2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章計數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，會利用兩種原理解決一些實際問題.2.理解排列數(shù)和組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程,掌握排列組合在實際問題中的應(yīng)用。3.掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)．1．分類加法計數(shù)原理完成一件事,可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法,在第二類方案中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法,那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要n個步驟，缺一不可,做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝____________種方法．3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)公式排列數(shù)公式Aeq\o\al（m,n)＝n(n－1）（n－2)…____________＝____________組合數(shù)公式Ceq\o\al（m，n)＝__________＝________________________＝____________性質(zhì)當(dāng)m＝n時，Aeq\o\al（m，n)為全排列;Aeq\o\al(n,n）＝n!；0?。絖_______Ceq\o\al（0，n)＝Ceq\o\al(n,n）＝1；Ceq\o\al（m,n)＝____________；Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n)＝____________備注n，m∈N＋，且m≤n4.二項式定理（1）二項式定理的內(nèi)容:（a＋b）n＝_______________________________________________________.(2）通項公式:Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，r∈｛0,1，2，…，n}．(3)二項式系數(shù)的性質(zhì):①與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等．②若n為偶數(shù),中間一項eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(第\f(n，2)＋1項）)的二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(第\f（n＋1，2)項和第\f（n＋1,2）＋1項））的二項式系數(shù)相等且最大．③Ceq\o\al（0，n）＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2，n)＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq\o\al（1，n）＋Ceq\o\al(3，n）＋…＝2n－1.類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計數(shù)問題中的應(yīng)用命題角度1分類討論思想例1有12名劃船運動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷,其余5人既會劃左舷又會劃右舷，現(xiàn)在要從這12名運動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，則有多少種不同的選法．反思與感悟解含有約束條件的排列、組合問題,應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類，分類時需要滿足兩個條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；(2）總數(shù)要完備(保證不遺漏）．跟蹤訓(xùn)練1從1,2，3，4，5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答)命題角度2“正難則反”思想例2設(shè)集合S＝{1，2，3,4,5,6，7，8,9｝，集合A＝{a1，a2，a3｝是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1〈a2〈a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為（)A．78B．76C．83D．84反思與感悟?qū)τ谡嫣幚磔^復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．跟蹤訓(xùn)練2由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科),若學(xué)生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．類型二排列與組合的綜合應(yīng)用例3在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目．(1）當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？（2)當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的節(jié)目安排順序？（3）若已定好節(jié)目單，后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序?反思與感悟排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合．對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列．對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論,分類的原則是不重、不漏．在用間接法計數(shù)時，要注意考慮全面，排除干凈．跟蹤訓(xùn)練3有5個男生和3個女生,從中選出5人擔(dān)任5門學(xué)科的課代表,分別求符合下列條件的選法數(shù)．(1）有女生但人數(shù)必須少于男生：(2）某女生一定要擔(dān)任語文課代表;（3）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；（4）某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不但任數(shù)學(xué)課代表．類型三二項式定理及其應(yīng)用命題角度1二項展開式的特定項問題例4已知在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r(x）－\f（2，\r（3,x）)))n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項；(2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；（3）求n＋9Ceq\o\al(2,n)＋81Ceq\o\al(3，n）＋…＋9n－1Ceq\o\al(n,n)的值．反思與感悟（1)確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素．(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式,令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù),然后代入通項公式,即可確定常數(shù)項．（3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù)．(4）求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入．(5)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項:利用二項式系數(shù)的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練4已知eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r（4,\f（1，x))＋\r（3，x2）））n的展開式的倒數(shù)第三項的系數(shù)為45.命題角度2二項展開式的“賦值”問題例5若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10。(1)求a2；(2）求a1＋a2＋…＋a10；(3)求（a0＋a2＋a4＋…＋a10）2－（a1＋a3＋…＋a7＋a9）2.反思與感悟與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練5若（x2＋1)(x－3）9＝a0＋a1（x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2）3＋…＋a11(x－2）11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．