第七章序列相關(guān)性

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

—理論·方法·EViews應(yīng)用

郭存芝杜延軍李春吉編著電子教案

第七章序列相關(guān)性◆學(xué)習(xí)目的

通過本章的學(xué)習(xí)，你可以知道什么是序列相關(guān)性，序列相關(guān)性產(chǎn)生的原因是什么，序列相關(guān)性導(dǎo)致什么樣的后果，怎樣檢驗(yàn)和處理具有序列相關(guān)性的模型?！艋疽?）掌握序列相關(guān)性的概念、序列相關(guān)性的后果和檢驗(yàn)方法；2）了解廣義最小二乘法和廣義差分法原理；3）能運(yùn)用廣義差分法和廣義最小二乘法估計(jì)線性回歸模型。◆序列相關(guān)性及其產(chǎn)生原因◆

序列相關(guān)性的影響◆序列相關(guān)性的檢驗(yàn)◆序列相關(guān)的補(bǔ)救第七章序列相關(guān)性◆案例分析第一節(jié)序列相關(guān)性及其產(chǎn)生原因—、序列相關(guān)性的含義對于多元線性回歸模型(7-1)在其他假設(shè)仍然成立的條件下，隨機(jī)干擾項(xiàng)序列相關(guān)意味著如果僅存在則稱為一階序列相關(guān)或自相關(guān)（簡寫為AR(1))，這是常見的一種序列相關(guān)問題。（7-3）（7-2）自相關(guān)往往可以寫成如下形式：（7-4）其中稱為自協(xié)方差系數(shù)或一階自回歸系數(shù)，是滿足以下標(biāo)準(zhǔn)OLS假定的隨機(jī)干擾項(xiàng)：

由于序列相關(guān)性經(jīng)常出現(xiàn)在以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為樣本的模型中，因此，本節(jié)下面將代表不同樣本點(diǎn)的下表i用t

表示。二、序列相關(guān)的原因1．經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)序列慣性2．模型設(shè)定的偏誤3．滯后效應(yīng)4．蛛網(wǎng)現(xiàn)象5．?dāng)?shù)據(jù)的編造1．經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)序列慣性GDP、價(jià)格指數(shù)、消費(fèi)等時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)為周期循環(huán)。當(dāng)經(jīng)濟(jì)衰退的谷底開始復(fù)蘇時(shí)，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)序列開始上升，在上升期間，序列在每一時(shí)刻的值都高于前一時(shí)刻的值?？磥碛幸环N內(nèi)在的動(dòng)力驅(qū)使這一勢頭繼續(xù)下去，直至某些情況出現(xiàn)（如利率或稅收提高）才把它拖慢下來。因此，在涉及時(shí)間序列的回歸中，相繼的觀測值很可能是相互依賴的。比如：2．模型設(shè)定的偏誤定義：指所設(shè)定的模型“不正確”，主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。例1：本來應(yīng)該估計(jì)的模型為（7-5）但在進(jìn)行回歸時(shí)，卻把模型設(shè)定為如下形式：

（7-6）（丟掉了重要的解釋變量）2．模型設(shè)定的偏誤

如果(7-5)式是正確的模型，那做（7-6）式的回歸就相當(dāng)于令于是誤差項(xiàng)v將表現(xiàn)出一種系統(tǒng)性模式，從而形成了自相關(guān)。例1：（丟掉了重要的解釋變量）2．模型設(shè)定的偏誤定義：指所設(shè)定的模型“不正確”，主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。例2：（模型函數(shù)形式有偏誤）（7-7）在成本—產(chǎn)出研究中，如果真實(shí)的邊際成本的模型為：其中Y代表邊際成本，X代表產(chǎn)出。（7-8）但是如果建模時(shí)設(shè)立了如下回歸模型：2．模型設(shè)定的偏誤例2：（模型函數(shù)形式有偏誤）

因此在(7-8)中，

它包含了產(chǎn)出的平方對隨機(jī)

