)，沿橫截面I－I把桿件假想截開，保留左段，假設(shè)I－I截面上有正號的軸力N1，以桿軸為x軸，由靜力平衡條件6kNAN1IIN1-6=06kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N26kN10kNIIII

在BC段內(nèi)沿橫截面II－II將桿假想地截開，并留下左段為脫離體，假設(shè)II－II截面的軸力為正號的N2由靜力平衡條件.N26kN10kNIIIIN2-6+10=06kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N2N36kN10kN4kNIIIIII

用同樣方法可求CD段內(nèi)任意橫截面的內(nèi)力。用假想截面沿III－III截面切開，保留右段，設(shè)該截面的軸力為正號的N3，利用平衡方程，易求得N34kNIIIIIINxN圖（kN)6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII4+4+6446++軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關(guān)系。F(f)(c)F【例2-1】試作圖a所示桿的軸力圖。1.用截面法分別求各段桿的軸力。為求軸力方便，先求出約束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面將桿截開，以左端桿為分離體（圖c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN解:以圖d為分離體，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN取截面3－3右邊為分離體（圖e），假設(shè)軸力為拉力。同理，F(xiàn)N4=20kN(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN（壓力）。(e)25kN20kN由軸力圖可見2.以橫坐標(biāo)表示橫截面位置，縱坐標(biāo)表示軸力的大小，由以上結(jié)果作軸力圖如圖所示。已知：F1=40kN,F2=30kN,F3=20kN求：1-1，2-2和3-3截面的軸力，并作桿件的軸力圖。解：1-1截面，取右邊，受力如圖。練習(xí)：2-2截面,取右邊,受力如圖。3-3截面,取右邊,受力如圖。ΣX=0，F(xiàn)N3=-F3=?20(kN)軸力圖【例2-2】試作圖a所示桿的軸力圖。FFFl2ll(a)ABCD1.用截面法分別求各段桿的軸力約束反力為FR=FFR2FFFq11233(b)l2llxABCD解:以圖c為分離體，得FN1=F以圖e為分離體，得FN3=F(c)11AF33D(e)2FFFqFR11233(b)l2llxABCDx4l-x以圖d為分離體，得BqFFxA22(d)2FFFqFR11233(b)l2llxABCDFN

圖FFF+-+(f)2.由以上結(jié)果畫出軸力圖如圖f所示FFFl2ll(a)ABCD求分布荷載作用的BC段的軸力時(shí)，不允許用合力2lq＝2F代替分布荷載。求軸力時(shí)，不允許將力沿其作用線段移動(dòng)，例如，將作用在D截面的力F移到C截面時(shí)，AB、BC段的軸力不變，而CD段軸力為零。FFFl2ll(a)ABCD注意：畫軸力圖的要求①平行并對齊原桿件②軸力的符號要標(biāo)在圖上③控制點(diǎn)的坐標(biāo)要標(biāo)上N—一般地，為位置的函數(shù)，dA組成垂直于橫截面的平行力系，其合力即為軸力2.3拉（壓）桿橫截面與斜截面上的應(yīng)力

1、拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力考察桿件受力變形：PP—橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的符號規(guī)定與N一致。拉應(yīng)力為正號的正應(yīng)力。壓應(yīng)力為負(fù)號的正應(yīng)力。

例2－3

圖(a)所示構(gòu)架的BC桿為直徑d=20mm的鋼桿，AB桿的橫截面積為540mm2，已知P=2kN,試求AB桿和BC桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP30(a)解：(1)計(jì)算各桿軸力AB和BC均為二力桿。設(shè)兩桿均受拉力，作節(jié)點(diǎn)B的受力圖圖(b)，由靜力平衡條件：…(1)…(2)30PxyNABNBC(b)B由(2)式可得將NBC的值代入(1)，可得(2)計(jì)算各桿應(yīng)力

例2-4試求圖a所示正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應(yīng)力。已知F=50kN。1.作軸力圖如圖所示。分別求各段柱的工作應(yīng)力。Ⅰ段柱橫截面上的正應(yīng)力Ⅱ段柱橫截面上的正應(yīng)力(壓應(yīng)力)(壓應(yīng)力)結(jié)果表明，最大工作應(yīng)力為smax=s2=-1.1MPa

(壓應(yīng)力）例2-5試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的拉應(yīng)力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

