2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)8函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像與性質(zhì)(二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1。會(huì)用“五點(diǎn)法"畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）的圖像.2。能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ）的部分圖像，確定其解析式。3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖像的物理意義，能指出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相．知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法"作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）(A>0,ω>0)的圖像思考1用“五點(diǎn)法”作y＝sinx，x∈［0,2π］時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值？思考2用“五點(diǎn)法”作y＝Asin（ωx＋φ）時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值?梳理用“五點(diǎn)法”作y＝Asin（ωx＋φ）的圖像的步驟:第一步：列表：ωx＋φ0eq\f（π，2）πeq\f（3π,2）2πx－eq\f（φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f（φ,ω)eq\f(π，ω)－eq\f(φ,ω）eq\f(3π，2ω）－eq\f（φ,ω）eq\f(2π，ω）－eq\f（φ，ω）y0A0－A0第二步:在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn),形成圖像．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ），A>0，ω〉0的性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域值域周期性T＝________對(duì)稱性對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（kπ－φ,ω），0))(k∈Z)對(duì)稱軸奇偶性當(dāng)φ＝kπ（k∈Z）時(shí)是____函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2）（k∈Z)時(shí)是____函數(shù)單調(diào)性通過(guò)整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ),A＞0，ω＞0中參數(shù)的物理意義類型一用“五點(diǎn)法”畫(huà)y＝Asin（ωx＋φ)的圖像例1利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝3sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,3）)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像．反思與感悟(1）用“五點(diǎn)法”作圖時(shí),五點(diǎn)的確定，應(yīng)先令ωx＋φ分別為0，eq\f(π,2），π，eq\f(3π,2），2π，解出x，從而確定這五點(diǎn)．(2)作給定區(qū)間上y＝Asin(ωx＋φ）的圖像時(shí)，若x∈［m，n]，則應(yīng)先求出ωx＋φ的相應(yīng)范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定x，y的值，描點(diǎn)、連線并作出函數(shù)的圖像．跟蹤訓(xùn)練1已知f（x)＝1＋eq\r（2）sin（2x－eq\f(π,4)),畫(huà)出f（x）在x∈[－eq\f(π，2），eq\f(π，2）]上的圖像．類型二由圖像求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例2如圖是函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ｜＜\f（π，2)））的圖像，求A,ω,φ的值，并確定其函數(shù)解析式．反思與感悟若設(shè)所求解析式為y＝Asin（ωx＋φ）,則在觀察函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來(lái)確定A，ω,φ.（1)由函數(shù)圖像上的最大值、最小值來(lái)確定｜A｜.(2）由函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)確定T，由T＝eq\f（2π,|ω｜)，確定ω。(3)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法①代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)A，ω已知）或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解．（此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)②五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法"中的第一個(gè)零點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（φ,ω），0）)作為突破口．“五點(diǎn)"的ωx＋φ的值具體如下:“第一點(diǎn)”（即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”（即圖像的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(π，2）；“第三點(diǎn)"（即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”（即圖像的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(3π,2);“第五點(diǎn)”為ωx＋φ＝2π。跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）的部分圖像如圖所示,則其解析式為（)A．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6）)） B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3))）C．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6））) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3)))類型三函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0，｜φ｜<eq\f(π，2)）的圖像過(guò)點(diǎn)P（eq\f(π，12），0)，圖像上與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π,3)，5)．(1）求函數(shù)解析式；（2)指出函數(shù)的遞增區(qū)間;(3）求使y≤0的x的取值范圍．反思與感悟有關(guān)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的性質(zhì)的問(wèn)題，要充分利用正弦曲線的性質(zhì)，要特別注意整體代換思想．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f（x)＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0）,函數(shù)y＝f（x）的圖像的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π，8）.(1)求φ的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值．1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A〉0，0〈φ〈π)的圖像的一段如圖所示,它的解析式可以是（）A．y＝eq\f（2,3）sin（2x＋eq\f(2π,3）） B．y＝eq\f(2,3）sin（2x＋eq\f(π，3）)C．y＝eq\f(2,3)sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝eq\f（2，3)sin（2x＋eq\f(π，4）)2．函數(shù)y＝－2sin(eq\f（π,4）－eq\f（x，2）)的周期、振幅、初相分別是()A．2π，－2，eq\f(π，4) B．4π,－2，eq\f(π,4）C．2π，2,－eq\f（π,4) D．4π，2，－eq\f(π,4）3．下列表示函數(shù)y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3))）在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），π））上的簡(jiǎn)圖正確的是（）4．