干擾項(xiàng)的系統(tǒng)性影響，隨機(jī)干擾項(xiàng)呈現(xiàn)序列相關(guān)性。（7-8）

但是如果建模時(shí)設(shè)立了如下回歸模型：3．滯后效應(yīng)考慮一個(gè)消費(fèi)支出對收入進(jìn)行回歸的時(shí)間序列模型，人們常常發(fā)現(xiàn)當(dāng)期的消費(fèi)支出除了依賴其他當(dāng)期收入外，還依賴前期的消費(fèi)支出，即回歸模型為：（7-9）其中，C是消費(fèi)，Y是收入。

類似（7-9）式的回歸模型被稱為自回歸模型

由于心理上、技術(shù)上以及制度上的原因，消費(fèi)者不會輕易改變其消費(fèi)習(xí)慣，如果我們忽視（7-9）式中的滯后消費(fèi)對當(dāng)前消費(fèi)的影響，那所帶來的誤差項(xiàng)就會體現(xiàn)出一種系統(tǒng)性的模式。注意：4．蛛網(wǎng)現(xiàn)象例如：假定某農(nóng)產(chǎn)品的供給模型為：(7-10)假設(shè)t時(shí)期的價(jià)格Pt低于t-1時(shí)期的價(jià)格Pt-1，農(nóng)民就很可能決定在時(shí)期t+1生產(chǎn)比t時(shí)期更少的東西。顯然在這種情形中，農(nóng)民由于在年度t的過量生產(chǎn)很可能在年度t+1消減他們的產(chǎn)量。諸如此類的現(xiàn)象，就不能期望干擾μt是隨機(jī)，從而出現(xiàn)蛛網(wǎng)式的序列相關(guān)。5．?dāng)?shù)據(jù)的編造新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系，表現(xiàn)出序列相關(guān)性。例如：季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這種平均的計(jì)算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動(dòng)而引進(jìn)了數(shù)據(jù)中的勻滑性，這種勻滑性本身就能使隨機(jī)干擾項(xiàng)中出現(xiàn)系統(tǒng)性的因素，從而出現(xiàn)序列相關(guān)性。利用數(shù)據(jù)的內(nèi)插或外推技術(shù)構(gòu)造的數(shù)據(jù)也會呈現(xiàn)某種系統(tǒng)性的模式。一般經(jīng)驗(yàn)表明，對于采用時(shí)間序列數(shù)據(jù)做樣本的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，由于在不同樣本點(diǎn)上解釋變量意外的其他因素在時(shí)間上的連續(xù)性，帶來了他們對被解釋變量的影響的連續(xù)性，所以往往存在序列相關(guān)性。第二節(jié)序列相關(guān)性的影響1．參數(shù)估計(jì)量非有效2．隨機(jī)誤差項(xiàng)方差估計(jì)量是有偏的3．?dāng)M合優(yōu)度檢驗(yàn)R2統(tǒng)計(jì)量和方程顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量無效4．變量的顯著性檢驗(yàn)t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的參數(shù)置信區(qū)間估計(jì)失去意義5．模型的預(yù)測失效1．參數(shù)估計(jì)量非有效

根據(jù)OLS估計(jì)中關(guān)于參數(shù)估計(jì)量的無偏性和有效性的證明過程可以看出，當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時(shí)，其OLS參數(shù)估計(jì)量仍然具有線性無偏性，但不具有有效性。因?yàn)樵谟行宰C明中我們利用了（7-11）即同方差和相互獨(dú)立性條件。而且在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。為了具體說明這一點(diǎn)，我們回到簡單的一元回歸模型（7-12）為方便我們不妨假定干擾項(xiàng)為(7-4)所示的一階序列相關(guān)：(7-13)(7-14)對于干擾項(xiàng)為一階序列相關(guān)的一元回歸模型采用OLS估計(jì)，如以前一樣，β1的OLS估計(jì)量為：但給定干擾項(xiàng)為一階序列相關(guān)時(shí)，的方差估計(jì)量現(xiàn)在為：式中為一階序列相關(guān)時(shí)的方差。（7-16）把該式與沒有干擾項(xiàng)自相關(guān)情形的通常公式（7-15）相比，可以看出前者等于后者加上另一與自相關(guān)系數(shù)和各期的樣本協(xié)方差有關(guān)的項(xiàng)。

