第二章隨機(jī)過程基本概念2.42.52.6

隨機(jī)過程的基本概念第二章2023/2/32第二章隨機(jī)過程的基本概念2.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)2.4.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度2023/2/33設(shè)隨機(jī)過程X(t)的N維分布函數(shù)為Y(t)的M維分布函數(shù)為定義X(t)和Y(t)的N+M維聯(lián)合概率分布函數(shù)為2.4.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度2023/2/34定義X(t)和Y(t)的N+M維聯(lián)合概率密度為如果則稱X(t)和Y(t)是相互獨(dú)立的2.4.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度2023/2/35如果X(t)和Y(t)的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間起點(diǎn)的平移而變化，則稱X(t)和Y(t)是嚴(yán)格聯(lián)合平穩(wěn)的，也稱平穩(wěn)相依。它們的任意N+M維聯(lián)合概率密度與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)2.4.2互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)2023/2/36互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)X(t)和Y(t)相互正交X(t)和Y(t)不相關(guān)2.4.2互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)2023/2/37如果則稱X(t)和Y(t)是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。2.4.2互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)2023/2/38（1）聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)（2）2.4.2互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)2023/2/39（3）若X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則Z(t)=X(t)+Y(t)也是平穩(wěn)的，且聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)如果X(t)和Y(t)不相關(guān)，則如果X(t)和Y(t)相互正交，則2023/2/310第二章隨機(jī)過程的基本概念2.5隨機(jī)過程的功率譜密度2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/311信號s(t)的頻譜密度（簡稱頻譜）：頻譜存在的條件信號s(t)用頻譜表示：2023/2/3122.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜信號s(t)的能量譜密度（簡稱能譜密度）：表示單位頻帶內(nèi)信號的能量能譜密度存在的條件Parseval定理能量型信號能量有限的信號2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/313功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號對隨機(jī)過程而言，一般不滿足頻譜和能量譜存在的條件，所以其頻譜和能譜都不存在?！鷮﹄S機(jī)過程引入功率譜的概念2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/314功率譜的定義：隨機(jī)過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù)

2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/315的傅里葉變換的平均功率2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/316令則的功率譜密度的平均功率2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/317定義隨機(jī)過程的功率譜密度為：功率譜密度是從頻域描述隨機(jī)過程很重要的數(shù)字特征，隨機(jī)過程的功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號的頻譜分量消耗在單位電阻上的平均功率的統(tǒng)計(jì)平均值。能譜密度：信號的能量按頻率分布的情況功率譜密度：信號的平均功率按頻率分布的情況2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/318功率譜密度與相關(guān)函數(shù)關(guān)系維納-辛欽定理?xiàng)l件:功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)有意義適用于任意隨機(jī)過程（定義本身不要求必須是平穩(wěn)過程）2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/319性質(zhì)：對于實(shí)的平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜為實(shí)的、非負(fù)偶函數(shù)；2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/320性質(zhì)：相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄。總的平均功率2.5.12023/2/3212.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/322物理功率譜（物理譜）定義：2.5.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜2023/2/323例2.18：已知譜密度為求相關(guān)函數(shù)。解：由因式分解由公式：2.5.2隨機(jī)序列的功率譜2023/2/324對于平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)，如果其自相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度功率有限周期為2π2.5.2隨機(jī)序列的功率譜2023/2/325Z變換形式：自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)z變換的收斂域是一個(gè)包含單位圓的環(huán)形區(qū)域，即所以2.5.2隨機(jī)序列的功率譜2023/2/326自相關(guān)函數(shù)用功率譜的z反變換表示其中C是收斂域內(nèi)包含z

平面原點(diǎn)逆時(shí)針的閉合圍線2.5.2隨機(jī)序列的功率譜2023/2/327平穩(wěn)隨機(jī)序列功率譜性質(zhì)（1）實(shí)的偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，所以（2）非負(fù)2.5.3互功率譜2023/2/328兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)，Y(t)的互功率譜其中：若X(t)及Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，絕對可積，有互功率譜從頻域上描述了兩個(gè)隨機(jī)過程的互相關(guān)特性。2.5.3互功率譜2023/2/329性質(zhì)：（1）互功率譜并非是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)與是的奇函數(shù)；是的偶函數(shù)；與（2）（3）2.5.4非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜2023/2/330對平穩(wěn)和非平穩(wěn)都適用其它定義:1)廣義功率譜缺乏明確的物理意義2.5.4非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜2023/2/3312)時(shí)變功率譜如果采用對稱相關(guān)函數(shù)，即則上式定義的功率譜稱為韋格納-威利(Wigner-Ville)譜，這種功率譜是實(shí)偶函數(shù)（因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)）。2.5.4非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜2023/2/3323)對時(shí)變譜求時(shí)間平均等價(jià)于2.5.4非平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜2023/2/333例2.21：

噪聲調(diào)制的振蕩信號其中N(t)是平穩(wěn)噪聲，求X(t)的功率譜2023/2/334第二章隨機(jī)過程的基本概念2.6典型的隨機(jī)過程2023/2/3352.6.1白噪聲加性噪聲獨(dú)立于有用信號噪聲來源：人為噪聲、自然噪聲、內(nèi)部噪聲噪聲分類：確知噪聲、隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲分類單頻噪聲（外臺，窄帶）：并不總是存在脈沖噪聲（點(diǎn)火、閃電，幅度大、時(shí)間短，頻帶寬）：安靜期長，對模擬話音影響不大，但對數(shù)字通信易造成誤碼，可使用糾錯(cuò)編碼起伏噪聲（熱、散彈、宇宙）：普遍存在不可避免，可認(rèn)為是一種高斯噪聲，并且在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有平坦的功率譜密度2.6.1白噪聲2023/2/336平穩(wěn)白噪聲：隨機(jī)過程X(t)均值為0，自相關(guān)函數(shù)為平穩(wěn)白噪聲功率譜密度：白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

2.6.1白噪聲2023/2/337白噪聲相關(guān)系數(shù)：2023/2/3382.6.1白噪聲帶限白噪聲只有以頻率2f0對帶限白噪聲進(jìn)行抽樣時(shí)，各樣值才互不相關(guān)2.6.2正態(tài)隨機(jī)過程2023/2/339如果一個(gè)隨機(jī)過程X(t)的任意n維分布都服從正態(tài)分布，則稱該隨機(jī)過程為正態(tài)隨機(jī)過程。一維分布N維分布2.6.2正態(tài)隨機(jī)過程2023/2/340平穩(wěn)正態(tài)過程

設(shè)X(t)是正態(tài)隨機(jī)過程，若有

則X(t)稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程。2.6.2正態(tài)隨機(jī)過程2023/2/341性質(zhì)：1.對于正態(tài)隨機(jī)過程而言，廣義平穩(wěn)與嚴(yán)格平穩(wěn)等價(jià)；2.對于正態(tài)隨機(jī)過程而言，不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)；3.一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過程。4.若平穩(wěn)正態(tài)過程具有均勻的功率譜密度，則稱此過程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。滿足

2023/2/3422.6.2正態(tài)隨機(jī)過程一維正態(tài)分布關(guān)于a對稱：f(a+x)=f(a-x)在點(diǎn)a處取極大值:2023/2/3432.6.2正態(tài)隨機(jī)過程概率積分函數(shù):標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布:概率分布函數(shù):誤