薄壁圓環(huán)(δ<<d)在內(nèi)壓力作用下，徑向截面上的拉應(yīng)力可認(rèn)為沿壁厚均勻分布，故在求出徑向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉應(yīng)力。解:用徑向截面將薄壁圓環(huán)截開，取其上半部分為分離體，如圖b所示。分布力的合力為由SFy=0，得徑向截面上的拉應(yīng)力為圣維南原理：“力作用于桿端方式不同，只會(huì)使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受影響。”應(yīng)力集中現(xiàn)象(a)PPKK橫截面是特殊的截面，任意斜截面以與橫截面的夾角來表示。2、拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力截面法PNpkk由平衡方程N(yùn)=P斜截面面積記作A，設(shè)橫截面面積為A1、軸向變形，泊松比l1ll1b1bb1PPPP(a)(b)軸向變形：L=L1L2.4拉（壓）桿的變形·胡克定律

同時(shí)桿的伸長（縮短）不足以反映桿的變形程度。線應(yīng)變橫向線應(yīng)變：實(shí)驗(yàn)表明:在彈性范圍內(nèi)加載，縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變之間存在如下關(guān)系v：泊松比，無量綱2、胡克定理引入彈性模量EEA：抗拉剛度彈性模量和泊松比都是材料的彈性常數(shù)。例2－6一構(gòu)件如圖所示，已知：P1=30kN，P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，E=200GPa。ABCDP1P2100100100試求：(1)各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力；(2)桿的總伸長。+ABCDP1P210010010020kN10kNN解：①作軸力圖如上圖所示?！癆B”，“BC”，“CD”段上任意橫截面上的應(yīng)力分別為：②求橫截面上的應(yīng)力③雖然桿AD不滿足胡克定律的適用條件，但AB段、BC段和CD卻能分別滿足胡克定律，因此，我們可按胡克定律分別求AB、BC、CD三段桿的伸長量，然后相加得到桿AD的總伸長量。+ABCDP1P210010010020kN10kNN即AD桿縮短了0.015mm。D點(diǎn)向左位移了0.015mm。如果在桿總長范圍內(nèi)，不能滿足桿伸長計(jì)算公式的適用條件，但將桿分成若干段(n段)每一段能分別滿足式的適用條件。則桿的總伸長公式為

例2－7

試求自由懸掛的直桿由于自重引起的最大正應(yīng)力和總伸長。設(shè)桿長l，截面積A，容重，彈性模量E均為已知。lOA解：(1)計(jì)算桿內(nèi)的最大正應(yīng)力，先求離下端為x處截面上的正應(yīng)力，利用截面法，得：mmlxAxmmAN(x)xOmmlxAxOON+AxAlx(2)計(jì)算桿伸長，由于N為x的函數(shù)，因此不能滿足胡克定律的條件。在離桿下端為x處，假想地截取長度為dx的微段，其受力如圖所示。在略去高階微量的條件下，dx微段的伸長可寫為所以整個(gè)桿件的伸長為：dxN(x)+dN(x)N(x)x桿伸長計(jì)算公式：均勻變形分段均勻變形非均勻變形例2-8圖示桿系中，荷載

P=100kN。試求結(jié)點(diǎn)A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，兩桿直徑均為d=25mm，材料的彈性模量為E=210GPa。求拉（壓）桿系節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)鍵在于確定變形后節(jié)點(diǎn)的位置。本例中，解除鉸鏈A

的約束，設(shè)1，2

桿的伸長量分別為Dl1和Dl2，分別以B和C為圓心，以l1

+Dl1和l2+Dl2為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點(diǎn)A‘‘為變形后A點(diǎn)的精確位置。但在小變形時(shí)，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂線代替圓弧，得到交點(diǎn)A'作為變形后A點(diǎn)的位置。再根據(jù)位移圖所示的幾何關(guān)系求A的位移。Dl1Dl2(b)由胡克定律得其中解:1.分別求1，2兩桿的軸力及伸長由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程得2.求A點(diǎn)的位移由圖b可見因?yàn)镈l1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)在小變形情況下，確定桿系變形后的位置時(shí)，用桿端垂線代替圓弧線是本題的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一定要掌握。2.桿系節(jié)點(diǎn)A的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯(lián)系但又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個(gè)標(biāo)量；位移是指結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，是個(gè)矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)?？偨Y(jié)2.5材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼拉伸試件圖片低碳鋼拉伸是試件破壞斷口圖片一.材料的拉伸和壓縮試驗(yàn)