2．隨機(jī)誤差項(xiàng)方差估計(jì)量是有偏的在存在干擾項(xiàng)序列相關(guān)的情況下，隨機(jī)誤差方差的OLS估計(jì)量偏離了真實(shí)的隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。

以一元回歸模型為例，在經(jīng)典假設(shè)情況下，干擾項(xiàng)的OLS方差估計(jì)量是真實(shí)的的無偏估計(jì)，即有。但若隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階序列相關(guān)

則可以證明：式中為X的相繼觀測值之間的樣本相關(guān)系數(shù)。

3．?dāng)M合優(yōu)度檢驗(yàn)R2統(tǒng)計(jì)量和方程顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量無效由于在序列相關(guān)時(shí)OLS對隨機(jī)誤差方差估計(jì)有偏，結(jié)果基于OLS殘差平方和計(jì)算出來的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2也失去意義，相應(yīng)的方程顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F統(tǒng)計(jì)量也無效。4．變量的顯著性檢驗(yàn)t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的參數(shù)置信區(qū)間估計(jì)失去意義用OLS法估計(jì)序列相關(guān)的模型得到的隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不僅是有偏的，而且這一偏誤也將傳遞到用OLS方法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差中來，從而使得建立在OLS參數(shù)估計(jì)量方差基礎(chǔ)上的變量顯著性檢驗(yàn)失去意義。沒有被低估，通常OLS參數(shù)估計(jì)量的方差式（7-16）即使隨機(jī)誤差的方差也是存在一階序列相關(guān)時(shí)參數(shù)估計(jì)量方差的偏誤估計(jì)量。

以一元回歸模型為例，5．模型的預(yù)測失效在存在序列相關(guān)時(shí)OLS估計(jì)的隨機(jī)誤差項(xiàng)方差有偏，參數(shù)估計(jì)量方差非有效，這樣回歸模型的被解釋變量的預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間就不準(zhǔn)確，預(yù)測精度降低。

被解釋變量預(yù)測值區(qū)間與模型參數(shù)和隨機(jī)誤差的估計(jì)量的方差有關(guān)。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)時(shí)，它的預(yù)測功能失效。第三節(jié)序列相關(guān)性的檢驗(yàn)不同的檢驗(yàn)方法的共同思路:

序列相關(guān)性的檢驗(yàn)方法有多種，如馮諾曼比檢驗(yàn)法、回歸檢驗(yàn)法、D.W.檢驗(yàn)法等。首先采用普通最小二乘法估計(jì)模型，以得到隨機(jī)干擾項(xiàng)的近似估計(jì)量，我們用表示近似估計(jì)量：（7-19）然后通過分析這些近似估計(jì)量之間的相關(guān)性以達(dá)到判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性的目的。序列相關(guān)性的檢驗(yàn)方法一、圖示法二、回歸檢驗(yàn)法三、杜賓—沃森檢驗(yàn)四、拉格朗日乘子檢驗(yàn)一、圖示法由于殘差可以作為隨機(jī)誤差的估計(jì)，因此，如果存在序列相關(guān)性，反映出來，因此可以利用的變化來判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)的序列必然會由殘差項(xiàng)相關(guān)性，如圖7－1所示。二、回歸檢驗(yàn)法，（7-20）（7-21）

以等為解釋變量，為解釋變量，以各種可能的相關(guān)變量，諸如建立各種方程：對方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關(guān)性。一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時(shí)知道了相關(guān)的形式，而且它適用于任何類型的序列相關(guān)性問題的檢驗(yàn)。優(yōu)點(diǎn)：三、杜賓—沃森檢驗(yàn)D-W檢驗(yàn)是杜賓（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一種檢驗(yàn)序列自相關(guān)的方法。雖然該方法很常用，但它有一些基本假定：（1）回歸含有截距項(xiàng)。（2）解釋變量X是非隨機(jī)的，或者在重復(fù)抽樣中被固定的。（3）隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自回歸形式：。（4）回歸模型中不應(yīng)把滯后應(yīng)變量作為解釋變量之一，即不應(yīng)出現(xiàn)如下形式模型：（5）沒有缺失數(shù)據(jù)。杜賓—沃森針對原假設(shè)，即不存在一階自相關(guān)，構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量：（7-22）檢驗(yàn)，它沒有唯一的臨界值可以導(dǎo)出拒絕或和下限，且這些上下限只與因此D-W檢驗(yàn)不同于t、F或接受原假設(shè)。但他們成功導(dǎo)出了臨界值的上限樣本容量n和解釋變量的個(gè)數(shù)有關(guān)，而與解釋變量的取值無關(guān)。

