第五章 線性系統(tǒng)頻率分析法(一)

第五章頻率分析法

以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學模型主要以波德圖

(Bode)來作為分析工具分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能

2/3/20231重慶郵電大學自動化學院頻率特性法是分析線性系統(tǒng)的工程實用方法。頻率響應—系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。頻率特性—系統(tǒng)的頻率響應與正弦輸入信號之間的關系。在頻率響應法中，在一定的范圍內改變輸入信號的頻率，研究其產(chǎn)生的響應頻率響應法和根軌跡法是互為補充的兩種方法

頻率響應法的優(yōu)點之一，是可以利用對物理系統(tǒng)測量得到的數(shù)據(jù)，而不必推導出系統(tǒng)的數(shù)學模型

2/3/20232重慶郵電大學自動化學院頻率特性的概念設系統(tǒng)結構如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。2/3/20233重慶郵電大學自動化學院§5.1頻率特性

一、基本概念

系統(tǒng)傳遞函數(shù)令：s=jω，得到另一個復變函數(shù)(正弦傳遞函數(shù))，即頻率特性實部、虛部表示

P(ω)、Q(ω)分別為頻率ω的函數(shù)幅值、幅角表示

A(ω)、φ(ω)分別為頻率ω的函數(shù)2/3/20234重慶郵電大學自動化學院線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦響應引例5－1RC電路如圖所示2/3/20235重慶郵電大學自動化學院寫成幅值與幅角表達式幅頻特性相頻特性兩條特性曲線如圖。

2/3/20236重慶郵電大學自動化學院二、頻率特性的定義 已知線性定常系統(tǒng)，輸入信號為r(t)，其付氏變換存在為R(j)。系統(tǒng)的輸出信號為c(t)，其付氏變換為C(j)，

定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號的付氏變換C(j)與輸入信號的付氏變換R(j)之比，表為

2/3/20237重慶郵電大學自動化學院關于頻率特性的討論（1）付氏變換的存在條件滿足狄里赫萊條件即絕對值積分存在，這限制了付氏變換在許多場合下的應用。 因此，許多常用的時域函數(shù)沒有付氏變換，如階躍函數(shù)等。2/3/20238重慶郵電大學自動化學院（2）頻率特性與微分方程的關系微分方程為類似拉氏變換，方程兩邊作付氏變換輸出與輸入的付氏變換的比值所以頻率特性G(j)是在頻率域中來表示線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型。2/3/20239重慶郵電大學自動化學院（3）付氏變換與拉氏變換的關系階躍函數(shù)，增加衰減因子e-t，>0，滿足狄里赫萊條件，其付氏變換存在

付氏變換是拉氏變換在s=j時的特例。2/3/202310重慶郵電大學自動化學院三、頻率特性的數(shù)學表示及作圖

1、極坐標圖極坐標圖又稱幅相圖、奈奎斯特（Nyquist）圖復變函數(shù)G(j)表為實部、虛部

或表為模、相位角復平面曲線如圖所示。

曲線實軸對稱不便于徒手作圖

2/3/202311重慶郵電大學自動化學院2、對數(shù)坐標圖 又稱為波德（Bode）圖由于分別作兩張圖 A()——幅頻特性，是頻率的函數(shù) ()——相頻特性，是頻率的函數(shù)如一階RC網(wǎng)絡。

徒手描點不方便，

展示不清晰，分別將A()、()作對數(shù)變換即成為波德（Bode）圖。2/3/202312重慶郵電大學自動化學院對數(shù)幅頻特性L()將兩坐標軸分別取對數(shù)作為新的坐標軸如圖所示。

縱軸： 橫軸：2/3/202313重慶郵電大學自動化學院對數(shù)相頻特性()

縱軸：()不取對數(shù) 縱軸：

2/3/202314重慶郵電大學自動化學院一階RC網(wǎng)絡的頻率特性與對數(shù)頻率特性的比較波德圖優(yōu)點：（1）波德圖展寬頻帶：可視頻帶(粗),表示頻帶(精)

（2）基本環(huán)節(jié)都可以由漸近線畫出

2/3/202315重慶郵電大學自動化學院（3）疊加作圖作圖方便。例如對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性2/3/202316重慶郵電大學自動化學院§5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)頻率特性 波德圖幅值為 幅頻特性幅角為 相頻特性極坐標圖2/3/202317重慶郵電大學自動化學院二、積分環(huán)節(jié)頻率特性 幅值為 幅角為

極坐標圖波德圖幅頻特性相頻特性2/3/202318重慶郵電大學自動化學院三、微分環(huán)節(jié)

頻率特性 幅值為 幅角為 極坐標圖波德圖幅頻特性相頻特性2/3/202319重慶郵電大學自動化學院四、一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性 極坐標圖實部與虛部表達式模角表達式幅值為 幅角為由于 2/3/202320重慶郵電大學自動化學院可以證明，軌跡為一圓。2/3/202321重慶郵電大學自動化學院波德圖對數(shù)幅頻特性

可用漸近線作圖交點為對數(shù)相頻特性

兩邊反對稱。2/3/202322重慶郵電大學自動化學院漸近線作圖的折線誤差

處應有最大誤差，代入模表達式誤差特性如圖誤差修正如圖。2/3/202323重慶郵電大學自動化學院五、一階微分環(huán)節(jié)