圓截面試樣：l=10d或l=5d(工作段長度稱為標(biāo)距)。

矩形截面試樣：或。

拉伸試樣

試驗(yàn)設(shè)備：(1)萬能試驗(yàn)機(jī)：強(qiáng)迫試樣變形并測定試樣的抗力。

(2)變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。

圓截面短柱(用于測試金屬材料的力學(xué)性能)

正方形截面短柱(用于測試非金屬材料的力學(xué)性能)

壓縮試樣

二、低碳鋼試件在拉伸時(shí)的力學(xué)性能整個(gè)拉伸過程分為：（1）ob—彈性階段（2）bc—流動(dòng)階段（3）ce—強(qiáng)化階段（4）ef—頸縮階段1.卸載規(guī)律ABCDEFOGO1O2pe第一次加載至G點(diǎn)，然后卸載，其-曲線為GO1

（不是原路返回）；然后立刻進(jìn)行第二次加載，其-曲線為O1GEF，其中O1O2—彈性應(yīng)變OO1—塑性應(yīng)變冷作硬化：第一次加載至G點(diǎn)，然后卸載完畢后立刻進(jìn)行第二次加載，其-曲線為O1GEF，從圖中可以看出，試件的彈性極限升高，塑性性能下降。ABCDEFOGO1O2pe冷拉時(shí)效：第一次加載至G點(diǎn)，然后完全卸載，讓試件“休息”幾天，然后進(jìn)行第二次加載。這時(shí)-曲線為O1GHKM，可以看出，試件獲得了更高的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)。ABCDEFOHKMGO1O2pe低碳鋼的塑性指標(biāo)：

伸長率：

斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%Q235鋼：

(通常d

>5%的材料稱為塑性材料)三、其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能（主要自學(xué)）要求掌握：②

0.2對于沒有明顯屈服點(diǎn)的塑性材料，通常以材料產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時(shí)對應(yīng)的應(yīng)力值代替s①鑄鐵胡克定律近似成立(1)、低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)四、金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能（主要自學(xué)）(2)、鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)一、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件極限應(yīng)力u——材料強(qiáng)度遭到破壞時(shí)的應(yīng)力。破壞：斷裂、過大塑性變形脆性材料u=b塑性材料u=s2.6強(qiáng)度條件二、許用應(yīng)力、安全系數(shù)n>1安全系數(shù)[]許用應(yīng)力塑性材料脆性材料工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算以危險(xiǎn)截面為準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算三種不同情況下的強(qiáng)度計(jì)算①

強(qiáng)度校核：在已知荷載、構(gòu)件尺寸和材料的情況下，構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度要求，由下式檢驗(yàn)工程上也能認(rèn)可②

設(shè)計(jì)截面：已知荷載情況、材料許用應(yīng)力，構(gòu)件所需橫截面面積，用下式計(jì)算。③

計(jì)算許用荷載：已知構(gòu)件幾何尺寸和材料許用應(yīng)力，則構(gòu)件的最大軸力可用下式計(jì)算利用平衡方程即可求出許用荷載。例2－9圖示構(gòu)架，BC桿為鋼制圓桿，AB桿為木桿。若P=10kN，木桿AB的橫截面積為A1=10000mm2,許用應(yīng)力(1)校核各桿的強(qiáng)度；(2)求許用荷載[P]；(3)根據(jù)許用荷載，重新設(shè)計(jì)桿件。應(yīng)力[]2=160MPa。ACPBlBC=2.0mlAB=1.73m30面積為A2=600mm2,許用[]1=7MPa；鋼桿的橫截解：(1)校核兩桿強(qiáng)度，為校核強(qiáng)度必須先求內(nèi)力，為此，截取節(jié)點(diǎn)B為脫離體，由B節(jié)點(diǎn)的受力圖，列出靜平衡方程。BPNABNBC30解之，可得：所以，兩桿橫截面上的正應(yīng)力分別為：兩桿強(qiáng)度足夠。

兩桿內(nèi)力的正應(yīng)力都遠(yuǎn)低于材料的許用應(yīng)力，強(qiáng)度還沒有充分發(fā)揮。因此，懸吊的重量還可大大增加。那么B點(diǎn)能承受的最大荷載P為多少？這個(gè)問題由下面解決。