杜賓—沃森證明該統(tǒng)計(jì)量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，其準(zhǔn)確的抽樣或概率分布很難得到；

又依賴于給定的X的值。因?yàn)镈.W.值要從中算出，而因此，在運(yùn)用D-W檢驗(yàn)時(shí)，只須計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量的值，再根據(jù)樣本容量n和，然后按下列準(zhǔn)則考察和解釋變量數(shù)目k查D.W.分布表，得到臨界值計(jì)算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)：若，則存在正自相關(guān)；若，則不確定；若，則無自相關(guān)；若，則不確定；若，則存在負(fù)自相關(guān)。也就是說，當(dāng)D.W.值在2附近時(shí)，模型不存在一階自相關(guān)。例7-1給定一個(gè)含有50個(gè)觀測值的樣本和3個(gè)解釋變量,如果（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97你能對自相關(guān)的問題說些什么？？解：根據(jù)D-W檢驗(yàn)判斷準(zhǔn)則可知（b）D.W.=1.40<，隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階正自相關(guān)；

（d）4=2.58<D.W.=3.97，隨機(jī)誤差項(xiàng)存在負(fù)一階自相關(guān)。查D.W.分布表可知，當(dāng)樣本數(shù)為n=50，解釋變量數(shù)k=3時(shí)，在5%的為1.42，為1.67。

顯著性水平下D.W.統(tǒng)計(jì)量臨界值的下界（a）D.W.=1.05<=1.42，因此隨機(jī)誤差項(xiàng)存在正一階自相關(guān)；

（c）4=2.58>D.W.=2.50>4=2.33，不能確定隨機(jī)誤差項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)；在許多情況下，人們發(fā)現(xiàn)上限差不多就是真實(shí)的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計(jì)值落入不能確定的區(qū)域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗(yàn)程序。給定顯著性水平α：（2）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為（1）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計(jì)上顯著的正相關(guān)。如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計(jì)上顯著的負(fù)相關(guān)。在許多情況下，人們發(fā)現(xiàn)上限差不多就是真實(shí)的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計(jì)值落入不能確定的區(qū)域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗(yàn)程序。給定顯著性水平α：（3）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為如果有或者則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計(jì)上顯著的自相關(guān)。四、拉格朗日乘子檢驗(yàn)拉格朗日乘子檢驗(yàn)克服了D-W檢驗(yàn)的缺陷，適合于高階序列相關(guān)及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也稱為GB檢驗(yàn)。對于模型（7-24）如果要檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)是否存在p階序列相關(guān)：（7-25）那么檢驗(yàn)如下受約束回歸方程就是拉格朗日乘子檢驗(yàn)：（7-26）約束條件為（7-27）

如果約束條件為真，則LM統(tǒng)計(jì)量服從大樣本下自由度為p的漸近分布：（7-28）其中np和分別為如下輔助回歸方程的樣本容量和可決系數(shù)：（7-29）(7-29)中的被解釋變量是對原模型（7-24）進(jìn)行OLS回歸后得到的殘差。

p值即滯后的長度無法預(yù)先給定，因此實(shí)踐操作中可從1階、2階…逐次相更高階檢驗(yàn)，并用輔助回歸方程（7-29）式中各個(gè)殘差項(xiàng)前面的參數(shù)的顯著性來幫助判斷序列相關(guān)的階數(shù)。LM檢驗(yàn)的一個(gè)缺陷給定顯著性水平α，查自由度為p的分布的相應(yīng)臨界值，如果計(jì)算的LM統(tǒng)計(jì)量的值超過該臨界值，則拒絕約束條件為真的原假設(shè)，表明存在隨機(jī)誤差項(xiàng)存在直到p階的序列相關(guān)性。例7-2假定用32個(gè)樣本做Y對X(包含截距)的回歸而這樣的數(shù)值對應(yīng)的概率p為0.0003，這是一個(gè)很低的概率。

