第3章 典型機(jī)械系統(tǒng)建模

第三章典型機(jī)械系統(tǒng)的建模

機(jī)械系統(tǒng)如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機(jī)構(gòu)、飛機(jī)舵面?zhèn)鲃友b置、導(dǎo)彈發(fā)射架、飛行模擬器的運(yùn)動平臺等。在建模中，主要將利用牛頓力學(xué)定律、拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：空間任意力系的平衡方程牛頓第二定律得：牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模例3.1如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為m,由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點(diǎn)的中點(diǎn)的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個

小的角度，然后釋放。求擺動周

期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的

轉(zhuǎn)動慣量J。假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度θ時，夾角和夾角θ間存在下列關(guān)系:因此測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置

3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建?；?qū)懗?由此求得擺動周期為得到轉(zhuǎn)動慣量J注意，每根繩索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分量為mg/2。兩根繩索的F的水平分量產(chǎn)生扭矩mga使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運(yùn)動方程為：3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模有負(fù)號是因為角加速度方向與轉(zhuǎn)矩方向相反例3.2如圖所示的單擺系統(tǒng)，Ti(t)為輸入力矩、θ0(t)為輸出擺角、m為小球質(zhì)量、L為擺長。根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程：當(dāng)θ0很小時:非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程:3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模例3.3

設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)安裝在一個不計質(zhì)量的小車上，如下圖所示。推導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。假設(shè)t<0時小車靜止不動，并且安裝在小車上的系統(tǒng)也處于靜止?fàn)顟B(tài)。在這個系統(tǒng)中，u(t)是小車的位移，并且是系統(tǒng)的輸入量。不計小車的質(zhì)量，得到3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模例3.4

有一質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示，運(yùn)用力學(xué)方法建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)圖力分解圖根據(jù)力平衡原理，建立系統(tǒng)方程：3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模機(jī)械式加速度計

例3.5下圖給出機(jī)械式加速度計測量懸浮試驗橇加速度的示意圖。試驗橇采取磁懸浮方式以較小的高度e懸浮于導(dǎo)軌上方。由于質(zhì)量M相對于及速度計箱體的位移y與箱體的（即試驗橇的）加速度成正比，因而加速度計能測得試驗橇的加速度。3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模質(zhì)量M的受力分析得：或或3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模倒立擺系統(tǒng)例3.6左下圖為人手保持倒擺平衡的問題，相應(yīng)的平衡條件為。右下圖表示的是小車上的倒擺控制問題。小車必須處于運(yùn)動狀態(tài)才能保持質(zhì)量m始終處于小車上方。系統(tǒng)狀態(tài)變量應(yīng)當(dāng)與旋轉(zhuǎn)角以及小車的位移有關(guān)。小車和倒擺人手到立擺的平衡3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模設(shè)M>>

m

,旋轉(zhuǎn)角θ足夠小，于是可以對運(yùn)動方程做線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：其中，u(

t

)等于施加在小車上的外力，l是質(zhì)量到鉸接點(diǎn)的距離。鉸接點(diǎn)處的轉(zhuǎn)矩之和為：選定兩個2階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：將a、b兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：(a)(b)(c)(d)3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模為得到1階微分方程組，解出式（d）中的,代入式（c），并注意到M>>m，則有：(e)再解出式（c）中的，并代入式（d），可得：于是，4個1階微分方程為：3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：3.1基于力學(xué)理論的機(jī)械系統(tǒng)建模3.2能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程

設(shè)力F作用于a至b連接路徑中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)m上，那么F所作的功可一般描述為

能量一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機(jī)械系統(tǒng)中能有勢能和動能兩種形式。

功率是做功的速率，即：dW表示在dt時間間隔內(nèi)所作的功。功、能、功率能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程

例3.7如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動方程。圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)總能量為3.2能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程因無滑動的滾動，因此，x=Rθ。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量J等于1/2mR2，我們得到能量守恒定律，總能量為常數(shù)，故：也可寫成轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程得：3.2能量法推導(dǎo)運(yùn)動方程3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）將x1,x2,…xn作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動由n個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，時間為自變量。系統(tǒng)在任意瞬時的勢能：系統(tǒng)在同瞬時的動能：拉格朗日函數(shù)定義為

令是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成拉格朗日方程為：例3.8例3.4系統(tǒng)如圖所示，運(yùn)用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解:選擇y1，y2為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）例3.9某行星滾動機(jī)構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為r的實心圓柱在半徑為R，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為m(R-r)2和MR2圓柱對軸心O’的轉(zhuǎn)動慣量為mr2/2,建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角θ和圓柱軸心偏離角β。由于圓柱與圓筒間的運(yùn)動是無滑動純滾動，故在接觸點(diǎn)A處它們具有相同的線速度

系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能:3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。則系統(tǒng)的勢能為拉格朗日函數(shù)得：

代入拉格朗日方程有

即為該行星滾動機(jī)構(gòu)的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。3.3拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）例3.10