已知函數(shù)f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f（π,3)))（ω〉0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖像()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,3）,0)）對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝eq\f（π,4)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）,0）)對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝eq\f（π，3）對(duì)稱5．已知函數(shù)f(x）＝Asin（ωx＋φ）(A＞0,ω＞0，－eq\f（π,2)＜φ＜eq\f(π，2))的部分圖像如圖所示．（1）求f（x)的解析式；(2）寫(xiě)出f（x)的遞增區(qū)間．1．利用“五點(diǎn)”作圖法作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像時(shí)，要先令“ωx＋φ"這一個(gè)整體依次取0，eq\f(π,2),π,eq\f(3，2）π，2π，再求出x的值,這樣才能得到確定圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而不是先確定x的值，后求“ωx＋φ"的值．2．由函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的部分圖像確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A,ω，φ的值．（1）一般可由圖像上的最大值、最小值來(lái)確定|A｜。(2）因?yàn)門(mén)＝eq\f（2π,ω),所以往往通過(guò)求得周期T來(lái)確定ω,可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)從而確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為eq\f（T,2）;相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn)）之間的距離為T(mén).（3）從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)（－eq\f(φ，ω），0)（也叫初始點(diǎn)）作為突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)（A〉0，ω〉0）為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)"中的第一個(gè)點(diǎn)．3．在研究y＝Asin（ωx＋φ)(A〉0，ω〉0)的性質(zhì)時(shí)，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在ωx＋φ＝eq\f（π,2）＋2kπ（k∈Z）時(shí)取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ（k∈Z)時(shí)取得最小值．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1依次為0，eq\f(π，2)，π，eq\f(3π,2),2π。思考2用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的簡(jiǎn)圖，先令t＝ωx＋φ,再由t取0，eq\f(π,2),π，eq\f（3π,2），2π即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為－eq\f（φ,ω），－eq\f（φ,ω)＋eq\f(π,2ω）,－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,ω），－eq\f(φ,ω)＋eq\f（3π，2ω),－eq\f(φ,ω）＋eq\f(2π,ω).知識(shí)點(diǎn)二R［－A，A]eq\f（2π，ω）x＝eq\f(π，2ω）＋eq\f(kπ－φ，ω）(k∈Z）奇偶知識(shí)點(diǎn)三Aeq\f（2π，ω）eq\f（ω,2π）ωx＋φφ題型探究例1解依次令eq\f(x，2）－eq\f(π,3)＝0，eq\f（π，2），π，eq\f（3π，2），2π，列出下表:eq\f(x，2)－eq\f(π,3)0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2）2πxeq\f(2π，3）eq\f(5π，3）eq\f（8π,3)eq\f（11π,3）eq\f（14π，3)y030－30描點(diǎn)，連線，如圖所示．跟蹤訓(xùn)練1解（1)∵x∈[－eq\f(π，2），eq\f（π,2）］,∴2x－eq\f（π,4）∈[－eq\f（5,4）π，eq\f（3,4)π]．列表如下：x－eq\f(π,2）－eq\f(3,8)π－eq\f（π,8)eq\f（π,8）eq\f(3，8)πeq\f（π，2)2x－eq\f(π,4)－eq\f（5，4)π－π－eq\f(π,2）0eq\f（π，2)eq\f(3,4）πf(x）211－eq\r(2)11＋eq\r（2)2（2)描點(diǎn)，連線，如圖所示．例2解方法一（逐一定參法）由圖像知振幅A＝3，又T＝eq\f(5π,6)－(－eq\f（π,6))＝π，∴ω＝eq\f（2π，T）＝2。由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π，6)，0)）可知，－eq\f(π，6）×2＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3），∴y＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)））.方法二（待定系數(shù)法）由圖像知A＝3，又圖像過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3），0））和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5π,6），0)），根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn)），有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)·ω＋φ＝π，，\f(5π，6）·ω＋φ＝2π，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ω＝2,,φ＝\f（π，3）.))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3）））。方法三(圖像變換法）由T＝π，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)），A＝3可知，圖像是由y＝3sin2x向左平移eq\f（π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，∴y＝3sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)）))），即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3）)）。跟蹤訓(xùn)練2A例3解(1）∵圖像最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π，3）,5),∴A＝5?！遝q\f（T,4)＝eq\f(π，3)－eq\f(π，12)＝eq\f(π，4），∴T＝π，∴ω＝eq\f（2π，T）＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．代入點(diǎn)（eq\f（π,3)，5），得sin（eq\f(2π，3)＋φ）＝1，∴eq\f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π，2），k∈Z。令k＝0，則φ＝－eq\f(π，6)，∴y＝5sin(2x－eq\f（π,6))．（2）∵函數(shù)的遞增區(qū)間滿足2kπ－eq\f（π，2)≤2x－eq\f(π,6）≤2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），∴2kπ－eq\f（π，3）≤2x≤2kπ＋eq\f（2π,3)(k∈Z）,∴kπ－eq\f(π,6）≤x≤kπ＋eq\f（π，3）（k∈Z）．∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[kπ－eq\f（π，6)，kπ＋eq\f(π，3）](k∈Z）．（3)∵5sin(2x－eq\f(π，6）)≤0,∴2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－eq\f(5π，12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12）（k∈Z)．故所求x的取值范圍是［kπ－eq\f(5π，12),kπ＋eq\f(π,12)]（k∈Z）．跟蹤訓(xùn)練3解(1)由2x＋φ＝kπ＋eq\f（π，2），k∈Z,得x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f(π，4）－eq\f（φ，2)，令eq\f（kπ，2）＋eq\f(π,4)－eq\f（φ，2）＝eq\f（π，8)，得φ＝kπ＋eq\f（π，4)，k∈Z?！撸校鸡眨?，∴φ＝－eq\f（3π，4).（2)由（1)知，f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（3π，4)))。由2kπ－eq\f(π，2)≤2x－eq\f(3π，4）≤2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z)，得kπ＋eq\f(π，8）≤x≤kπ＋eq\f（5π,8)(k∈Z),故函數(shù)的遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f