因此我們可以拒絕輔助回歸方程中原始回歸殘差序列的全部1到5階滯后序列系數(shù)均為零的假設(shè)，至少有一個(gè)滯后殘差序列的系數(shù)不為零。這表明原始回歸的殘差中至少存在1到5階中的某一滯后的自相關(guān)，當(dāng)然要確定到底是幾階序列相關(guān)還必須進(jìn)一步進(jìn)行4階、3階…等不同階數(shù)的拉格朗日乘子檢驗(yàn)。如果我們懷疑回歸殘差序列有5階滯后相關(guān)，那么輔助回歸方程中我們可以用殘差對X以及殘差序列的1到5階滯后序列進(jìn)行回歸，假定從輔助回歸方程中回歸得到的擬合優(yōu)度R2為0.8860。

由于原始回歸中有32個(gè)樣本，而輔助回歸中用了5個(gè)滯后值，這樣輔助等于(32-5)×0.886即等于23.382。

回歸方程中僅有27個(gè)樣本，因此第四節(jié)序列相關(guān)的補(bǔ)救由于序列相關(guān)出現(xiàn)時(shí)OLS估計(jì)量是非有效的，因此如果回歸模型被證明存在序列相關(guān)性，則應(yīng)該發(fā)展新的方法來估計(jì)模型。類似于處理異方差的情況，在大樣本下我們也可以用與自相關(guān)相一致的OLS回歸殘差的方差協(xié)方差矩陣來處理隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)情況，這樣OLS估計(jì)也仍然是有效的，只是我們需要報(bào)告相應(yīng)的自相關(guān)穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，其處理方法完全類似于異方差穩(wěn)健推斷，這里我們不再對自相關(guān)穩(wěn)健推斷詳細(xì)論述，我們詳細(xì)介紹一般情況下處理序列相關(guān)最常用的廣義最小二乘法（GLS）和廣義差分法。一、廣義最小二乘法定義:最具有普遍意義的最小二乘法.普通最小二乘法和加權(quán)最小二乘法是它的特例。

一般情況下，對于模型（7-30）如果存在序列相關(guān)性，同時(shí)存在異方差，即有顯然，是一對稱矩陣，因此存在一可逆矩陣，使得用左乘（7-30）式兩邊，得到一個(gè)新的模型（7-31）即該模型具有同方差性和隨機(jī)干擾項(xiàng)相互獨(dú)立性。因?yàn)閯t這就是原模型（7-30）式的廣義最小二乘估計(jì)量，它是無偏有效的估計(jì)量。于是，可以用普通最小二乘法估計(jì)模型（7-31）式，記參數(shù)估計(jì)量為，由上面的推導(dǎo)過程可知，只要知道隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣，就可以采用廣義最小二乘法得到參數(shù)的最佳線性無偏估計(jì)量。然而若只有n個(gè)樣本點(diǎn)，要對包括各個(gè)在內(nèi)的進(jìn)行估計(jì)是困難的，在實(shí)踐操作中，往往通過廣義差分法來實(shí)現(xiàn)廣義最小二乘估計(jì)。+k+1個(gè)未知參數(shù)二、廣義差分法廣義差分法需要對隨機(jī)干擾項(xiàng)自相關(guān)系數(shù)事先給出必要的假設(shè)，可區(qū)分為兩種情形：自相關(guān)系數(shù)已知和未知。1）自相關(guān)系數(shù)已知時(shí)由于干擾項(xiàng)是不可觀測的，關(guān)于序列相關(guān)的性質(zhì)往往是一種猜測遵循形如(7-4)式那樣的一階自回歸方式，或?qū)嶋H體驗(yàn)。實(shí)踐中，常假定（7-32）即：（7-32）式中自回歸系數(shù)和隨機(jī)干擾項(xiàng)滿足(7-4)的假定。若假定(7-32)是為已知時(shí)，序列相關(guān)問題就可以圓滿解決。