頻率特性極坐標圖幅頻特性相頻特性波德圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性可依一階慣性環(huán)節(jié)反對稱畫出。2/3/202324重慶郵電大學自動化學院六、二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)令 為時間常數(shù)，代入上式頻率特性為

2/3/202325重慶郵電大學自動化學院極坐標圖幅頻特性 相頻特性極限點有 由于 幅角單調減幅值先增后減， 有極值由諧振頻率諧振峰值阻尼比不同時，極坐標圖如圖所示。2/3/202326重慶郵電大學自動化學院波德圖對數(shù)幅頻特性漸近線作圖粗實線所示，交點為阻尼比不同時>0.707 無諧振峰值=0.707 臨界諧振<0.707 有諧振峰值3條特性如圖所示。2/3/202327重慶郵電大學自動化學院二階振蕩環(huán)節(jié)波德圖對數(shù)相頻特性由于三個特征角度阻尼比不同時，在鄰域角度變化率不同如圖。2/3/202328重慶郵電大學自動化學院二階振蕩環(huán)節(jié)波德圖2/3/202329重慶郵電大學自動化學院七、二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性極坐標圖波德圖參照二階振蕩環(huán)節(jié)，橫軸對稱畫出。

2/3/202330重慶郵電大學自動化學院八、延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性幅值 恒為1幅角極坐標圖 波德圖

2/3/202331重慶郵電大學自動化學院§5.3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖一、開環(huán)對數(shù)頻率特性作圖結構圖開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)頻率特性分解基本環(huán)節(jié)則開環(huán)對數(shù)幅頻特性開環(huán)對數(shù)相頻特性2/3/202332重慶郵電大學自動化學院（1）典型環(huán)節(jié)疊加作圖例5－2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為作開環(huán)系統(tǒng)波德圖。

解寫出基本環(huán)節(jié)1、2、3、4、5、2/3/202333重慶郵電大學自動化學院對數(shù)幅頻特性在圖上作疊加合成

2/3/202334重慶郵電大學自動化學院對數(shù)幅頻特性作出各基本環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性如圖，疊加，得到疊加時，粗略地做環(huán)節(jié)特征點疊加即可，2/3/202335重慶郵電大學自動化學院（2）轉折漸進作圖由于步驟一： 確定低頻段斜率和低頻段高度，作出低頻段曲線至第一轉折頻率，在低頻段有在低頻段作出Lo低和0低。2/3/202336重慶郵電大學自動化學院步驟二：由于全部為一階因子或者二階因子，均在轉折頻率處發(fā)生向上或者向下轉折，斜率分別為20dB/dec，

40dB/dec等。從低頻段到高頻段逐步前進，以漸進方式作出折線特性，

2/3/202337重慶郵電大學自動化學院例5－3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為作對數(shù)開環(huán)頻率特性。

解低頻段為為=1.58處過0dB線的積分特性。作斜率為-20dB/dec，過=1.58的斜線如圖所示。轉折特性為2/3/202338重慶郵電大學自動化學院作轉折漸進表（幅頻特性）：轉折漸進，作出折線圖。對數(shù)相頻特性低頻段特性 0低=-90高頻段特性 0高=-180每一個轉折頻率處，有：一階因子45特征點，二階因子90特征點，可作出

()。漸進順序(1+50s)-1(1+10s)(1+s)(1+0.2s+0.52s2)-1轉折頻率0.020.112轉折斜率-20dB/+20dB/+20dB/-40dB/2/3/202339重慶郵電大學自動化學院L()與()階的漸進作圖。2/3/202340重慶郵電大學自動化學院二、開環(huán)極坐標圖作圖

由于：因此極坐標圖需要描點作圖。但是，系統(tǒng)分析，特別是穩(wěn)定性分析，可以徒手作極坐標草圖。開環(huán)頻率特性為其中，2/3/202341重慶郵電大學自動化學院極坐標圖的起點由于 所以模 角所以不同時，極坐標圖的起點如圖所示。

2/3/202342重慶郵電大學自動化學院極坐標圖的終點由于模 角所以，極坐標圖的終點如圖所示。

2/3/202343重慶郵電大學自動化學院坐標軸穿越點與單位圓穿越點

坐標軸穿越點處，為角度 的整數(shù)倍角。單位圓穿越點處，模為單位1。2/3/202344重慶郵電大學自動化學院例5－4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試作其極坐標草圖。

解由于=1， 起點位于負虛軸無窮遠處。由于n-m=2， 曲線以相位角-180趨于原點。幅角為增加時，()單調減，趨勢作圖如圖所示。該題簡單，可由解析法作圖。2/3/202345重慶郵電大學自動化學院解析法作圖近似草圖 解析法作圖2/3/202346重慶郵電大學自動化學院例5－5開環(huán)傳遞函數(shù)為試作出極坐標圖的草圖。

解由于=2，曲線起于負虛軸。由于n-m=3，曲線以-270終于原點。相角由-180先減后增，作草圖。確定穿越點： 穿過負實軸如圖。增益K可以決定A()的大小，即穿過負實軸時模的大小如圖。

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