1．4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有（)A．24種 B．36種C．48種 D．60種2．已知關(guān)于x的二項式eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（x）＋\f(a,\r（3，x）))）n展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±23．某校一社團共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日．若甲、乙必須排在同一天,且丙、丁不能排在同一天,則不同的安排方案有（)A．21600種 B．10800種C．7200種 D．5400種4．若（1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝________.5．航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進行標(biāo)號為0，1,2,3，4，5的六項實驗,向全世界人民普及太空知識，其中0號實驗不能放在第一項，最后一項的標(biāo)號小于它前面相鄰一項的標(biāo)號，則實驗順序的編排方法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)1．排列與組合（1）排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的,而組合是無序的．(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對于有限制條件的排列問題的考慮途徑①元素分析法：先考慮特殊元素的要求,再考慮其他元素．②位置分析法:先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．（3）排列與組合綜合應(yīng)用是本章內(nèi)容的重點與難點，一般方法是先分組，后分配．2．二項式定理(1）與二項式定理有關(guān)，包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構(gòu)造二項式，合理應(yīng)用展開式．（2)與通項公式有關(guān)，主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等,此時要特別注意二項展開式中第r＋1項的通項公式是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n）an－rbr（r＝0,1,…,n），其中二項式系數(shù)是Ceq\o\al（r，n)，而不是Ceq\o\al（r＋1,n），這是一個極易錯點．（3)與二項式系數(shù)有關(guān),包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和等主要方法是賦值法．

答案精析知識梳理1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn3．（n－m＋1)eq\f(n！，n－m!）eq\f(A\o\al(m,n），A\o\al(m，m))eq\f（nn－1n－2…n－m＋1,m!)eq\f（n！，m！n－m！)Ceq\o\al（n－m，n）Ceq\o\al(m，n＋1）4．（1)Ceq\o\al(0，n)an＋Ceq\o\al(1，n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n，n）bn（n∈N＋）題型探究例1解分四類第一類：3個只會左舷的人全不選，有Ceq\o\al（0,3)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3，6）＝200（種);第二類：3個只會劃左舷的人中只選1人，有Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al(2,5）Ceq\o\al(3,7)＝1050（種）；第三類:3個只會劃左舷的人中只選2人，有Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al（1,5)Ceq\o\al（3,8)＝840(種);第四類:3個只會劃左舷的人全選,有Ceq\o\al（3，3)Ceq\o\al（3，9）＝84（種)，所以共有200＋1050＋840＋84＝2174（種)選法．跟蹤訓(xùn)練160例2C跟蹤訓(xùn)練230例3解(1）第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有Aeq\o\al(7,7)＝5040（種)方法；第二步再松綁,給4個節(jié)目排序，有Aeq\o\al（4,4）＝24(種)方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5040×24＝120960（種）安排順序．(2)第一步將6個演唱節(jié)目排成一列（如下圖中的“□”),一共有Aeq\o\al(6,6)＝720（種）方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個演唱節(jié)目中間，這樣相當(dāng)于7個“×"選4個來排，一共有Aeq\o\al（4,7)＝840（種)方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝604800(種）安排順序．(3）若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有Aeq\o\al(12，12)種排法，但原來的節(jié)目已定好順序,需要消除，所以節(jié)目演出的方式有eq\f（A\o\al(12,12），A\o\al（10,10)）＝Aeq\o\al（2,12）＝132(種)排列．跟蹤訓(xùn)練3解（1)先選后排．課代表的選法有Ceq\o\al(3,5）Ceq\o\al（2,3）＋Ceq\o\al(4，5）Ceq\o\al(1，3）種，排列方法有Aeq\o\al（5,5）種，所以滿足題意的選法有(Ceq\o\al(3，5)Ceq\o\al（2，3）＋Ceq\o\al(4，5)Ceq\o\al(1,3）)Aeq\o\al(5,5)＝5400（種)．(2）除去該女生后,即相當(dāng)于剩余的7名學(xué)生選4名擔(dān)任4門學(xué)科的課代表,有Aeq\o\al(4，7）＝840(種）選法．(3)先選后排．從剩余的7名學(xué)生中選出4名有Ceq\o\al（4，7)種選法，排列方法有Ceq\o\al(1，4）Aeq\o\al（4,4)，所以選法共有Ceq\o\al（4，7)Ceq\o\al（1，4）Aeq\o\al(4，4）＝3360(種)．（4）先從除去該男生和女生的6人中選出3人,有Ceq\o\al(3,6）種選法，該男生的安排方法有Ceq\o\al（1，3）種，其余3人全排,有Aeq\o\al(3,3)種選法，因此滿足題意的選法共有Ceq\o\al（3，6）Ceq\o\al(1，3)Aeq\o\al（3，3）＝360（種）．例4解（1）由Ceq\o\al（4,n）(－2）4∶Ceq\o\al(2，n)（－2)2＝56∶3，解得n＝10,因為通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r（x)）10－req\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（2，\r(3,x））））r＝（－2）rCeq\o\al(r，10），r＝0，1，2，…，10。當(dāng)5－eq\f（5r，6）為整數(shù)時，r可取0，6，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440.（2）設(shè)第r＋1項系數(shù)的絕對值最大，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(C\o\al（r，10)2r≥C\o\al（r－1,10)2r－1,，C\o\al(r,10)2r≥C\o\al(r＋1,10）2r＋1，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(r≤\f（22，3)，，r≥\f（19，3)，））又因為r∈{1，2,3，…，9｝，所以r＝7,當(dāng)r＝7時，T8＝－15360x－eq\f（5，6）,又因為當(dāng)r＝0時，T1＝x5，當(dāng)r＝10時,T11＝(－2）10＝1024，所以系數(shù)的絕對值最大的項為T8＝－15360。(3)原式＝10＋9Ceq\o\al(2，10)＋81Ceq\o\al（3,10)＋…＋910－1Ceq\o\al（10，10)＝eq\f（9C\o\al(1,10）＋92C\o\al(2,10)＋93C\o\al（3,10)＋…＋910C\o\al(10，10）,9)＝eq\f(C\o\al(0,10）＋9C\o\al（1,10)＋92C\o\al（2，10）＋93C\o\al（3，10）＋…＋910C\o\al（10，10)－1,9）＝eq\f(1＋910－1，9）＝eq\f(1010－1,9）。跟蹤訓(xùn)練4解已知展開式中倒數(shù)第三項的系數(shù)為45，則Ceq\o\al(n－2,n)＝45，即Ceq\o\al（2,n)＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(舍去)或n＝10。（1）通項Tr＋1＝Ceq\o\