真實(shí)的，當(dāng)自相關(guān)系數(shù)為說明這一點(diǎn)，考慮以下多元回歸模型為例：（7-33）如果（7-33）在時(shí)刻t成立，則在時(shí)刻t-1也成立，因此有：（7-34）用乘（7-34）兩邊，得到：（7-35）（7-37）其中，由于滿足全部OLS假定，故可以直接對方程（7-37）進(jìn)行OLS回歸得到具有BLUE性質(zhì)的估計(jì)量。將（7-36）式簡寫為用（7-33）減去（7-35）得到（7-36）更一般地如果多元回歸模型（7-38）中的隨機(jī)干擾項(xiàng)存在p階序列相關(guān)：（7-39）那么可以將原模型（7-38）式變換為（7-40）（7-40）式即為多元回歸形式的廣義差分模型，該模型不存在序列相關(guān)性。采用OLS法估計(jì)該模型得到的參數(shù)估計(jì)量即為原模型參數(shù)的無偏有效估計(jì)量，這樣處理序列相關(guān)的方法就是廣義差分法。廣義差分法就是前面我們討論過的廣義最小二乘法（GLS），但應(yīng)注意滯后的觀測值被排除了。為看清這一點(diǎn)，我們?nèi)匀豢紤]前面的一階序列相關(guān)的情況我們用矩陣形式把上述估計(jì)過程重寫一遍。對于一階序列相關(guān)的隨機(jī)誤差項(xiàng)我們可以證明該隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差和協(xié)方差分別為用矩陣表示為根據(jù)線性代數(shù)易知從而有用左乘矩陣形式的多元回歸模型

,得到（7-41）然后展開（7-41）式中所有矩陣乘積，去掉展開式的第一行就得到（7-36）一樣的結(jié)果。（7-41）類似地對具有p階序列相關(guān)的多元回歸模型的廣義差分法估計(jì)也等同于廣義最小二乘估計(jì)，但我們損失了前面p個(gè)樣本觀測值，這一點(diǎn)可以從廣義差分模型（7-40）式看出來。在樣本規(guī)模較大而誤差序列相關(guān)階數(shù)較小時(shí)，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)結(jié)果很接近。但在小樣本或誤差呈現(xiàn)較大的高階序列相關(guān)時(shí)，觀測值的損失可能會對估計(jì)結(jié)果有影響。因此在廣義差分變換中，有時(shí)需彌補(bǔ)這一損失。這樣廣義差分法的估計(jì)結(jié)果就完全等同于廣義最小二乘估計(jì)量。例如，在一階序列相關(guān)情況下，對損失的第一次觀測值可進(jìn)行如下的

普萊斯-溫斯特（Prais-Winsten）變換：2）自相關(guān)系數(shù)未知時(shí)的處理盡管廣義差分回歸直接明了，但通常情況下我們并不知道總體模型中隨機(jī)干擾項(xiàng)的真實(shí)自回歸系數(shù)ρ是多少，故廣義差分法一般難以實(shí)現(xiàn)。（1）一次差分法（2）根據(jù)D.W.統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)ρ（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法（4）杜賓兩步法因此我們需要另想辦法來處理序列相關(guān)問題，我們介紹幾種常用的方法。（1）一次差分法因?yàn)樽曰貧w系數(shù)ρ介于（-1，1）之間，我們考慮極端的序列相關(guān)情況，即完全的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，此時(shí)ρ等于1或1?？紤]簡單的一元回歸模型：（7-42）假定該模型中隨機(jī)干擾項(xiàng)為完全一階正相關(guān)，即有（7-43）對（7-42）進(jìn)行一次差分得到即（7-44）（7-44）的差分回歸方程沒有截距，隨機(jī)干擾項(xiàng)沒有序列自相關(guān)，因此可以

對它采取過原點(diǎn)OLS回歸得到的BLUE估計(jì)量，注意此時(shí)原模型中的截距就不能估計(jì)出來了。

如果原模型為包含時(shí)間趨勢的模型：（7-45）那么對它進(jìn)行一次差分后得到（7-46）該差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味著在原模型中存在一線性時(shí)間趨勢項(xiàng)，而且一次差分模型中的截距就是原模型中時(shí)間趨勢項(xiàng)的系數(shù)。如果是正的話，這表明原模型中Y除了受X的影響外還有一上升的趨勢。如果原模型中隨機(jī)干擾項(xiàng)是完全一階負(fù)相關(guān)的，那么一次差分處理的方法就是相反了。思考:析:要注意它是以假定ρ=1為前提的，如果隨機(jī)干擾項(xiàng)不是完全一階正相關(guān)，就不能進(jìn)行這樣的一次差分變換。怎樣知道假定ρ=1是否合理呢？？用貝倫布魯特-韋布（Belenblutt-Webbtest）統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)。對進(jìn)行為檢驗(yàn)假設(shè)ρ=1，貝倫布魯特—韋布推出如下g檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：各個(gè)解釋變量X的一階差分OLS回歸得到的殘差（注意無截距項(xiàng)）。

其中是原始模型的OLS殘差，而是被解釋變量Y的一階差分例7-3假定用32個(gè)樣本做Y對X的OLS回歸得到的殘差平方和RSS1=204.2934，再做△Y對△X的OLS回歸（注意在此回歸中沒有截距）得到殘差平方和RSS2=28.1938。g=28.1938/204.2934=0.1377查D.W.分布表發(fā)現(xiàn)5%的顯著性水平下31個(gè)樣本和1個(gè)解釋變量的D.W.值下界為1.363，上界為1.496。因此這樣計(jì)算的g的數(shù)值小于D.W.統(tǒng)計(jì)量的下界，我們不能拒絕基于這一結(jié)果，對原模型進(jìn)行一次差分后再用OLS估計(jì)是合理的。=1的原假設(shè)。（2）根據(jù)D.W.統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)ρ根據(jù)該式我們可以得到的計(jì)算表達(dá)式：（7-48）這是從所估計(jì)的D.W.統(tǒng)計(jì)量獲得ρ的一個(gè)估計(jì)值的簡易方法。回想我們前面的D.W.統(tǒng)計(jì)量（7-48）由（7-48）可見，僅當(dāng)d等于或接近于0時(shí)，一次差分法中假定才是對的此外當(dāng)d=2時(shí)，d=4時(shí)，因此D.W.統(tǒng)計(jì)量為我們提供了一個(gè)估計(jì)的現(xiàn)成方法。

但要注意的是，（7-48）僅提供了一個(gè)估計(jì)的近似式，在小樣本下未必可靠，僅在大樣本下才具有最優(yōu)性質(zhì)。一旦從（7-48）估計(jì)出，我們就可以對原模型進(jìn)行廣義差分變換，然后對廣義差分后的模型進(jìn)行OLS估計(jì)。

同樣需要注意的是，由于廣義差分法中用的是真實(shí)的，而我們是用來代替真實(shí)的，因此就會出現(xiàn)一個(gè)問題：

估計(jì)的這樣估計(jì)的回歸系數(shù)是否有經(jīng)典回歸模型中所說的最優(yōu)性質(zhì)呢？當(dāng)用一個(gè)估計(jì)的量去代替真值時(shí)，OLS估計(jì)得到的回歸系數(shù)僅是漸近有效的，就是說僅在大樣本情況下才是最優(yōu)的，而且通常的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也僅是漸近有效的。一個(gè)一般性的原則：（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法利用估計(jì)的殘差去獲得關(guān)于未知的的信息。

考慮一元回歸模型：（7-49）假定隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自相關(guān)，即（7-50）

按如下步驟來估計(jì)自回歸系數(shù)（7-51）

3.用（7-51）回歸得到的，對（7-49）做廣義差分方程：（7-52）對此式進(jìn)行OLS回歸即可得到和的估計(jì)值，然后注意到就可以得到原模型（7-49）中系數(shù)的估計(jì)值。2．利用回歸殘差做如下OLS回歸：

1．對（7-49）進(jìn)行OLS回歸得到回歸殘差。5.現(xiàn)在估計(jì)回歸方程：（7-53）的第二次估計(jì)值。這樣得到按如下步驟來估計(jì)自回歸系數(shù)如果的第二次估計(jì)值仍然不能夠令人滿意，我們可以進(jìn)行第四次……估計(jì)，一直到的估計(jì)值達(dá)到令人滿意的精度為止。

的第三次、4.將第三步得到的的估計(jì)值重新代入原模型（7-49）并計(jì)算得到新的殘差（4）杜賓兩步法以上面的一元回歸模型為例（7-54)把廣義差分方程改寫為：以下兩步程序來估計(jì)：1．對（7-54）進(jìn)行OLS回歸，并把對的回歸系數(shù)的估計(jì)值看作對的一個(gè)估計(jì)。雖然這個(gè)估計(jì)值有偏誤，但它卻是的一個(gè)一致估計(jì)。2．求得后，把它代入差分方程（7-52），即代入下面的方程該方程改寫為（7-55）

對（7-55）進(jìn)行OLS回歸得到參數(shù)的估計(jì)值。由此可見，杜賓兩步法的第一步是要得到的一個(gè)估計(jì)值，第二步是要得到回歸的參數(shù)值。還有一些其他的估計(jì)的方法，這里不再一一介紹。其他方法的基本上都是兩步法：的一個(gè)估計(jì)值；第一步，我們獲得未知的第二步，用這個(gè)估計(jì)值對變量做變換，以估計(jì)廣義差分方程，這基本上就是GLS。因此這些方法在文獻(xiàn)中而不是真實(shí)的，但因?yàn)槲覀兪褂玫氖枪烙?jì)值都稱為可行的（feasible）或估計(jì)的廣義最小二乘法（estimatedgeneralizedleast-squares,簡稱EGLS）。第五節(jié)案例分析

根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)理論，產(chǎn)出是資本和勞動(dòng)投入的函數(shù)，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（7-56）其中，Y為產(chǎn)出，K為資本，N為就業(yè)人數(shù)，t是時(shí)間，、、為參數(shù)。通常認(rèn)為生產(chǎn)函數(shù)具有規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)，這意味著和之和應(yīng)該近似等于1。為了估計(jì)資本和勞動(dòng)投入對產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，我們估計(jì)如下對數(shù)形式的生產(chǎn)函數(shù)回歸模型：（7-57）表7-1給出了中國1978-2010年的實(shí)際GDP、資本存量和勞動(dòng)就業(yè)的數(shù)據(jù)。表7-1實(shí)際GDP、資本存量和勞動(dòng)就業(yè)的數(shù)據(jù)一、OLS回歸與序列相關(guān)性檢驗(yàn)

表7-2模型（7-57）的OLS回歸結(jié)果相應(yīng)的回歸方程為（7-58）

（15.7694）

（7.2874）

（10.3092）

由回歸方程（7-58）可以看出，在0.05的顯著性水平上，資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性都是顯著的。由于該回歸方程沒有截距項(xiàng)，因此不能用DW統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)是否存在序列相關(guān)，需要用其他方法來檢驗(yàn)序列相關(guān)性。

可以通過觀察OLS回歸殘差圖形來初步檢驗(yàn)回歸模型（7-57）隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)情況。圖7-2給出了OLS回歸殘差序列的時(shí)間路徑圖和相鄰兩個(gè)殘差的散點(diǎn)圖。

圖7-2回歸殘差的路徑圖和相鄰殘差散點(diǎn)圖進(jìn)一步對模型（7-57）隨機(jī)誤差項(xiàng)進(jìn)行序列相關(guān)LM檢驗(yàn)。表7-3模型（7-57）的一階序列相關(guān)LM檢驗(yàn)Eivews輸出結(jié)果相應(yīng)地，模型（7-57）的隨機(jī)誤差一階序列相關(guān)LM檢驗(yàn)的輔助回歸方程為（7-59） （0.2919）（-0.3108）（0.3115）

（6.6645）LM=19.96

nR2=33*0.604986=19.96

由于LM統(tǒng)計(jì)量服從自由度為p的漸近分布，在給定顯著性水平為0.05時(shí)，查自由度為p=1的分布表得到臨界值，因此LM=19.35>3.8425，故拒絕模型（7-57）OLS回歸殘差項(xiàng)沒有一階序列相關(guān)的原假設(shè)。此外滯后1階殘差項(xiàng)的回歸系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，因此可以判斷模型（7-57）隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階序列相關(guān)性。輔助回歸方程(7-59)的拉格朗日乘子LM=(33-1)*0.6049=19.35再對回歸模型(7-57)進(jìn)行二階和三階序列相關(guān)LM